5-单自度体系的非线性振动解析
第5章单自由度结构的非线性振动课件
1 3
0
计算得到解的一次近似为
y(t)2 0 F 2c o t s a co 3 ts () O ()
0
k1 0.04r5ad/s m
第一项为干扰谐波频率振动，第二项为3倍高次谐波振动项。
学习交流PPT
12
干扰周期
干扰谐波 高次谐波
横荡响应时间历程图
横荡运动响应谱
0
k1 0.04r5ad/s m
第二段刚度值为：1m 0y2m 0 k233.8(t/m )
吨
运动方程：
单自由度分段线性系统符号模型
m y k1y0 m y k2yk1ek2e0
(aye)
(eyb)
学习交流PPT
18
第一段恢复刚度的固有频率：
1
18 0.00(8r/5s) 250000
第二阶段运动的固有频率：
2
3.38 0.01(1r/6s) 250000
5.6.1 次谐波振动
具有n次方的非线性恢复力的系统承受简谐干扰力时，其响应除了与干 扰力频率相同的主谐波响应外，还可能有频率为（1/n）干扰频率的谐波。
例如：求系泊船的横荡运动响应。
m y c y k 1y k3y3p 0sitn
非线性恢复力为3次方，则振动响应中会出现
1 3
谐 波。
近似解析解：
5.1.2 辐射状系泊船的的非线性纵荡运动
m * y cdy 2F HF w (t)
学习交流PPT
2
F HFsin ly [R 0AlE ll]
sin y l
ll 1(y l)2
FH R0(yl )2Al3Ey3
m * y cdy 2R l0yA l3 y E 3F w (t)
非线性振动系统的动力学分析和控制
非线性振动系统的动力学分析和控制随着现代科技的发展和应用的扩大，我们已经离不开振动系统的存在。
振动系统既是一个重要的研究领域，也是一个广泛的应用领域。
非线性振动系统是研究振动系统的一个重要分支。
它的研究有着重要的理论和实际意义。
本文将对非线性振动系统的动力学分析和控制进行阐述。
一、非线性振动系统的基本概念在振动系统中，物体发生振动是因为受到了一定的外界激励。
如果激励的大小和方向与物体的振动相同，那么称这种振动为谐振动。
当物体受到的激励越来越强，激励与物体振动的关系不再满足线性关系，这时就出现了非线性振动。
非线性振动系统中的物体的运动状态，不能只用物体的平衡位置和速度来描述，它需要考虑物体的位移和加速度。
非线性振动系统还具有一些特殊的动态特性，例如，共振现象、混沌现象等，这些都是在线性系统中不会出现的现象。
二、非线性振动系统的动力学分析非线性振动系统的动力学分析包括非线性振动系统的力学建模、运动方程的建立、动力学分析和系统稳定性分析。
1. 非线性振动系统的力学建模在建立非线性振动系统的力学模型时，需要确定振动系统的结构、物体的运动状态、相互作用力的类型和大小，以及各种耗散力的影响等。
力学建模的精度直接影响到后续的动力学分析和控制策略的选择。
2. 运动方程的建立非线性振动系统的运动方程代表了振动系统的运动状态和动态特性。
运动方程需要根据振动系统的力学特性和初始条件来建立，通常使用微分方程和偏微分方程来描述。
3. 动力学分析动力学分析是指对非线性振动系统的振动过程进行分析。
动力学分析的内容包括确定振动系统基态和平衡态的稳定性，探究振动系统的共振现象、混沌现象和非周期运动特性等。
4. 系统稳定性分析非线性振动系统的稳定性分析，是指通过研究振动系统的稳定性，探究如何通过控制振动系统的运动状态，使振动系统达到一个稳定的状态。
研究方法通常是利用李亚普诺夫稳定性定理。
三、非线性振动系统的控制在非线性振动系统的控制中，我们可以采用多种方法，如线性反馈控制、非线性控制和混沌控制等。
动力学稳定性解读非线性振动系统状态判定原理
动力学稳定性解读非线性振动系统状态判定原理引言：非线性振动系统是一类复杂而普遍存在于自然界与人工工程中的系统。
其与线性振动系统相比，具有更加复杂的动力学行为，可能表现出周期运动、混沌、双稳态等特性。
