复化梯形公式
复化梯形公式的原理与实现毕业论文
目录摘要........................................... ，，，，，， 4 1 前言............................................... ,,,,, 52复化梯形公式的提出背景 (5)3复化梯形公式的算法原理 (6)3.1复化梯形公式的主要思想,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 3.2复化梯形公式的计算方法,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 3.3复化梯形公式的积分余项,,,,,,,,,,,,,,,,, 64算法流程图 (7)5C语言算法程序 (8)6算法实现6.1 算法实例,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 6.2利用MATLA计算误差的例子117总结................................................... ,,, 13 8参考文献 ............................................... ,,, 13摘要利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值。
设将求积区间'a,b分成n等份，则一共有n 1个分点，按梯形公式计算积分值T n，需要提供n 1个函数值。
整个区心何吨心”叫利用复化梯形公式计算间上的复化梯形公式即f e x dx和函数x = Sin（X）, （x式0 ）,此外也通过实例分析运用这种方法会产生怎样的1x误差。
关键字：分点T n 函数值.、八、-刖言在工程计算中，某些定积分的近似值被广泛应用。
我们在求一些具体的数值时，往往对精度的要求很高，用求积公式计算精确度的方法有很多，各有优缺点。
通过对几种常见的方法加以比较，得出一些具体的选择方法, 为提高计算精确度减少了很多复杂的运算。
像复化梯形公式适用对精度不高的运算，比复化梯形公式计算复杂，但结果比复化梯形求积公式计算的精确度要高，更适应精确度的运算，龙贝格计算积分时，不仅可以减少运算量，也可以提高近似值的精确度。
复化梯形公式和复化辛普生公式
}
void simpson::integration()//实现积分
{
cout<<"输入上限和下限";
cin>>b>>a;
cout<<"输入你要使用simposn法则的数目(即等分数)";
cin>>n;
h=(b-a)/n;
sum_even_terms=0.0;
sum_odd_terms=0.0;
for(k=1;k<n;k++)
{
sum_even_terms+=sine(k*h);
}
for(k=0;k<n;k++)
{
sum_odd_terms+=sine((2*k+1)*h/2);
}
integral=(2.0*sum_even_terms+4.0*sum_odd_terms+sine(b)+1)*h/6.0;
《数值分析》实验报告
姓名
学号
日期
2012．11.20
实验室
设备编号
实验题目
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx
一实验目的
1．了解复化梯形公式和复化辛普生公式。
2.用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx。
二实验内容
算法：复化梯形公式是Tn=∑h/2[f(xi)+ f(xi+1)]=(b-a)/2n[f(a)+2∑f(xi)+f(b)]记子段[xi,xi+1]的中点为xi+1/2,则复化Simpson公式为Sn=∑h/6[f(xi)+4f(xi+1/2)+ f(xi+1)]=b-a/6n[f(a)+4∑f(xi+1/2)+2f(xi)+f(b)]
复化求积公式
h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709
利用复化梯形公式复化公式计算积分
利用复化梯形公式复化公式计算积分设被积函数为f(x)，要在区间[a,b]上进行积分，将区间[a,b]均分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n。
则，复合梯形公式用来计算区间[a,b]上的积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h / 2 * [ f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(b) ]其中，x1, x2, ..., xn-1为子区间的起始点，满足 xi = a + i * h，i = 1, 2, ..., n-1复合梯形公式的误差估计为E(h)=-(b-a)*h²/12*f''(ξ)，其中ξ∈[a,b]，f''(ξ)为f(x)的二阶导数。
