2010年浙江省高考数学(理科)试题(含答案)

绝密★考试结束前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题
纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 3
1
=
次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式
台体的体积公式 2
4R S π= )(3
1
2211S S S S h V ++= 球的体积公式
其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 3
3
4R V π=
h 表示台体的高 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）设}4|{},4|{2
<=<=x x Q x x P （A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆
（C ）Q
C P R ⊆
（D ）P C Q R ⊆
（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k
（C ）?6>k
（D ）?7>k
（3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=2
5
S S （A ）11 （B ）5
（C ）-8
（D ）-11
（4）设2
0π<
<x ，则“1sin 2
<x x ”
是“1sin <x x ”的 （A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（5）对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是
（A ）y z z 2||=- （B ）2
22y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤
（6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,
（C ）若m l m l //,,//则αα⊂
（D ）若m l m l //,//,//则αα
（7）若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m
（A ）-2
（B ）-1
（C ）1
（D ）2
（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点。

若在双曲线右支上
存在点P ，满足||||212F F PF =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为
（A ）043=±y x （B ）053=±y x （C ）034=±y x （D ）045=±y x
（9）设函数x x x f -+=)12sin(4)(，则在下列区间中函数)(x f 不．存在零点的是
（A ）[-4，-2]
（B ）[-2，0]
（C ）[0，2]
（D ）[2，4]
（10）设函数的集合}1,0,1;1,2
1,0,31
|)(log )({2-=-=++==b a b a x x f P ，平面上点的
集合}1,0,1;1,2
1
,0,21|),{(-=-
==y x y x Q ，则在同一直角坐标系中，P 中函数)(x f 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是
（A ）4
（B ）6
（C ）8
（D ）10
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数学(理科)
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）函数x x x f 2sin 22)4
2sin()(--
=π
的最小正周期是 。

（12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，
则此几何体的体积是 cm 3.
（13）设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，点
)2,0(A 。

若线段FA 的中点B 在抛物线上，
则B 到该抛物线准线的距离为 。

（14）设n
n
x x N n n )3
13()2
12(,,2+-+∈≥
=n
n x a x a x a a +++2210，将)0(n k a k ≤≤的最小值记为n T ，则
,,,3
121,0,3121,055543332n T T T T T -==-=
=其中=n T 。

（15）设d a ,1为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
01565=+S S 则d 的取值范围是 。

（16）已知平面向量),0(,ββ≠≠a a a 满足
a a -=ββ与且,1的夹角为120°则
a 的取值范围是 。

（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 （用数字作答）。

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （18）（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.4
1
2cos -=C （I ）求C sin 的值；
（II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.
（19）（本题满分14分）如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C ，
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。

某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1，2，3等奖.
（I ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，
记随机变量ξ为获得)3,2,1(=k k 等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及数学期望.ξE
（II ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随
机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P （2=η）.
（20）（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，
AE=EB=AF=
.43
2
=FD 沿直线EF 将AEF ∆翻折成,'EF A ∆使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；
（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C
与'A 重合，求线段FM 的长.
（21）（本题满分15分）已知1>m ，直线,02:2
=--m my x l 椭圆21222,,1:F F y m
x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（I ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；
（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，21F AF ∆，21F BF ∆的重心分别为G ，H.若原
点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
（22）（本题满分
14
分）已知
a
是给定的实常数，设函数
,,)()()(2R b e b x a x x f x ∈+-=a x =是)(x f 的一个极大值点.
（I ）求b 的取值范围;
（II ）设321,,x x x 是)(x f 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到R x ∈4，使得
4321,,,x x x x 的某种排列432,,,i i i i x x x x （其中}4,3,2,1{},,,{4321=i i i i ）依次成等
差数列？若存在，示所有的b 及相应的;4x 若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）B （2）A （3）D （4）B （5）D （6）B
（7）C
（8）C
（9）A
（10）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

（11）π
（12）144
（13
（14）0,11
,23
n n ⎧⎪
⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时
（15
）d d =-≥（16
） （17）264
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