了解非线性振动系统的状态和稳定性对于工程设计和科学研究具有重要意义。
在本文中，我们将探讨非线性振动系统的状态判定原理，并解读动力学稳定性的相关概念。
一、非线性振动系统的状态非线性振动系统的状态可由一组状态变量来描述。
在每个特定的状态下，该系统的所有物理量都有明确定义的值。
状态变量常常包括位移、速度和时间。
当系统受到外部激励时，其状态会随时间而变化，从而导致系统产生振动。
二、动力学稳定性动力学稳定性是指非线性振动系统在一定条件下对初始条件及外部扰动的鲁棒性。
系统稳定性可以分为以下几种类型：1. 渐近稳定性：系统的状态变化会随着时间的推移而趋于稳定的特定数值。
这意味着系统会在某个有限的时间内趋近于某个平衡点。
2. 部分稳定性：系统的部分状态可能趋近于稳定，而其他状态则很容易偏离平衡点。
这种情况下，系统可能会经历周期性或非周期性的振荡。
3. 渐近稳定性的有界性：系统状态在有限的时间内趋于有界的数值范围。
系统的振荡幅度会随着时间的推移而逐渐减小。
三、非线性振动系统状态判定原理非线性振动系统的状态判定原理基于稳定性分析和动力学方程求解。
常用的方法有延迟坐标法和Lyapunov指数法。
1. 延迟坐标法延迟坐标法是一种基于相图的分析方法。
它的基本思想是将动力学系统的状态变量设定为延迟的函数，并通过绘制相图来观察周期运动或混沌状态。
相图能够有效地揭示系统运动的周期性和稳定性。
2. Lyapunov指数法Lyapunov指数法是一种以Lyapunov指数为基础的分析方法。
该指数可以衡量系统的稳定性。
具体地，Lyapunov指数是描述非线性振动系统与初始条件的敏感度。
当Lyapunov指数为负时，非线性振动系统是稳定的；而当Lyapunov指数为正时，系统是不稳定的。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动系统的分析及控制研究
非线性振动系统的分析及控制研究随着工业技术的发展与科学技术的进步，人们对于各种复杂系统的掌控能力越来越强，其中非线性振动系统的研究越来越成为学术界各个领域的热门话题。
本文将探讨非线性振动系统的分析及控制研究。
一、非线性振动系统的基本概念所谓非线性振动系统，是指在系统的运动过程中，运动物体的振幅与外界作用力并非呈线性比例关系的一类系统。
传统的线性振动系统一般受到简谐激励，其运动特点是稳定可预测的，但非线性振动系统则不同，其振动运动可能是不稳定的，具有复杂的变化规律。
二、分析非线性振动系统的方法非线性振动系统一般需要采用计算机数值模拟的方法进行分析。
其中，有限元法是最常见的一种方法，它将整个系统离散化为有限个部分，每个部分都可以看做是一个线性系统，在整个系统受到外界作用力的情况下，可以通过数值模拟来显示系统的运动规律。
还有一种方法是使用符号动力学的方法，该方法能够用数学符号来刻画非线性系统的运动规律，而不必进行数值模拟。
符号动力学的方法也可用于分析混沌系统，这类系统的一个显著特点就是其系统状态的不可预测性。
三、控制非线性振动系统的方法与线性振动系统相比，非线性振动系统的控制更加具有挑战性。
控制的首要任务是要消除各种机械系统中的振动现象，获得更可靠、稳定的运行状态。
以下主要介绍四种控制非线性振动系统的方法。
1. 相位调节法根据相位的变化来控制系统的运动特性。
方法是通过控制系统的运动频率，调整不同维度的振动相位，从而使系统振动的受力状态变得简单。
在物理系统中，相位控制可以通过实际调整机械系统中结构的几何参数、修改材料的物理特性来实现。
2. 双向激励法通过同时施加两个具有不同频率的力，引起系统振动不稳定，从而使振动状态发生变化，从而实现控制。
如同传统的单向激励法一样，双向激励法需要建立振动系统的数学模型，从而计算过程中需要考虑系统的精度和计算速度。