下面以一个具体例子来说明如何利用复合梯形公式进行积分计算。
例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0,1]上的积分。
首先，选择将区间[0,1]均分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(1-0)/n。
根据复合梯形公式，我们可以得到积分的近似值为：∫[0, 1] x² dx ≈ h / 2 * [ f(0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(1) ]其中，xi = 0 + i * h，i = 1, 2, ..., n-1这样，我们可以计算出每个子区间的积分值，并将它们加总得到最终的结果。
例如，当n=4时，h=1/4，有：∫[0, 1] x² dx ≈ (1/4) / 2 * [ f(0) + 2f(1/4) + 2f(2/4) + 2f(3/4) + f(1) ]=(1/4)/2*[0+2*(1/4)²+2*(2/4)²+2*(3/4)²+1]如果我们增大n的取值，将区间分割得更加细致，那么计算得到的近似值将会更加精确。
总结起来，利用复合梯形公式进行积分计算的核心思想是将被积函数分割为若干个小区间，计算每个小区间的积分值，并将它们加总，从而近似得到整个区间上的积分值。
复化梯形公式和复化Simpson公式
一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x %定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果 Tn=等分数 n=7019已知值与计算值的误差 R=2. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果 Sn=等分数 n=24已知值与计算值的误差 R=用复化梯形公式计算的结果为：，与精确解的误差为：。
数值分析中的复化梯形法误差控制
数值分析中的复化梯形法误差控制数值分析是研究计算数值近似解的方法和误差控制的科学领域。
其中，复化梯形法是一种常见的数值积分方法，用于近似计算定积分。
在本文中，我们将重点讨论复化梯形法的误差控制方法。
一、复化梯形法的原理复化梯形法是将区间[a, b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上采用梯形面积的近似值来计算积分。
具体的计算公式如下：∫[a, b]f(x)dx ≈ h/2(f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(b))其中，h = (b - a) / n，而x1, x2, ..., xn-1分别为各小区间的节点，即a + h, a + 2h, ..., b - h。
复化梯形法的误差项由剩余项表示，定义为R(f) = - (b - a) * h^2 / 12 * f''(ξ)，a < ξ < b其中f''(ξ)表示f(x)在[a, b]上的二阶导数。
误差项可以通过调整n的值来控制。
二、误差控制方法1. 改变n的值误差项R(f)与n的值有关，当n增大时，误差会减小。
因此，我们可以通过增加n的值来提高数值积分的精度。
但是要注意，随着n的增大，计算量也会增加。
2. Richardson外推法Richardson外推法是一种常用的误差控制方法，可以进一步提高数值积分的精度。
它通过使用不同步长的复化梯形公式的组合，得到更精确的数值积分结果。
具体来说，我们可以采用两个不同步长h和h/2的复化梯形公式，然后通过外推公式计算出更精确的数值积分结果。
此时，误差的阶数从h^2提高到h^4，大大提高了数值积分的精度。
3. 自适应方法自适应方法是一种根据误差大小动态调整步长的误差控制方法。
它通过先使用较大的步长进行计算，然后根据误差估计的结果判断是否满足精度要求。
如果误差较大，则将步长减小，并重新计算；如果误差较小，则进一步增加步长，以提高效率。
复化梯形公式、复化辛卜生公式
复化梯形公式、复化辛卜生公式
一、复化梯形公式及其余项
在区间不大时,用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的,但当区间较大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求. 为了提高计算的精确度，我们将 [a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分, 然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。
1. 复化梯形公式
将积分区间等分,设, 则节点为
对每个小区间上应用梯形公式, 然后将其结果相加，则得
(3.14)
称(3.14)式为复化梯形公式.
