概率空间随机变量
高等数学概率
高等数学概率
高等数学概率是高等数学中的一个重要内容，包括概率空间、随机变量、概率分布、期望和方差等概念和性质的研究。
概率是用来描述事件发生可能性的量，是统计学和数学中的重要工具。
高等数学概率的核心内容包括：
1. 概率空间：概率空间是由一个样本空间和一个事件的集合以及对应的概率测度组成的。
样本空间是所有可能发生的事件的集合，事件是样本空间的子集，概率测度是对事件发生的可能性进行量化的函数。
2. 随机变量：随机变量是将样本空间映射到实数集上的函数。
随机变量可以是离散的（取有限或可数个值）或连续的（取无穷个值），可以用于描述某个随机实验的结果。
3. 概率分布：概率分布描述了随机变量可能取得各个值的概率。
对于离散随机变量，可以用概率质量函数（PMF）或累积分
布函数（CDF）来描述；对于连续随机变量，可以用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来描述。
4. 期望和方差：期望是描述随机变量平均取值的量，是随机变量的一个重要特征；方差是描述随机变量取值离散程度的量，用来衡量随机变量与其期望值之间的差异。
高等数学概率在实际应用中广泛存在，例如在金融领域中的风险评估和投资组合优化、在工程领域中的可靠性分析和失效概率计算、在统计学中的样本调查和抽样理论等。
通过研究概率，可以更好地理解和解决与随机性相关的问题。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机试验的结果与某个数值之间的关系，这时就需要引入随机变量来描述试验结果的数值特征。
一、随机变量的定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它的取值是由随机试验的结果决定的。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量：如果随机变量的取值是有限个或可列无限个，那么它就是离散随机变量。
例如，掷一枚骰子，随机变量X表示出现的点数，X的取值为1、2、3、4、5、6。
连续随机变量：如果随机变量的取值是一个区间上的任意实数，那么它就是连续随机变量。
例如，某地一天的降雨量，随机变量X表示降雨量的大小，X的取值范围是[0, +∞)。
二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数。
对于离散随机变量，分布函数可以用概率质量函数来表示；对于连续随机变量，分布函数可以用概率密度函数来表示。
离散随机变量的分布函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=P(X≤x)=p1+p2+...+pk，其中k为使得xk≤x的最大整数。
连续随机变量的分布函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=∫f(t)dt，其中积分区间为(-∞, x)。
三、随机变量的概率密度函数和概率质量函数概率密度函数和概率质量函数是描述随机变量取值概率的函数。
离散随机变量的概率质量函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的概率质量函数p(x)定义为p(x)=P(X=x)，其中x为X的取值。
连续随机变量的概率密度函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈(-∞, +∞)；2. ∫f(x)dx=1，其中积分区间为(-∞, +∞)。
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率论与数理统计考点归纳
以下是概率论与数理统计的一些常见考点归纳：
概率论：
1. 概率的基本概念：样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率运算：并、交、差、补等运算规则。
3. 条件概率与独立性：条件概率的定义与计算、独立事件的判定与计算。
4. 随机变量：离散和连续随机变量的概念、概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）、期望、方差等。
5. 常见离散分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
6. 常见连续分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。
7. 两个随机变量的关系：协方差、相关系数等。
数理统计：
1. 抽样与抽样分布：简单随机抽样、抽样分布、中心极限定理等。
2. 参数估计：点估计和区间估计、最大似然估计、置信区间等。
3. 假设检验：假设检验的基本步骤、显著性水平、p值等。
4. 单样本参数检验：均值检验、比例检验等。
5. 两样本参数检验：两样本均值检验、两样本比例检验等。
6. 方差分析：单因素方差分析、多因素方差分析等。
7. 相关与回归分析：相关系数、简单线性回归模型等。
这只是概率论与数理统计的一些常见考点归纳，实际考试中可能还会涉及更多细分知识点。
在复习过程中，建议根据自己的学习进度和重点，深入学习和掌握这些知识点，并进行大量的练习题来加深理解和提高解题能力。
第1节、概率空间 随机变量
x
结束
§1 概率空间 随机变量
§1
概率空间 随机变量
例6. 向（0,1）区间上随机地掷一个点。按例3，Ω= （0,1）。规定函数X(w) =w，0<w<1。这样,X(w)是(Ω, F, P)上 的随机变量。 既然对任意一个实数x，有 ( : X () x) F ，那么对Ω的就子 集 ( : X () x) 可以讲概率。 定义： 设(Ω, F, P)是概率空间，而X=X(w)是(Ω, F, P)上的 随机变量。对任意一个实数x，有概率