3. 非线性现象的利用控制器通过适当地设计来加入一些非线性元件或者额外的输入，从而利用非线性效应达到抑制振动的目的，这种方法能够对抑制小振幅、高频率震动非常有效。
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
非线性振动系统的特性分析与控制
非线性振动系统的特性分析与控制引言振动是普遍存在于自然界和工程领域的一种现象，其涉及到许多重要的问题，包括结构的疲劳、能量的传递和噪声控制等。
线性振动系统的特性已被广泛研究和应用，但非线性振动系统的特性及其控制机制则远不为人所熟知。
本文将讨论非线性振动系统的特性分析与控制。
一、非线性振动系统的特性非线性振动系统的特性与线性系统存在着显著差异。
首先，非线性振动系统的响应非线性，即其振幅和频率不随外力的大小和频率而线性变化。
其次，非线性振动系统存在着多个稳定状态，即系统可能会在不同的运动状态之间跳跃，呈现出周期性和混沌现象。
此外，非线性振动系统对初条件和参数变化非常敏感，轻微的扰动可能会导致不同的响应，这种现象被称为“极端灵敏性”。
二、非线性振动系统的数学模型非线性振动系统的数学模型可以通过包括振动微分方程在内的物理规律建立起来。
常用的非线性振动系统模型包括Duffing方程、Van der Pol方程和Lorenz方程等。
这些方程描述了非线性振动系统中力的非线性特性和自身的动力学行为。
通过对这些方程的求解，可以得到非线性振动系统的运动方程和稳定状态。
三、非线性振动系统的控制方法针对非线性振动系统的特性，人们提出了多种控制方法，以实现系统的稳定和控制。
传统的控制方法包括有限时间控制、滞环控制和非线性反馈控制等。
有限时间控制是通过引入时间因子限制系统在有限时间内达到一个预定的稳定状态。
滞环控制则是通过增加一个非线性环节，利用系统的滞后特性来实现稳定。
非线性反馈控制是通过引入非线性反馈环节来抑制系统的非线性特性。
这些传统的控制方法在一定程度上能够实现对非线性振动系统的控制，但难以解决系统的混沌行为和极端灵敏性等问题。
近年来，人工智能和机器学习技术的发展为非线性振动系统的控制带来了新的突破。
通过建立系统的数学模型，可以利用神经网络和遗传算法等技术对系统进行建模和优化。
并且，通过监控系统的状态和响应，可以使用强化学习技术来实现对系统的自适应控制。
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
单自由度汽车悬架系统非线性振动特性研究
（21）
得
u1 τ = hB1
A13e3iτ + A13e3iτ 8w02
=hB1a3cos3 τ+β1
/ 32w02 （22）
当 m=2 时，可得
R2
=
A12Ω0Ω1 + εB2Ω1iA1
第 19 卷 第 2 期 2019 年 2 月
中国水运 China Water Transport
Vol.19 February
No.2 2019
单自由度汽车悬架系统非线性振动特性研究
常一帆
（昆明理工大学 建筑工程学院，云南 昆明 650000）
摘 要：建立路面随机激励作用下汽车悬架系统单自由度模型，使用同伦分析方法研究汽车非线性振动特性，将结
（8）
假设 q∈0,1，零阶形变方程的解Φ τ,q 都存在，再假 设Φ τ,q 关于 q 的无穷导数也存在，将其在 q=0 处做泰勒
展开，令 q 的各相同次幂的系数为 0，可得：
+
Φ τ,q = Φ0 τ,0+Φm τ,q m=1
（9）
+
Ω q = Ω0 + Ωm q m=1
Φ
τ,q
（6）
定义非线性算子：
N Φ τ,q ,Ω q ,H q = Ω · Ω Φ ”+ ε B2 Ω
Φ’+W·WΦ+B1Φ·Φ·Φ-H0sin（τ）
（7）
其中，q∈0,1 是一个嵌入参数，零阶变形方程
LN Φ τ,q =qh N Φ τ,q ,Ω q ,H q
果与数值解进行对比和比较，证明了同伦分析法对汽车悬架系统研究的有效。为悬挂系统参数的优化提供了理论基