当在[a,b]上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式(3.14)的余项推导如下：
因为
所以在区间[a,b]上公式(3.14)的误差为
又因为在区间[a,b]上连续，由连续函数的性质知，在区间[a,b]上存在一点，
于是
（3.15）
称(3.15)式为复化梯形公式的余项。
例1用复化梯形公式计算得
使误差小于
解和公式(3.15), 解不等式
得
即时，用复化梯形公式计算可达到精度要求，则取,用公式（3.14）计算得
而积分的准确值。
复化求积公式的算法及其应用
复化求积公式的算法及其应用复化求积公式是数值计算方法中重要的一种技术，用于近似计算函数的积分值。
该方法通过将积分区间等分为多个小区间，并在每个小区间上使用求积公式来估计函数在该区间上的积分值。
本文将介绍复化求积公式的算法及其应用。
一、复化求积公式算法1.复化梯形求积公式复化梯形求积公式是复化求积公式中最简单的一种，其基本思想是将积分区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，即Ii=h/2*(f(xi)+f(xi+1))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-12. 复化Simpson求积公式复化Simpson求积公式是一种更为精确的复化求积公式，它通过在每个小区间上使用Simpson求积公式来计算积分值，从而提高了计算精度。
算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2) 在每个小区间上使用Simpson求积公式计算积分值，即Ii=h/6*(f(xi)+4f(xi+h/2)+f(xi+h))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-1二、复化求积公式应用1.数学分析中的数值积分计算，用于计算函数的定积分值。
2.物理学中的积分计算，用于计算物理量的平均值或总量。
3.统计学中的积分计算，用于计算概率密度函数的面积值。
4.工程学中的积分计算，用于计算工程问题中的各种积分量。
5.金融学中的积分计算，用于计算金融衍生品的价格或价值。
总结：复化求积公式是一种重要的数值计算方法，在数学、物理、统计、工程、金融等领域中有广泛的应用。
复化梯形公式和复化抛物线公式 -回复
复化梯形公式和复化抛物线公式是数值积分中常用的近似计算方法，用于估计函数在给定区间上的定积分值。
1. 复化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：复化梯形公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用梯形公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在两个端点的值，然后将这两个值与小区间宽度相乘并除以2，得到该小区间的梯形面积。
- 将所有小区间的梯形面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化梯形公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b)]2. 复化抛物线公式（Composite Simpson's Rule）：复化抛物线公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用抛物线公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在三个节点（起点、终点和中点）处的值，然后将这三个值与小区间宽度相乘并按照一定的权重进行组合，得到该小区间的抛物线面积。
- 将所有小区间的抛物线面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化抛物线公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b)]需要注意的是，选择合适的n值对于准确估计积分值非常重要。
一般情况下，增加n的值可以提高计算精度，但也会增加计算的复杂性和时间成本。
因此，在实际应用中需要根据需求进行权衡和选择合适的n值。
复化梯形公式的代数精度
复化梯形公式的代数精度一、复化梯形公式的定义。
1. 梯形公式。
- 对于定积分∫_a^bf(x)dx，梯形公式为T = (b - a)/(2)[f(a)+f(b)]。
- 它是用梯形的面积来近似曲边梯形的面积，梯形的上底为f(a)，下底为f(b)，高为b - a。
2. 复化梯形公式。
- 将区间[a,b]分成n等份，子区间[x_i,x_i + 1]的长度h=(b - a)/(n)，其中x_i=a+ih，i = 0,1,·s,n。
