5-单自度体系的非线性振动解析

1-3单自由度系统的非线性振动

主要问题

1-3-1非线性问题的力学描述1-3-2相轨迹与奇点

1-3-3静态分叉

1-3-5 非线性系统的受迫振动1-3-4 有阻尼系统的自由振动

1-3-1 非线性问题的力学描述

力学模型

⇩ 非小变形 ⇩ 非粘滞阻尼

对于振动系统的基本元素

弹簧 质量体 保守系统

阻尼

非保守系统

非线性振动问题

数学模型

0),(=+x x f x

单自由度系统动力学方程的一般形式

1-3-2 相轨迹与奇点

相平面内的相轨迹

单自由度系统振动问题

运动微分方程——解析法

相平面法——几何法

定量分析

定性分析

),(x

x f -——单位质量物体上作用的恢复力和阻尼力的合力 方程不显含时间变量，则系统称为自治系统

状态变量 令

x

y =⎩⎨

⎧-==),(x x f y

y x

则

初始条件为

0)0(,)0(:

0y y x x t ===y

x （位置）

（速度） 系统的运动状态 相平面

相点

相轨迹

相轨迹族方程 y

x

x f dx dy ),( -=！相轨迹与x 轴正交

∞→=0

y dx dy

(不同初始条件)

设（x s ，y s ）

⇩ 由柯西微分方程解的存在唯一性定理，除奇点外，相平面上 的任何点只能通过一条积分曲线

相平面的奇点

),(,0==s s s y x f y 相轨迹的奇点

⇩ 奇点处无积分曲线通过，或无数条积分曲线通过 ⇩ 奇点处相点的移动速度为零，即相点沿通往奇点的相轨迹 运动须经过无限长时间才能到达奇点

⇩ 奇点的物理意义即系统的平衡状态。奇点亦称其为相平面的

平衡点

）（0==x

y ）0==x

y （相平面内使相轨迹族的一阶微分方程的分子与分母同时为零的点

奇点的稳定性定义（李雅普诺夫，Ляпунов.А.М）

对于任意的 0>ε，若能找到确定的 0)(>εδ，使得在 t = t 0 时从以 奇点为中心、δ为半径的圆内任意点出发的相轨迹在 t > t 0 时保持在以该奇点为中心，ε为半径的圆内，则该奇点为 稳定的。反之为不稳定的。

能量积分

0)(=+x f x

最简单机械系统——保守系统的动力方程为

相轨迹方程为

考虑初始条件，分离变量积分，得相轨迹方程（保守系统的能量积分）

E x V y =+)(2

12

（保守系统的自由振动）

y

x f dx dy )

(-=其中

⎰

=

x

x

d x f x V 0

)()(单位质量保守系统的势能

[]

)(2x V E y -±=)

(2

102

0x V y E +=系统的总机械能

举例

⇩ 相轨迹曲线相对于横坐标轴对称

)(,0='=x V y 相轨迹特性

⇩ 在势能曲线V (x )与横坐标平行线 z = E 交点的横坐标处，对应相轨迹与横坐标轴相交处

⇩ 与势能曲线V (x ) 驻点对应的横坐标上的点为奇点 ⇩ 在势能取极小值处，可得围绕奇

点的封闭相轨迹。该类奇点是稳定的，称之为中心。 对应于系统的稳定平衡状态

⇩ 在势能取极大值处，无对应的相

轨迹。该类奇点是不稳定的，称之为鞍点； 对应于系统的不稳定平衡状态；通过鞍点的相轨迹称为分隔线

保守系统势能曲线

保

守系统相轨迹

势能极值点

在势能曲线的拐点处，相轨迹一侧具有中心性质，另一侧具有鞍点

性质，相轨迹不封闭。该类奇点是退化的鞍点。 对应于系统的不稳定平衡状态

以上分析从相平面的几何观点出发，证明了保守系统平衡

稳定性的拉格朗日定理（Lagrange theorem)

☺ “若保守系统的势能在平衡位置处有孤立极小值，则平衡状态稳定”

由封闭相轨迹积分，可计算系统周期运动的周期

[]

⎰

-=

)(20x V E dx

T 一般情况下周期与初始条件相关

只有线性保守系统的周期与初始条件无关

α>0 α<0 0

2

2

024

ωπ

ω=

-=

⎰

A

x

A dx T x

x f α=)(恢复力 2

2

1

)(x x V α=势能函数 E

x y 222=+α相轨迹方程 正刚度

负刚度

椭圆族 奇点—中心 简谐振动

双曲线族 奇点—鞍点 平衡状态不稳定

振幅

2ωE

A =

取决于积分常数，即初始条件

周期

线性系统存在等时性

线性保守系统

3

)(x

x x f εα+=恢复力

势能函数

4

24

121)(x

x x V εα+=E

x x y 22

14

2

2

=++εα相轨迹曲线

硬弹簧

周期解

平衡状态稳定

软弹簧

小能量—周期解

大能量——系统失稳定

ε>0 ε<0

非线性弹簧