（18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：因为2
1cos 212sin 4
C C =-=-， 及0C π<<
所以sin 4
C =
（Ⅱ）解：当2,2sin sin a A C ==时， 由正弦定理
sin sin a c
A C
=
，得 4.c =
由2
1cos 22cos 1,4
C C =-=-及0C π<<得
cos C =±
由余弦定理2
2
2
2cos c a b ab C =+-，得
2120b ±-=
解得626b =或
所以6,26
4 4.
b b
c c ⎧⎧==⎪⎪⎨
⎨
==⎪⎪⎩⎩或（19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同
时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得ξ的分布列为
ξ
50% 70% 90%
P
316 3
8
7
16
则3373
50%70%90%.168164
E ξ=⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为339.16816
+= 由题意得9(3,
)16
B η-
则22
1991701(2)()(1).16164096
P C η==-=
（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同
时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥
又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '⊂平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。

如图建立空间直角坐标系.A xyz -
则(2,2,22),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D ' 故(2,2,22),(6,0,0)FN FD =-=
设(,,)n x y z =为平面A FD '的一个法向量
所以22220
60
x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩
取2,(0,2)z n =
=-则
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
故3
cos ,||||
n m n m n m ⋅<>=
=
⋅ 所以二面角的余弦值为
33
（Ⅱ）解：设£¬(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M '
故222222
(6)80(2)2(22)x x -++=--++，
得214
x =
经检验，此时点N 在线段BG 上 所以21.4
FM =
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A 'H//EF 。

又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ， 所以A 'H`⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ， 故A H AF '⊥，
又因为G ，H 是AF ，EF 的中点， 易知GH//AB ， 所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A 'GH
所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角，
在Rt A GH '∆中，22,2,23A H GH A G ''===
所以3cos A GH '∠=
故二面角A '—DF —C 的余弦值为
33。

（Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，G 与A '重合， 所以CM A M '⊥，
而2
2
2
2
2
8(6)CM DC DM x =+=+-
222222222(22)(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++
得214
x =
经检验，此时点N 在线段BC 上，
所以21.4
FM =
（21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考
查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分
（Ⅰ）解：因为直线2
:02
m l x my --=经过22(1,0)F m - 2
2
21,22
m m m -==得 又因为 1.m > 所以 2.m =
故直线l 的方程为210.x --=
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，
由2222
,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得
2
2
2104
m y my +++=
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>，
知2
8m <
且有212121
,.282
m m y y y y +=-=
- 由于12(,0),(,0)F c F c - 故O 为F 1F 2的中点，
由2,2AG GO BH HO ==，
可知2112
(,),(,)3333x y y x G H
22
2
1212()()||.99
x x y y GH --=+
设M 是GH 的中点，则1212
(
,)66
x x y y M ++
由题意可知，2||||MO GH <
好22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+
即12120.x x y y +<
而22
12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++
22
1
(1)(),82
m m =+-
所以
21
0.82
m -< 即2
4.m <
又因为10.m >∆>且
所以1 2.m << 所以m 的取值范围是（1，2）。

（22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时
考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14分。

（Ⅰ）解：2
()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--
令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--
则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b ∆=-+---=+-+> 于是可设12,x x 是()0g x =的两实根，且12,x x （1）当12x a x a ==或时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意
（2）当12x a x a ≠≠且时，由于x a =是()f x 的极大值点，
故12.x a x <<
即()0g a <
即2
(3)20a a b a b ab a +-++--<
所以b a <- 所以b 的取值范围是（-∞，a -） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b 及b x 满足题意，则
（1）当21x a a x -=-时，则424122x x a x x a =-=-或
于是122 3.x x a b -=+=--
即 3.b a =--
此时4223x x a a b a a =-=--=+
或4123x x a a b a a =-=--=- （2）当21x a a x -≠-时，则21222()()2()x a a x a x x a -=--=-或
①若22122(),2
a x x a a x x +-=-=则
于是1232a x x =+=
3(3)a b =-++
于是912
a b --+-=
此时222(3)3(3)13242a x a a b a b x b a ++---+++===--=+ ②若11222(),2
a x a x x a +-=+=则x
于是2132a x x =+=
3(3)a b =++
于是1a b +-=
此时122(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+
综上所述，存在b 满足题意
当43,b a x a =--=±时
当4,b a x a =--=+
当471,22b a a a --=--=+。