- 复化梯形公式为T_n=(h)/(2)[f(a)+2∑_i = 1^n - 1f(x_i)+f(b)]。
二、代数精度的概念。
1. 对于一个数值求积公式∫_a^bf(x)dx≈∑_i = 0^mA_if(x_i)，如果对于次数不超过p 的多项式f(x)，该求积公式精确成立，而对于x^p+1不精确成立，则称该求积公式具有p次代数精度。
1. 证明复化梯形公式对于一次多项式是精确成立的。
- 设f(x)=Ax + B，a=x_0，b=x_n，h=(b - a)/(n)。
- ∫_a^b(Ax + B)dx=<=ft[(A)/(2)x^2+Bx]_a^b=(A)/(2)(b^2-a^2)+B(b - a)。
- 对于复化梯形公式T_n，T_n=(h)/(2)[f(a)+2∑_i = 1^n - 1f(x_i)+f(b)]。
- 因为x_i=a+ih，f(x_i)=A(a + ih)+B。
- ∑_i = 1^n - 1f(x_i)=∑_i = 1^n - 1[A(a + ih)+B]=(n - 1)Aa+(A(n - 1)n)/(2)h+(n - 1)B。
- T_n=(h)/(2)[(Aa + B)+2((n - 1)Aa+(A(n - 1)n)/(2)h+(n - 1)B)+(Ab + B)]。
- 化简后可得T_n=(A)/(2)(b^2-a^2)+B(b - a)，所以复化梯形公式对于一次多项式精确成立。
二重积分的复化梯形公式
二重积分的复化梯形公式二重积分是微积分中的重要概念，用于计算平面上一些区域上的函数值的累积总和。
在实际问题中，计算二重积分有时会遇到区域比较复杂的情况，这时可以采用复化梯形公式来计算。
复化梯形公式是一种数值积分方法，它将积分区域划分成若干小的梯形，然后对每个小梯形上的函数值进行加权求和，得到积分的近似值。
为了便于理解，我们先回顾一下一元函数的复化梯形公式。
一元函数的复化梯形公式是将积分区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，对每个小区间进行积分近似，可以得到如下公式：∫(a to b) f(x)dx ≈ h/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... +2f(xn-1) + f(xn)]其中，x0=a，x1=a+h，x2=a+2h，...，xn-1=b-h，xn=b。
接下来，我们将这个方法推广到二维情况。
对于二元函数f(x,y)，我们要计算其在平面上的一些区域D上的二重积分。
首先，我们将平面上的区域D分成m行n列的小矩形，每个小矩形的边长分别为Δx=(b-a)/n和Δy=(d-c)/m，其中(a,b)和(c,d)为D的边界。
然后，对于每个小矩形，我们在其中选择一个点(xi, yj)（i的取值范围为0到n，j的取值范围为0到m），并计算函数f在该点上的函数值f(xi, yj)。
根据复化梯形公式的思路，我们可以得到如下公式：∬ D f(x, y) dA ≈ ΔA/4 * [f(x0, y0) + f(xn, y0) + f(x0, ym) + f(xn, ym) + 2(f(x1, y0) + f(x2, y0) + ... + f(xn-1, y0) + f(x1, ym) + f(x2, ym) + ... + f(xn-1, ym) + f(x0, y1) + f(xn, y1) +f(x0, y2) + f(xn, y2) + ... + f(x0, yn-1) + f(xn, yn-1)) +4(f(x1, y1) + f(x2, y2) + ... + f(xn-1, yn-1))]其中，ΔA=Δx*Δy为小矩形的面积。
复化梯形求积公式
复化梯形求积公式
复化梯形求积公式是一种常用的数学计算方法，通常用于计算定积分的近似值。
该公式基于将被积函数的图像划分为若干个梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似计算定积分的值。
具体而言，复化梯形求积公式可以表示为：
∫a^b f(x)dx ≈ h/2 [f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + … + 2f(xn-1) + f(b)]
其中，a和b分别是定积分的上限和下限，f(x)是被积函数，h=(b-a)/n 是每个梯形的宽度，n是将被积函数图像分成的梯形个数，x1、x2、…、xn-1是每个梯形的右端点。
复化梯形求积公式的精度与分割后梯形的数量有关，通常情况下，分割的数量越多，计算结果越精确。
但也应该注意到，过多的分割会导致计算量增大，从而影响计算效率。
除了复化梯形求积公式外，还存在其他的数值积分方法，如复化矩形求积公式、辛普森公式等。
每种数值积分方法都有其适用的场景和特点，需要根据实际情况选择合适的方法进行计算。