非线性振动系统的动力学建模与分析
非线性振动系统的动力学建模与分析引言：振动现象在自然界和工程领域中普遍存在，因此对振动的研究具有重要意义。
线性振动系统的动力学研究已经相对成熟，但实际中许多振动系统的运动规律无法用线性模型描述，即非线性振动系统。
本文将讨论非线性振动系统的动力学建模方法和分析技术。
一、非线性振动系统的动力学方程非线性振动系统的运动方程一般可以表达为：m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \frac{{dx}}{{dt}} + kx = F(x,\frac{{dx}}{{dt}})其中，m是系统的质量，c是阻尼系数，k是刚度系数，F(x, dx/dt)表示非线性力的函数关系。
非线性力的引入导致了系统的非线性行为，因此对非线性振动系统的分析与线性振动系统有所差异。
二、非线性振动系统的建模方法1. 数值模拟法：对于复杂的非线性振动系统，可以使用数值模拟方法求解。
通过离散化系统的运动方程，利用数值算法（如Runge-Kutta 法）进行求解，可以得到系统的时间-位移曲线和相图等信息。
数值模拟方法适用于复杂的非线性系统，但需要考虑计算复杂度和收敛性等问题。
2. 经验计算法：一些简单的非线性振动系统可以使用经验计算法进行建模和分析。
例如，对于像弹簧质量系统一样的简单非线性振动系统，可以通过适当的近似和经验公式来求解系统的运动方程和稳定解。
经验计算法的优势在于简单直观，但适用范围有限。
三、非线性振动系统的分析技术1. 频域分析：频域分析是非线性振动系统研究中常用的一种方法。
通过将非线性运动方程转化为频域表达，可以得到系统的频率响应和频谱分析等信息。
常见的频域分析方法有Fourier变换和功率谱密度分析等。
2. 相空间分析：相空间分析是非线性动力学研究的重要工具。
通过将系统的状态变量表示为相空间中的点，可以直观地观察系统的轨迹和稳定解。
相空间分析方法包括Poincaré映射、Lyapunov指数等。
3. 非线性模态分析：非线性振动系统的模态分析是对系统振动特征的研究。
非线性振动现象
非线性振动现象振动是物体围绕平衡位置做周期性的来回运动，它是自然界中普遍存在的现象。
在很多实际问题中，我们会遇到非线性振动现象，即振动系统不满足线性的回复力定律。
非线性振动现象在物理学、工程学以及生物学等领域都有广泛的应用和重要的研究价值。
一、什么是非线性振动现象非线性振动现象是指振动系统的受力律不满足线性回复力定律，即系统力与位移之间的关系不是线性的。
与线性振动相比，非线性振动显示出更加丰富的运动特性和行为。
非线性振动现象的出现主要归结为以下几个方面的原因：1.回复力律的非线性：通常线性振动系统受到的回复力与振动的位移成正比，但在某些情况下，回复力可能随着位移的增加而变化速率不等，导致非线性振动现象的出现。
2.系统参数的非线性：振动系统的参数非线性，如刚度、阻尼系数、质量等的变化，也会导致系统的振动特性发生变化。
3.外部扰动的非线性：外界对振动系统的扰动如果不规律、不可逆，也会导致系统出现非线性振动现象。
二、非线性振动的种类非线性振动现象的种类繁多，下面介绍几种常见的非线性振动现象：1.硬度非线性：当振动系统的回复力不仅与位移的大小有关，还与位移的变化率有关时，就会出现硬度非线性。
硬度非线性表现为振动系统的频率与振幅的关系非线性，通常存在频率间跳变、倍频和次谐波等特点。
2.阻尼非线性：振动系统受到非线性阻尼时，会出现振幅的跃变、突变等非线性现象。
3.非线性共振：当振动系统的频率接近系统的特征频率时，振幅会出现非线性的迅速增大，达到共振峰值。
4.受迫非线性振动：当振动系统受到非线性外力激励时，振幅和频率会发生非线性变化。
三、非线性振动的应用非线性振动现象在各个领域都有广泛的应用和研究价值：1.物理学：非线性振动现象的研究在物理学领域中有重要的地位。
