傅里叶级数展开

傅里叶级数展开傅里叶级数其实是一种三角级数。

三角级数的一般形式是
∑∞=++10)sin cos (2a n n n nx b nx a 其中0a ，n a ，n b （n=1,2，···）都是实数。

现在能否把一个任意周期为2π的函数表示为一系列正弦函数之和呢？这样表示有什么条件吗？且听慢慢分辨。

现在的焦点就是把一个周期为2π的函数f （x ）表示为：
∑∞=++=10)sin cos (2a )(f n n n nx b nx a
x [1]
这样的形式。

现在有两个问题：
1.在什么条件下把f （x ）展开成[1]的形式：
2.0a ，n a ，n b 如何确定。

由三角函数系的正交性可知，三角函数系中任意两个相同的函数之积在[-π，π]上积分不为零；任意两个不相同的函数之积在[-π，π]上积分为零。

接下来可以这样推导0a ，n a ，n b 的值
第一步：对[1]两边同时在[-π，π]上积分有：
∑∫∫∫∫∞=++=1---0-dx]
sin b dx cos [dx 2a dx )(f n n n nx nx a x πππππ
πππ=π0a ，
故0a =∫πππ-dx
x f 1）（第二步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有：∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d cos sin b d cosn cos [d cosn 2a d cosn
)(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππππ
π得，
），（）（∫==πππ-n
2,1n cosnxdx x f 1a ⋯第三步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有：
∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d sin sin b d sinn cos [d sinn 2a d sinn
)(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππ
πππ得，
），（）（∫==πππ-n
2,1n sinnxdx x f 1b ⋯那么什么条件下才能有以上展开呢？
Dirichlet 收敛定理回答了这个问题。

Dirichlet 收敛定理是这样的：
设f （x ）是周期为2π的周期函数，且满足：
1.在[-π，π]上除了有限间断点之外都连续；
2.在[-π，π]上分段单调：
好了，现在知道了只要满足Dirichlet 收敛定理的f （x ）都可以展开为[1]式，且
0a =∫π
π
π-dx x f 1）（，），（）（∫==π
π
π-n 2,1n cosnxdx x f 1
a ⋯，），（）（∫==π
ππ-n 2,1n sinnxdx x f 1
b ⋯。