总之，复化梯形求积公式是一种简单易用的数值积分方法，可以在不求解原函数的情况下近似计算定积分的值，具有较广泛的应用价值。
复化梯形公式和复化辛普森公式
复化梯形公式和复化辛普森公式1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里那些看似高深莫测的公式，尤其是复化梯形公式和复化辛普森公式。
这些名字听起来就像是从某部科幻片里蹦出来的角色，但其实它们是我们在数值积分中不可或缺的好帮手。
你知道吗？它们就像是数学世界里的“超能英雄”，让我们轻松搞定积分，简直是妙不可言。
2. 复化梯形公式2.1 你知道什么是梯形吗？首先，咱们得聊聊复化梯形公式。
说白了，就是把一个复杂的积分任务，分解成几个小的梯形来求解。
想象一下，你在河边钓鱼，河水流得可欢了。
为了找一个合适的钓鱼点，你可能得把河分成几段，然后每一段的宽度就是你的小梯形。
你看，这就是复化梯形的魅力所在！2.2 如何运用复化梯形公式？用这个公式的时候，你只需把整个区间分成N个小区间，每个区间的宽度都是一样的。
然后，把每个小区间的函数值拿来加一加，再乘上宽度的一半，最后再把头尾的函数值加上。
这听起来是不是很简单？比如，你想算从0到1的某个函数的积分，只要把这个区间分成若干段，像切蛋糕一样，每一片都求个函数值，然后把结果合起来就行了。
简单得就像吃个冰淇淋，大家都喜欢。
3. 复化辛普森公式3.1 辛普森是谁？接下来，让我们来看看复化辛普森公式。
辛普森这个名字，大家可能都听过，或者说过“这是辛普森家的事儿”。
其实，他是一位牛逼的数学家，专门研究如何让积分变得更加简单。
辛普森公式就像是对梯形公式的一次升级，像换了个新款手机，功能更强大，效果更好。
3.2 如何运用复化辛普森公式？用复化辛普森公式的时候，我们也是把整个区间分成N个小区间，不过这里的N必须是偶数哦！每个小区间的宽度仍然是一样的。
然后，用函数值的加权平均法来计算。
换句话说，你把每个小区间的头尾和中间的函数值都考虑进来，像是为你的冰淇淋加上各种口味的配料。
最后，你的结果就会比单纯用梯形公式得来的要精准多了，仿佛一口下去，味蕾都在舞蹈。
4. 比较与应用4.1 谁更强？说到这儿，很多人就会问，复化梯形公式和复化辛普森公式，谁更厉害呢？其实，这就像问“苹果和橘子，哪个更好吃”。
复化求积公式
第 二 节 复化求积公式
一、复化求积公式 复化求积公式的基本思想： 将区间[a , b] 分为若干个小子区间，在每个 小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后
把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。
数值分析
数值分析
1、复化梯形公式
将区间 a , b n等分, ba h , xk a kh, ( k 0,1, , n), n 在每个小区间 xk , xk 1 ,（k 0,1, , n 1） 上用梯形公式:
数值分析
数值分析
数值试验
复化Simpson公式Matlab程序
function rs= simpson(s,a,b,n) h = (b-a)/n; r= feval(s,a)+feval(s,b); for j = 1:2:n-1 x=a+j*h ; r= r+ 4*feval(s,x); end for j = 2:2:n-2 x=a+j*h ; r= r+ 2*feval(s,x); end 将此程序存于work目录中 rs = r*h/3;
n 1
复化Simpson公式的截断误差为
(b a ) 4 (4) 4 R( Sn ) h f ( ) O(h ) a, b 2880
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
Example 1
Approximate the integral
1 0.9 0.8 f(x)=sin(x)/x 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
s in x dx x 0
Using the Composite Trapezoidal rule and Composite Simpson’s rule
复化梯形求积公式的收敛阶
复化梯形求积公式的收敛阶复化梯形公式是数值积分的方法之一，它通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上用梯形法则进行近似，最终求得整个区间的积分值。
在这个过程中，梯形法则的收敛性是非常重要的，它决定了计算结果的精度和误差的控制。