例如，非线性振动现象的研究为材料的性能评估和电磁波的传播提供了重要依据。
2.工程学：非线性振动的研究对于工程结构的设计和优化至关重要。
例如，建筑结构和桥梁的振动特性分析需要考虑非线性振动的影响。
单自由度非线性振动等效线性化法分析
=
由高 等数 学的 极 值 定律 可 知 ( 5 ) 式 给 出 的 k 使 么 取极 小 值 因 此 假 设 的简 谐 振动时 等 效线性化 力逼 近非 线性力 时 的误差平 方 和 累 计最小 故此时 等 效线性化 具 有最优性 3 单 摆 的 非线 性振动 单 摆 的振 动 虽 然简 单 但 近 年来 工程师 发 现 单 摆 可 以 运用 到结 构 的耗 能减 震 中 并 取得 了 良好 的效果 如 下 图 的悬 吊 摆 式 T M D 通 过 控制摆 长 可 以 调 节 其 频 率并 有效地 起 到 主 体 结 构 的减 震 作 用 4 空 腔 楼 盖 内置 「P S 一 下M O 结构减 震 随着人们 对 摆动 研究 工作 的 深 人 开 发 出 了 多 种 形 式 的 阻 尼 器 诸 如 下图 的摩 摆式 阻 尼 器 它克服 了 悬 吊式 阻 尼 器 的所 需 空 间 大 的 缺 点 可 以 在 小 空 间 内并 可 以 采 用 特殊 形 式 的支 座 来进行 调 谐达 到结 构 减 震 的 m 板 质量为 此 非 线性微 分方 程 可 以 采 用 上述 的 等 效线性化 的方 法进行 近 似 求解 近 年 高 层 结 构 为 了节 约 混 凝 土 的用 量 研究 出 了 空 腔 楼板 作者 未来在 此领 域 想利 用 空 腔 的 内置 空 间 结合摩 摆式 阻 尼器 一 的原 理 在 空 腔 内设 置 F P S T M D 阻 尼 器 以 期 达 到 既 经济 又 满足 结 构 耗 能减 震 的双 重 目 的 参考 文献 [ ] 陈 立 群 关 于 单 自由度 非 线 性谐 迫 振 动等效 线 性 化 方 法 l ] 长 沙 大 学学报 2 J 的 注记 [ 0 0 3 仔) [ ] 陈 立 群 等效 线 性 化 方 法 的最优 性 [ 2 ] 力 学 与 实 践 19 9 6 J
非线性振动特征及识别方法
非线性振动特征及识别方法实际工程中有许多振动问题是非线性振动，例如油膜振荡、摩擦、旋转失速、流体动力激振等。
线性振动系统与非线性振动系统的区分，往往取决于系统在激振力作用下的振幅大小。
由于用线性振动理论能比较简便地研究和解决旋转机械系统的主要故障，所以在精度允许的情况下，可以把非线性振动问题线性化，作为线性振动来处理。
但是在实际工程中，有些异常振动现象无法用线性振动理论来解释，而用非线性振动理论阐明故障机理，却很方便。
非线性振动的主要特征如下。
(1)固有频率随振动幅值而变化线性振动系统的固有频率只与系统的固有特性（k、m）有关，是一固定数值。
而非线性振动系统则不同，其固有频率随振动系统的振幅大小而变化，如图1-12所示。
图1-12 自由振动的振幅与频率的关系(2)振幅跳跃现象具有非线性弹性的机械系统，在周期激振力作用下，振动可用强迫振动的基本成分ω与其高次谐波分量之和来表示。
据此可得到不同阻尼特性和振幅下的共振曲线，如图1-13所示。
图1-13 共振曲线与跳跃现象图（a)为软弹簧的情况，图(b)为硬弹簧的情况。
在图(a)中，如将激励频率慢慢增大，振幅将沿曲线AB变化；在BC之间具有三个平衡点，而CF之间的平衡点是不稳定的平衡点。
因此，从B移向C，一过C点就突然跳跃到D，然后进到E点，振幅发生突变。
如将激励频率慢慢减少，从E下降的情况，经过的路程是从EDF跳跃到BA。
在图（b)中，振幅也同样发生突变，这种现象称为振幅跳跃现象。
相位也有相同的跳跃现象。
(3)分数谐波共振和高频谐波共振在非线性系统中，若以频率接近于固有频率整数倍的激励作用于系统发生共振时，以激励频率为基准，则共振的频率为激励频率的整数分之一，称为分数谐波共振。
