固体物理的思考题

1.解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面，为什么？

答：解理面是指面与面之间的相互作用力比较弱，容易解离的面，若面间距比较大，则容易形成解理，晶面指数越大，面间距越小，晶面指数越小，面间距越大，所以是面指数低的晶面容易解离。

2.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，那一晶面族衍射光弱？为什么？

答：由布拉格衍射公式，其中θ为入射x射线的掠射角，高指数的晶面族晶面间

距d比较小，对于同级衍射，d越大，则越小，光的透射能力就越弱，此时形成的衍射光就

比较弱。也可以从另一方面考虑，晶面指数越大，晶面间距越小，原子密度也越小，此时对入射光的反射作用就比较弱，所以高指数晶面组的衍射光弱。

3.对于x射线衍射，可否将入射光改为可见光？

答：不可以，主要由于原子的间距在Å的数量级，根据布拉格衍射公式，可知入射光波的波长也应在Å的数量级，然而可见光的波长一般为几百nm所以不可以改为可见光入射，常用的入

射光一般为Cu的线1.54Å。

4.在一般的单式格子中是否存在强烈的红外吸收，为什么？

答：在离子晶体中的长光学支格波有特别重要的作用，因为不同离子间的相对振动产生电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，长光学波与红外光波的共振，引起对入射波的强烈吸收，但是对于单式格子（简单晶格）而言，由于是只包含单个原子，并不存在光学支格波，所以不会引起对红外光波的强烈吸收。

5.色散曲线中，能否判断哪知格波的模式密度比较大，是光学支格波还是声学支格波？

答：在色散曲线中，光学支格波的色散曲线比较平缓，而声学支的色散曲线比较陡峭，模式密度表示在频率ω附近单位频率间隔内的格波数，由于光学支格波色散曲线变化平缓，对应小的ω区间就具有了较大的波矢q的变化，所以光学支格波的模式密度比较大。

6.拉曼散射中光子会不会产生倒逆散射？

答：拉曼散射是长光学波声子与光子（红外光）的相互作用，长光学波声子的波矢很小，响应的动量小，产生倒逆散射的条件要求波长小，波矢大，散射角大，拉曼散射不满足条件所以不会产生倒逆散射。

7.长声学支格波能否产生离子晶体的宏观极化？

答：光学支格波描述了原子的相对运动，在离子晶体中，它使正负离子之间产生了相对位移，所以使晶体呈现宏观极化，但是长声学支格波描述了原子的同向运动，原子之间的位移相同，没有相对位移，所以长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

8.在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？

答：格波能量，当

时，，此时格波能量为零点能，此时格波的能量只剩下零点能，格波之间的能量交换是

以为单位进行交换的，即是声子的产生的湮灭，但是此时声子数为零，所以格波间没有了能量

交换。

9.晶体中的声子数目是否守恒？

答：平均声子数目，利用德拜模型，总的声子数目N=，此时

容易推得声子数n与成正比。

第三章晶格振动

这一章主要介绍了晶体内原子的运动形式以及能量的传输特性，并且引入了格波和声子的概念。

一．不考虑格波之间的相互作用

1.以一位双原

子链为例介绍晶体内原子的运动形式（在牛顿经典力学的框架内考虑F=ma）：

采用的模型：一维双原子链的振动模型；

近似条件：近邻近似（只考虑近邻原子之间的相互作用）以及简谐近似（只考虑是势能函数的二级偏倒）

在求解过程中假设波长，此时将一个非连续的方程转变为连续方程，并且经过推导得

到了波动方程利用波动方程求得方程的解，即：，但是此时是根据得到的解，假若与a比较接近时，则晶体不可以看成是连续的得到了试探解，但是在周期性晶体结构中波长为不连续的分立的，从而引入了玻恩卡

曼边界条件，进而得到

10.格波的性质

a.波速，群速度以及相速度之间的关系；

b.色散关系之间的关系声学支格波和光学支格波声学支格波与光学支格波最显著

的区别在对于光学支格波而言而声学支格波。最重要的区别在于描

述了晶体内格波的不同运动状态。

c.格波数此时以三维晶体为例来说明，假设初级元胞中包含了s个原子，此时一个q对应

3s个频率，对应3s支格波，其中包含3支声学支格波，支光学支格波，由于在第一布里渊区中包含有N（初级元胞树目）个波矢q，则总的格波数为3NS。

d.格波态密度的概念在附近，单位频率间隔内的格波数目

求解格波态密度是很困难的，主要体现在两个方面：一是色散关系不确定，二是曲面不

一定是规范的图形，有可能是不规则的。

11.对晶格振动的简谐近似的量子修正

a.晶体中简谐振动的3NS个格波的总能量，通过引入简正坐标消去交叉项后很容易的证明了

晶格振动能量可以看成3NS个谐振子的能量，从而进行量子力学修正，谐振子的能量利用

量子力学的结果表示：相邻状态的能量差为，它为谐振子哦能量量子，称为声子。声子同样遵循能量守恒与准动量守恒。

此时三维晶体的3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，所以上式描述了频率为的

格波的能量。

总体而言，对于晶格振动的考虑是基于牛顿力学+量子力学修正的综合，简称为半经典理论，其中量子力学的修正就体现在谐振子的能量采用的是量子谐振子能量。

12.考虑晶体的热容

定容热容：单位质量的物体在定容过程中，能量升高，系统内能的增量。

此时的主要困难就是求解十分复杂。所以引入了两个模型——爱因斯坦模型以及德拜

模型

a.爱因斯坦模型的基本思想

晶体内所有原子都以相同的频率独立振动，则晶体内所有格波的频率均相同。同时引

入了爱因斯坦温度。

b.德拜模型的基本思想

把晶体视为各向同性的连续弹性媒质，此时的色散关系为线性的，，根据态密

度函数得，代入热容公式求得。

c.两种模型之间的对比

1．高温情况下

两者均与杜隆-柏替定律相一致，热容为一个常数；

2．低温情况下

对平均声子数进行讨论的过程中，定性的认为，当的那些格波在温度

T时才会被激发，并且只有这些格波才会对热容有贡献，而的格波将会被

冻结，对热容无贡献。在爱因斯坦模型中假设所有的格波均以相同的频率独立的振

动，也就是说在任何温度下所有的格波均会被激发，所以这也是爱因斯坦模型在低

温下定量上与试验不相符的原因。

固体中的原子之间存在很强的相互作用，一个原子不可能孤立的振动而不带动近邻原子。因此爱因斯坦模型中把固体中各原子的振动视作相互λ波的频率分

布，把晶体当作弹性媒质来处理，在低温情况下，温度越低，被激发的格频率也越

低，对应的波长越长，把晶体视作连续媒质的近似程度越好。所以温度越低，德拜

模型近似程度越好。

二．非简谐近似

利用简谐近似以及量子理论修正成功的描述的晶体内原子的运动状态（格波）以及相应的色