复化梯形公式的数学表达如下：$$I_n =\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\ldots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$$其中，$I_n$代表积分的近似值，$h$代表小区间的宽度，$f(x_i)$代表在小区间第$i$个节点上的函数值。
在分析复化梯形公式的收敛性时，我们需要考虑两个方面：精度和收敛阶。
首先，我们来讨论复化梯形公式的精度。
考虑在每个小区间上对被积函数进行二次插值，我们可以得到以下等式：$$f(x)=p(x)+R(x)$$其中，$p(x)$是由节点上的函数值所定义的二次插值多项式，$R(x)$是余项，在整个区间上积分后会产生误差。
对于每个小区间上的梯形公式，我们有：$$\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx = \int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx + \int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$$由于$p(x)$是一个二次多项式，我们可以精确计算它的积分。
因此，$\int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx$的计算结果是准确的。
剩下的一项$\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$就是我们所要关注的误差项。
根据误差项的性质和公式的构造，我们可以得到近似式的误差估计：$$，\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx， \leq A_ih^2$$其中，$A_i$是与被积函数的二阶导数有关的常数。
接下来，我们来讨论复化梯形公式的收敛阶。
收敛阶表示当我们将小区间的数量增加时，误差的减小速度。
定义每个小区间的数量为$n$，误差为$e_n$，则收敛阶$R$满足以下等式：$$e_n \approx K n^{-R}$$其中，$K$是一个与问题相关的常数。
复化梯形求积公式
复化梯形求积公式复化梯形求积法是一种用于数值积分的常见方法，它可以帮助我们求解一元定积分（即 integrals 或者是积分函数）。
在复化梯形求积法中，我们需要对函数 f(x) 在某一区间 [a,b]内的值进行插值，并将插值后的函数值相加，以计算该函数在该区间上的积分值。
复化梯形求积法的步骤如下：第一步：分解积分区间[a,b]，将其分解为 n 个子区间，其中区间长度为 h=(b-a)/n。
第二步：对积分区间[a,b] 中每个子区间使用复化梯形公式来计算它们的积分值。
根据复化梯形求积公式，积分区间 [a,b] 中每个子区间的积分值如下：Ii = h/2 * [f(xi) + f(xi+1)] (i=0,1,...,n-1)其中，xi 是第 i 个（0≤i≤n-1）子区间的左端点，xi+1 是第 i 个子区间的右端点，f(xi) 是第 i 个子区间左端点处的函数值，f(xi+1) 是第 i 个子区间右端点处的函数值。
第三步：将所有子区间积分值进行累加，得到积分区间[a,b]的总积分值。
按照复化梯形求积法，积分区间 [a,b] 的总积分值计算公式如下：I=h/2 * [f(x0)+f(xn)+∑(i=1,2,...,n-1)[f(xi)+f(xi+1)]]以上就是复化梯形求积法的基本原理及其用于求解一元定积分的步骤：首先将积分区间分解为子区间，然后使用复化梯形公式计算每个子区间的积分值，最后将子区间积分值相加得到积分区间的总积分值。
这种求积方法容易理解，计算量小，计算速度快，因此复化梯形求积法在积分计算中有着重要的应用价值。
在复化梯形求积法中，可以使用高斯公式来加快积分值的计算。
高斯公式的定义如下：I=h/2 * [f(x0)+f(xn)+c1f(x1)+c2f(x2)+...+cnf(xn-1)]其中，c1,...,cn 是某些常数，x1,...,xn-1 为积分区间上的中点。
应用高斯公式，可以将积分计算量减小一半以上，同时也大大减少计算精度上的误差。
复化梯形公式matlab
复化梯形公式matlab在MATLAB中，可以使用复化梯形公式来进行数值积分的计算。
复化梯形公式是将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上采用梯形面积逼近曲线下的积分值。
以下是使用MATLAB编写的复化梯形公式的示例代码：```matlabfunction result = composite_trapezoidal(f, a, b, n)h = (b - a) / n; % 计算每个小区间的宽度% 计算每个小区间的积分值，并将其累加得到最终结果result = 0;for i = 1:nx_i = a + (i-1) * h; % 当前小区间的起点x_j = a + i * h; % 当前小区间的终点% 使用梯形公式计算当前小区间的积分值integral_i = (f(x_i) + f(x_j)) * h / 2;% 将当前小区间的积分值累加到总结果中result = result + integral_i;endend```在上述代码中，`f` 是要计算积分的函数，`a` 和 `b` 是积分区间的起点和终点，`n` 是将积分区间划分成的小区间数目。