若激励频率接近于固有频率的整分数倍时，也会引起共振，这种共振称为高频谐波共振。
(4)组合共振（和差谐波共振）在非线性系统中，若有两种不同频率ωl和ω2的激振力作用于系统，当它们的和（ωl＋ω2）、差（ω1-ω2）或（mω1士nω2）与固有频率一致时，往往也会引起共振，这种共振称为组合共振。
非线性振动
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留 到二阶导数加速度项，并引入两个参数 和对截去的高阶小 量作修正。
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
单自由系统的振动
T
1 2
mx 2
1 2
m A2 2
cos2 (
t
)
,
V
1 2
kx2
1 2
kA2
sin2 (
t
)
(2.2.34)
k/m
T
1 2
kA2
cos2 (
t
)
总能量守恒:
E
T
V
1 2
kA2
E
Tmax
为φ (x)，将塔的弯曲变形表示为
y(x,t) (x)Y (t) (1.2.14)
第2章 单自由度系统的振动
x
Y (t)
M
q( x, t )
(x)
m(x) l
EI (x)
y
图2.1.4 水塔模型
(x)满足 (l) 1，Y (t)为水箱的水平位移，为广义位移。
注意 ：φ(x)有多种选择的可能，只要满足约束条件即可，例如，取
0
(2.1.1 8)
第10页/共81页
第2章 单自由度系统的振动
广义质量
：
m*
M
l 0
m(x)
2
(
x)
dx
令 ：广义刚度 ：
k*
l 0
EI(x)
"(x)
2
dx
广义荷载 ：
F
*
(t
)
l 0
q(
x,
t)
(x)
dx
t1 t0
[
m*Y
Y
k *Y
Y
F *(t)
Y
] dt
0
(2.1.19) (2.1.20)
F
l2 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1-3单自由度系统的非线性振动主要问题1-3-1非线性问题的力学描述1-3-2相轨迹与奇点1-3-3静态分叉1-3-5 非线性系统的受迫振动1-3-4 有阻尼系统的自由振动1-3-1 非线性问题的力学描述力学模型⇩ 非小变形 ⇩ 非粘滞阻尼对于振动系统的基本元素弹簧 质量体 保守系统阻尼非保守系统非线性振动问题数学模型0),(=+x x f x单自由度系统动力学方程的一般形式1-3-2 相轨迹与奇点相平面内的相轨迹单自由度系统振动问题运动微分方程——解析法相平面法——几何法定量分析定性分析),(xx f -——单位质量物体上作用的恢复力和阻尼力的合力 方程不显含时间变量，则系统称为自治系统状态变量 令xy =⎩⎨⎧-==),(x x f yy x则初始条件为0)0(,)0(:0y y x x t ===yx （位置）（速度） 系统的运动状态 相平面相点相轨迹相轨迹族方程 yxx f dx dy ),( -=！相轨迹与x 轴正交∞→=0y dx dy(不同初始条件)设（x s ，y s ）⇩ 由柯西微分方程解的存在唯一性定理，除奇点外，相平面上 的任何点只能通过一条积分曲线相平面的奇点),(,0==s s s y x f y 相轨迹的奇点⇩ 奇点处无积分曲线通过，或无数条积分曲线通过 ⇩ 奇点处相点的移动速度为零，即相点沿通往奇点的相轨迹 运动须经过无限长时间才能到达奇点⇩ 奇点的物理意义即系统的平衡状态。
奇点亦称其为相平面的平衡点）（0==xy ）0==xy （相平面内使相轨迹族的一阶微分方程的分子与分母同时为零的点奇点的稳定性定义（李雅普诺夫，Ляпунов.А.М）对于任意的 0>ε，若能找到确定的 0)(>εδ，使得在 t = t 0 时从以 奇点为中心、δ为半径的圆内任意点出发的相轨迹在 t > t 0 时保持在以该奇点为中心，ε为半径的圆内，则该奇点为 稳定的。
