二元关系的定义及表示
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关系数据库
4. 1关系的概念
二元关系：仅含有序对的集合或此意义下的空集。
-2. 4.1前束范式的定
义
亀|二元关系在日常生活中普遍存在，例如，人与人之间有“同学”关系、“师生”关系， 两个
数之间有“大于”关系、“等于”关系，程序之间有“调用”关系。无论是在数学上 或是
在计算机科学中关系都有着重要的地位。
•二元关系知识逻辑概图:n
4.4等价关系与划分 \___ 丿
t
4.5相容关系与覆盖
\____________________________) A
4.6偏序关系 V___)
具有特殊性质的关系
r 4.3关系的运算r
C 4.2关系的性质
集合运算 特有运算
自反 反自反 对称 反对称 传递
•=关系在计算机科学技术中的应用
则、R3是二元关系，而&2不是关系，除非将a和b定义为有序对。 例如，若 A={1,2,3, 4}, B={0,1,2},
则 R± ={<2, 2>, <3, 1>, <4, 0>}, = A x B, R3= 0 等都是从A到B的关系，而&4={<3, 4>}是A上的关系，不是从A到B的关系。
4.1.1关系的定义
,<{b}, {b}〉，<{b}, C>, <C, C>}
-=4. 1. 3关系的表示
由二元关系的定义可以看出，二元关系是集合，所以集合的各种表示方法也适用于关系。
1. 列举法
可以用表示集合的列举法表示二元关系。例4.1中的A到B的全域关系E=AxB={<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>}, A上的恒等关系丄二{<a, a>, <b, b>}等都是用列举法表示的。
解 A上的恒等关系
IA - {<a, a>, <b, b>}o
A到B的全域关系
—
E 二 A x B = (<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>}o
—4. 1.2特殊的关系
除了以上3种特殊的关系以外，还有一些常用的关系 如下：
❸(1)小于等于关系：设A为实数集R的子集，
LA = {<x, y>|x, y G A A x<y) 叫做A上的小于等于关系。
DB =(<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <1, 6>, <2, 2>, <2, 6>, <3, 3>, <3, 6>, <6, 6>)
(2) P(C)=(0,(a},(b),C}, RQ =(<0, 0>, <0, {a}>, <0, {b}>, <0, C>, <{a}, {a}〉, <{a}, C〉
定义4.1
设A, B为集合，A x B的任何子集称作从A到B的二元关系，特别当A=B时，称做A上的二元关系。 二元关 系简称为关系，一般记作R。即若R Q A x B，R是从A到B的二元关系，若R Q A x A，R是 A上的二元关系。
对于二元关系R,如果<x,y> e R,则记作xRy,称x与y之间有关系R；相反，若<x,y〉wR,贝U称 x与y之间没有 关系R,记为xRy。 例如 /?i={<l, 2>, <a, b>}, 7?2=(<1, 2>, a, b}, = 0 ,
以 以 • 例如，有A, B，C三个人和四项工作 ，P，七S，已知A可以从事工作 ，8，B可 以从 丫 以 事工作 ，C可以从事工作 ，po那么人和工作之间的对应关系可以记作
以 以 R={<A,
>,<A, 8 >, <B, y >, <C,
>,<C, P >)
有序对反映了两个元素之间存在关系。
-=-4. 1.1关系的定义
3.矩阵表示法
矩阵表示法只适用于有限集上的关系。
设A、B都是有限集,A={a11a2,--,am}, B={b1,b2,--,bn）,从A到B的关系R可以用一个mxn 的矩
阵MR来表示，MR二（万）
' 7/mxn
MR的第i行第j列的元素气取值如下：
1 若 a^Rbj
4\
其中 〜 ，
i = 1, 2, m, j = 1, 2, n
定义4.3 设A、B为任意集合，