你可以根据实际需求，将自己的函数替换到 `f` 的位置，并调用 `composite_trapezoidal` 函数来计算数值积分的近似值。
例如，假设要计算函数 `f(x) = x^2` 在区间 `[0, 1]` 上的数值积分，可以使用以下代码进行计算：```matlabf = @(x) x^2; % 定义要计算积分的函数a = 0; % 积分区间起点b = 1; % 积分区间终点n = 100; % 将积分区间划分为100个小区间result = composite_trapezoidal(f, a, b, n); % 使用复化梯形公式计算积分近似值disp(result); % 显示计算结果```运行上述代码，就可以得到函数 `f(x) = x^2` 在区间 `[0, 1]` 上的数值积分的近似值。
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
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printf("please input n=");
cin>>n;
printf("please input a=");
cin>>a;
printf("please input b=");
cin>>b;
for(i=0;i<n+1;i++)
{
x[i]=a+i*(b-a)/(float)n;
复化梯形公式的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在探讨复化梯形公式的计算规律。
设将求积区间 分成 等份，则一共有 个分点，按梯形公式 计算积分值 ，需要提供 个函数值。
注意，这里 代表步长，分点为 ，
}
sum=0;
for(i=1;i<n;i++)
{
sum=sum+F(x[i]);
}
T=(b-a)/(2*(float)n)*(F(x[0])+F(x[n])+2*sum);
cout<<"T= "<<T<<endl;
return 0;
}
四、算法实现
例1：利用复化梯形公式计算 函数，在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在 的值）。
二、算法框图
3、算法程序
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 400
float F(float x)
{
x=exp(x) ;
return (x ) ;
}
int main()
{
float a,b,x[N],sum,T;
解：运行程序
(1) 显示出 “please in put n=” ,“please in put a=” ,“please in put b=”,依次输入数据，回车。
(2)显示结果如下图：
注：此时 ；在程序中对应的语句为x=exp(x) ;所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。
例2：利用复化梯形公式计算函数 ，求在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在 的值）。
解：运行程序
(1) 显示出 “please in put n=” ,“please in put a=” ,“please in put b=”，依次输入数据，回车。
(2)显示结果如下图：
注：此时 ；在程序中对应的语句为x=sin(x)/x ;所求的函数可以定义为其他函数得出Байду номын сангаас标函数的结果。
2012-2013（1）专业课程实践论文
复化梯形公式
余良，0818180125，R数学08-1班
一、算法理论
求 的值是科学技术中经常遇到的计算问题 ,但在很多情况下 , 的原函数不易求得 ,或非常复杂 ;另外 ,在一些应用中 ,函数 是用函数表形式给出而没有解析式 ,这时就采用定积分的数值计算方法 ,以解决定积分的近似计算。数值求积公式的应用不仅在近似计算本身 ,在初等数学中 ,某些数列求前 n项之和公式的推导颇为繁琐 ,应用复化梯形公式可方便地导出这些公式。复化梯形公式用牛顿——莱不尼茨公式来计算 的值的前提是 : 的原函数能够求出。当 的原函数不易求出或找不到时 ,希望用一个易于求原函数的函数来近似代替被积函数 ,从而得到定积分的近似计算公式。下文中梯形公式 就是 常用的近似计算公式。