反之为不稳定的。
能量积分0)(=+x f x最简单机械系统——保守系统的动力方程为相轨迹方程为考虑初始条件，分离变量积分，得相轨迹方程（保守系统的能量积分）E x V y =+)(212（保守系统的自由振动）yx f dx dy )(-=其中⎰=xxd x f x V 0)()(单位质量保守系统的势能[])(2x V E y -±=)(21020x V y E +=系统的总机械能举例⇩ 相轨迹曲线相对于横坐标轴对称)(,0='=x V y 相轨迹特性⇩ 在势能曲线V (x )与横坐标平行线 z = E 交点的横坐标处，对应相轨迹与横坐标轴相交处⇩ 与势能曲线V (x ) 驻点对应的横坐标上的点为奇点 ⇩ 在势能取极小值处，可得围绕奇点的封闭相轨迹。
该类奇点是稳定的，称之为中心。
对应于系统的稳定平衡状态⇩ 在势能取极大值处，无对应的相轨迹。
该类奇点是不稳定的，称之为鞍点； 对应于系统的不稳定平衡状态；通过鞍点的相轨迹称为分隔线保守系统势能曲线保守系统相轨迹势能极值点在势能曲线的拐点处，相轨迹一侧具有中心性质，另一侧具有鞍点性质，相轨迹不封闭。
该类奇点是退化的鞍点。
对应于系统的不稳定平衡状态以上分析从相平面的几何观点出发，证明了保守系统平衡稳定性的拉格朗日定理（Lagrange theorem)☺ “若保守系统的势能在平衡位置处有孤立极小值，则平衡状态稳定”由封闭相轨迹积分，可计算系统周期运动的周期[]⎰-=)(20x V E dxT 一般情况下周期与初始条件相关只有线性保守系统的周期与初始条件无关α>0 α<0 022024ωπω=-=⎰AxA dx T xx f α=)(恢复力 221)(x x V α=势能函数 Ex y 222=+α相轨迹方程 正刚度负刚度椭圆族 奇点—中心 简谐振动双曲线族 奇点—鞍点 平衡状态不稳定振幅2ωEA =取决于积分常数，即初始条件周期线性系统存在等时性线性保守系统3)(xx x f εα+=恢复力势能函数424121)(xx x V εα+=Ex x y 221422=++εα相轨迹曲线硬弹簧周期解平衡状态稳定软弹簧小能量—周期解大能量——系统失稳定ε>0 ε<0非线性弹簧ϕsin )(lgx f =单摆恢复力 )cos 1()(ϕ-=lgx V 单摆势能函数 φmg6sin 3ϕϕϕ-≈当 单摆相当于软弹簧单摆的运动形式⇩ 平衡位置附近的摆动⇩ 绕悬挂点的旋转单摆中心),1,0(2 =±=k k πϕ鞍点),1,0()12( =+±=k k πϕ空间上同一位置相柱面分隔相柱面上两 类拓扑性质不同 的封闭曲线 相轨迹可缩为一点 单摆在平衡位置 附近摆动单摆绕悬挂点同一方向旋转相轨迹单摆的周期⎰-=AAd glT 00cos cos 24ϕϕ单摆的振幅A单摆不具有等时性❽ 1581年，伽利略（Galilei,G ）关于单摆等时性的发现只是 小摆幅情况下的近似现象！❽ 1674年，惠更斯（Huygens,C ）发现了单摆大幅度摆动偏 离等时性！这也是人类对非线性振动现象的最早记录1-3-3 静态分叉静态分叉概念的引出 保守系统的运动方程为 0)，(=+μx f x力场依赖于参数 μ系统的势能为 ⎰=xxd x f x V 0)()(μμ，，可见，相轨迹随参数μ变化而变化如果参数 μ 在某临界值时，相轨迹的拓扑性质发生突变，即相轨迹奇点的数和类型产生突变，则 μ 称为分叉参数； μ 的临界值 称为相轨迹的分叉值；此种相轨迹的拓扑性质随参数发生突变的 现象称为分叉)，(=μx f 确定奇点奇点中心0),(0s2<μx f s2x x <0),(0s2>μx f s2x x >0),(0s2>'μx f 0),(0s2>''μx V 极小值鞍点0),(0s1>μx f s1x x <0),(0s1<μx f s1x x >0),(0s1<'μx f 0),(0s1<''μx V 极大值分叉值分叉现象只发生于非线性系统举例非线性弹簧的平衡位置、稳定性与刚度的关系 