(1) 空集。是AxB的子集，叫做从A到B的空关系。 (2) E = AxB,叫做从A到B的全域关系。 (3) IA = (<x, x> I xeA},叫做A上的恒等关系。
例4. 1
I设A ={a, b}, B= (1, 2},求A 上的恒等关系七和A到B的全域 关 系E。
例2. 14
设A], A%An是n个集合，A1xA2x-xAn的任一子集，都称为A1, A%…、An间的一个n元关系。 即若R是A” A?,…,An间的一个n元关系，则R g A1xA2x-xAn。
―4. 1.2特殊的关系
设A、B为任意集合，以下介绍3种特殊的关系：空关系0,全域关系E和恒等关系七。
定理4. 1
设A是具有n个元素的有限集，贝IJA上的二元关系有2疽种。
证：若|A|=n,由排列组合原理知|AXA|『2,贝UAXA有2疽个子集，每—个子集代表—个 A上的二元关系，所
以A上有2疽个不同的二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关系。 例如若|A|=3,贝IJA上有2,2=512个不同的二元关系。
n 可以将二元关系扩展到 元关系，其定义如下：
• (2)整除关系：设A为非零整数集z*的子集， DA = (<x, y>|x, y £A Ax是y的因子} 称
为A上的整除关系。
酬(3)包含关系：设A为任意一个集族， Re = (<x, y>|x,y 6 AAxcy) 称为
A上的包含关系。
类似还可定义大于等于关系，小于关系，大于关系，真包含关系等。
例4.2
⑴ 设尝{-1, 0.5, 4}, B=(1, 2, 3, 6},求LA与DB。
⑵设C={a, b},求电={<x, y> | x, y G P(C) x y} o
解(1) LA =(<-1, -1>, <-1, 0.5>, <-1, 4>, <0.5, 0.5>, <0.5, 4>, <4,4>)
2. 描述法 二元关系也可以用表示集合的描述法表示。上述常用的小于等于关系LA ={<X, y> I x, y G
A A x<y}x整除关系={<x, y> | x, ycA △ x是y的因子}以及包含关系= (<x, y> | x, y e A A xcy) 等都是用描述法表示的二元关系。
—4. 1. 3关系的表示
4. 1关系的概念
二元关系：仅含有序对的集合或此意义下的空集。
-2. 4.1前束范式的定
义
亀|二元关系在日常生活中普遍存在，例如，人与人之间有“同学”关系、“师生”关系， 两个
数之间有“大于”关系、“等于”关系，程序之间有“调用”关系。无论是在数学上 或是
在计算机科学中关系都有着重要的地位。
•二元关系知识逻辑概图:n
4.4等价关系与划分 \___ 丿
t
4.5相容关系与覆盖
\____________________________) A
4.6偏序关系 V___)
具有特殊性质的关系
r 4.3关系的运算r
C 4.2关系的性质
集合运算 特有运算
自反 反自反 对称 反对称 传递
•=关系在计算机科学技术中的应用
则、R3是二元关系，而&2不是关系，除非将a和b定义为有序对。 例如，若 A={1,2,3, 4}, B={0,1,2},
则 R± ={<2, 2>, <3, 1>, <4, 0>}, = A x B, R3= 0 等都是从A到B的关系，而&4={<3, 4>}是A上的关系，不是从A到B的关系。
4.1.1关系的定义
,<{b}, {b}〉，<{b}, C>, <C, C>}
-=4. 1. 3关系的表示
由二元关系的定义可以看出，二元关系是集合，所以集合的各种表示方法也适用于关系。
1. 列举法
可以用表示集合的列举法表示二元关系。例4.1中的A到B的全域关系E=AxB={<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>}, A上的恒等关系丄二{<a, a>, <b, b>}等都是用列举法表示的。
解 A上的恒等关系
IA - {<a, a>, <b, b>}o
A到B的全域关系
—
E 二 A x B = (<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>}o
—4. 1.2特殊的关系
除了以上3种特殊的关系以外，还有一些常用的关系 如下：
❸(1)小于等于关系：设A为实数集R的子集，
LA = {<x, y>|x, y G A A x<y) 叫做A上的小于等于关系。
DB =(<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <1, 6>, <2, 2>, <2, 6>, <3, 3>, <3, 6>, <6, 6>)
(2) P(C)=(0,(a},(b),C}, RQ =(<0, 0>, <0, {a}>, <0, {b}>, <0, C>, <{a}, {a}〉, <{a}, C〉
定义4.1
设A, B为集合，A x B的任何子集称作从A到B的二元关系，特别当A=B时，称做A上的二元关系。 二元关 系简称为关系，一般记作R。即若R Q A x B，R是从A到B的二元关系，若R Q A x A，R是 A上的二元关系。
对于二元关系R,如果<x,y> e R,则记作xRy,称x与y之间有关系R；相反，若<x,y〉wR,贝U称 x与y之间没有 关系R,记为xRy。 例如 /?i={<l, 2>, <a, b>}, 7?2=(<1, 2>, a, b}, = 0 ,
以 以 • 例如，有A, B，C三个人和四项工作 ，P，七S，已知A可以从事工作 ，8，B可 以从 丫 以 事工作 ，C可以从事工作 ，po那么人和工作之间的对应关系可以记作
以 以 R={<A,
>,<A, 8 >, <B, y >, <C,
>,<C, P >)
有序对反映了两个元素之间存在关系。
-=-4. 1.1关系的定义
3.矩阵表示法
矩阵表示法只适用于有限集上的关系。
设A、B都是有限集,A={a11a2,--,am}, B={b1,b2,--,bn）,从A到B的关系R可以用一个mxn 的矩
阵MR来表示，MR二（万）
' 7/mxn
MR的第i行第j列的元素气取值如下：
1 若 a^Rbj
4\
其中 〜 ，
i = 1, 2, m, j = 1, 2, n
定义4.3 设A、B为任意集合，
(1) 空集。是AxB的子集，叫做从A到B的空关系。 (2) E = AxB,叫做从A到B的全域关系。 (3) IA = (<x, x> I xeA},叫做A上的恒等关系。
例4. 1
I设A ={a, b}, B= (1, 2},求A 上的恒等关系七和A到B的全域 关 系E。
例2. 14
设A], A%An是n个集合，A1xA2x-xAn的任一子集，都称为A1, A%…、An间的一个n元关系。 即若R是A” A?,…,An间的一个n元关系，则R g A1xA2x-xAn。
―4. 1.2特殊的关系
设A、B为任意集合，以下介绍3种特殊的关系：空关系0,全域关系E和恒等关系七。
定理4. 1
设A是具有n个元素的有限集，贝IJA上的二元关系有2疽种。
证：若|A|=n,由排列组合原理知|AXA|『2,贝UAXA有2疽个子集，每—个子集代表—个 A上的二元关系，所
以A上有2疽个不同的二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关系。 例如若|A|=3,贝IJA上有2,2=512个不同的二元关系。
n 可以将二元关系扩展到 元关系，其定义如下：
• (2)整除关系：设A为非零整数集z*的子集， DA = (<x, y>|x, y £A Ax是y的因子} 称
为A上的整除关系。
酬(3)包含关系：设A为任意一个集族， Re = (<x, y>|x,y 6 AAxcy) 称为
A上的包含关系。
类似还可定义大于等于关系，小于关系，大于关系，真包含关系等。
例4.2
⑴ 设尝{-1, 0.5, 4}, B=(1, 2, 3, 6},求LA与DB。
⑵设C={a, b},求电={<x, y> | x, y G P(C) x y} o
解(1) LA =(<-1, -1>, <-1, 0.5>, <-1, 4>, <0.5, 0.5>, <0.5, 4>, <4,4>)
2. 描述法 二元关系也可以用表示集合的描述法表示。上述常用的小于等于关系LA ={<X, y> I x, y G
A A x<y}x整除关系={<x, y> | x, ycA △ x是y的因子}以及包含关系= (<x, y> | x, y e A A xcy) 等都是用描述法表示的二元关系。
—4. 1. 3关系的表示