3)(x x x f εα+=对于非线性弹簧 )1(),(3x x x f μαμ+=μ> 0 硬弹簧μ< 0 软弹簧 中心 )0(1=s x 鞍点)1(3,2μ±=s x 分叉值 )0(=μlg2ωμ=旋转摆的平衡位置、稳定性与转速的关系摆对悬挂点的运动微分方程0)cos (sin 2=-+x x xμω 奇点位置由方程)cos (sin ),(2=-=s s s x x x f μωμ分岔值中心鞍点π±=,02,1s x μarccos 3=s x 当μ =1时，临界转速为 lg cr =ω1<μ时，摆的垂直平衡状态不稳定0→μ时，摆的平衡位趋于水平位置1-3-4 有阻尼系统的自由振动对于相轨迹方程 yxx f dx dy ),( -=，采用等倾线法，可作图获得相轨迹 令C yy x f dx dy =-=),(0),(=+Cy y x f 相轨迹方程的等倾线族几何意义：等倾线上的所有点所对应的、由相轨迹方程确定的向量场指 向同一方向 线性保守系统=+Cy x α过原点的射线族若α>0，相轨迹为原点为中心的椭圆族粘性阻尼 设单位质量上，有yx y x f δα+=),(恢复力阻尼力等倾线族)(=++y C x δαζ>1ζ<1 相轨迹特点相轨迹特点⇩ 趋近奇点的螺 旋线⇩ 围绕奇点转动 但始终不能到 达奇点⇩ 趋向奇点的射线 ⇩ 到达奇点的时间 无限长（相点在 奇点移动速度为 零）运动形式：衰减振动运动形式：蠕动 奇点：稳定焦点奇点：稳定结点)(=++y C x δα⇩ 相轨迹特点向外扩展的螺旋线向外扩展的射线增幅往复运动单向运动不稳定焦点负阻尼ζ<1 ζ>1⇩ 运动形式⇩ 奇点⇩ 相轨迹特点⇩ 运动形式不稳定结点⇩ 奇点系统的总机械能不损失，且不断地有外界补充举例设单位质量物体上作用的摩擦力为yB F d sgn 等效为粘滞阻尼——干摩擦相轨迹特征起始位置 半径递减的半圆 组成螺旋线Ba a n n 21-=-相点停止运动Ba n < 弹簧恢复力小于最大静摩擦力而平衡干摩擦“死区”（-B ，B ） ☺ “死区”（-B ，B ）内均为 奇点☺ 相点在“死区”（-B ，B ） 内的终止位置随遇仪表指针归零？1-3-4 非线性系统的受迫振动达芬（Duffing ）系统的受迫振动达芬系统三次非线性恢复力 3x x a F k ε+=粘滞阻尼)cos()(0θω+=t F t F 简谐激振力达芬方程)cos()(220300θωωεωως+=+++t B x x x x取一次谐波，设激振力的待定相位差θ 恰使响应的相位为ωt利用三角公式θελcos 43)1(32B A A =+-θλςsin 2B A =达芬系统的幅频特性关系与相频特性关系2222)2(4311ςλελ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=A B A 224312arctanAελλςθ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-+=222222243142431ςεςςελA A B A t B t B t A t A A ωθωθωλςωελsin sin cos cos sin )2(cos 43)1(32-=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-幅频特性曲线与相频特性曲线硬弹簧 0.04=ε软弹簧 0.04-=ε幅频特性曲线⎪⎭⎫⎝⎛+=222431A εωω无阻尼非线性系统自由振动频率与振幅的关系相频特性曲线硬弹簧 03.0，0.2==ςε跳跃现象不稳定在振动问题中，系统地运 动状态随参数变化而发生突然 变化的现象称为动态分岔系统振幅（相位差）随频 率化而发生突然变化的现象称 为跳跃现象。
这是一种特殊的 动态分岔现象动态分岔是非线性系统所 特有的现象之一。