F {w1 , w2 ,, w6（ , w1 , w2） （ , w1 , w3） ,（ , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3） ,（ , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4） ,（ , w3 , w4 , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3 , w4 , w5） ,（ , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） }
三、随机变量及其概率分布
在随机试验中，若存在一个变量，它依试验出现的结果改 变而取不同的数值，则称此变量为随机变量。由于随机试验出 现的结果带有随机性，因而随机变量的取值也带有随机性。从 数学角度看，样本空间Ω中每一个样本点w（试验可能结果）对 应有一个数X(w)，这就是随机变量；或者说随机变量是定义在 样本空间Ω上的函数。但是，对这个函数需要有一些要求。
[伍德里奇计量经济学导论]1概率论知识
![[伍德里奇计量经济学导论]1概率论知识](https://img.taocdn.com/s3/m/9201f67c783e0912a2162a45.png)
期望(或均值）也就是随机变量X的一阶矩，它是度量分布 的中心位置
② k阶中心矩（kth centered moment) ：
mk E X x
k
x f xdx
k x
③ 偏度(skewness):
S(x)=0， 该随机变量分布对称；
2
c) Y的标准差为：
Y 0.8 X
③ 将以上分析推广，假设Y以截距a（代替$2000）和斜率b（代 替0.8）依赖于X，因此，
a) Y与X的联系：
Y a bX
b) Y的期望、方差和标准差分别为：
Y a b X
2 2 Y b 2 X
Y b X
4. 分布形态的其他测度指标：
2. 离散型随机变量的概率分布
① 概率分布（Probability Distribution）：变量所有的可能值和
每个值发生的概率的列表。这些概率之和为1。
如，用M表示你在写学期论文时电脑死机的次数。
② 事件概率（Event Probability）：
Pr(M 1) 0.10
Pr(M 1或M 2) 0.10 0.06 0.16
var(Y)，即
varY E Y Y 2
Y 。
b) 一个随机变量的标准差就是方差的平方根，表示为
② 重要概念二：方差和标准差 假设随机变量Y的方差是用
2 Y
2 表示，计算公式为： Y
2
varY E Y Y yi Y pi
X x 3 S x E 3 x
S(x)>0，高峰向左偏移，长尾向右侧延伸称为正偏态分布，也称右偏态分布；
随机变量的定义域
随机变量的定义域随机变量是概率论中的一种重要概念，其定义域指的是随机变量所有可能取值的集合。
在本文中，我们将会分步骤介绍随机变量的定义域以及与之相关的概念。
一、基本定义首先，我们需要了解随机变量本身的定义。
随机变量可以被理解为映射函数，将样本空间中每个元素映射到一个实数上。
随机变量是随机试验的结果，可以是离散的，也可以是连续的。
举个例子，假设我们进行一次掷骰子的实验，随机变量就是掷骰子的结果。
在这里，随机变量的定义域就是 {1，2，3，4，5，6}，因为掷骰子的结果只能在这六个数中取值。
二、离散随机变量的定义域离散随机变量是指在定义域中只有有限个或者无限个可数值的随机变量。
在这种情况下，随机变量的定义域是一组离散的数值。
对于离散随机变量X，我们可以用下式表示它的概率分布函数：P(X) = P(X = x)这里，X = x表示随机变量X等于某个离散的值x。
例如，当我们进行一次抛硬币实验时，结果只能为正面或反面。
这时，我们可以用随机变量X表示正面朝上的数量。
在这种情况下，随机变量X的定义域为{0，1，2}。
三、连续随机变量的定义域与离散随机变量相对应的是连续随机变量。
它的定义域通常为一个连续的区间，并且它的取值可以是任意的实数。
对于连续随机变量X，我们可以用密度函数来表示其概率分布，该函数满足以下两个条件：1. f(x)≥ 0, ∀x∈定义域。
2. ∫f(x)dx = 1，其中积分从定义域的下限到上限。
在连续随机变量中，我们经常使用正态分布作为例子。
在这种情况下，随机变量X的定义域是所有的实数，其密度函数为：f(x) = 1/〖(2π)^(1/2) σ] 〖exp〗[(x-μ)^2/2 σ^2]其中，μ和σ分别是正态分布的均值和标准差。
四、总结本文主要围绕随机变量的定义域进行了阐述。
我们通过离散和连续两种随机变量的例子来讲解了它们的定义域以及相关的概念。
对随机变量的理解，有助于我们更好的理解概率论，从而更准确地进行预测和决策。
概率论与数理统计第二章笔记
第二章 随机变量及其分布 §1.随机变量与分布函数一、随机变量的概念定义：假设Ω为试验E 的样本空间，对任意的ω∈Ω都赋予一个实数X （ω）与之对应，则实值函数X （）称为随机变量，一般用X ，Y ，Z 或者,ξη 注：1、Z （ω）由ω唯一确定2、随机变量X 与实数x 的区别3、对实数x ，事件{X ≤x}有一定的概率，P{X ≤x} 二、分布函数定义：设（Ω, ,P ）为概率空间，还为定义在Ω上的随机变量，对任意x ∈R ，一元实值函数F （x ）= P{X ≤x}，称为r ，v ，X 的概率分布函数，简称分布函数 注：1、F （x ）= P{X ≤x}，x ∈R2、分布函数是指描述随机变量分布的根本方法3、分布函数的性质性质1、（单调性）对任意的12X X ≤，有F （1X ）≤F （2X ） 注：P （a X b <≤）=F （b ）-F （a ）P （a X b ≤≤）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）P （a X b ≤<）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）-P （X=b ） P （a X b <<）= F （b ）-F （a ）-P （X=b ） P （X a ≤）= F （a ） P （a X <）=1- F （a ） 性质2、（有界性）：0≤F （x ）1≤ 性质3、()lim ()1x F F x →+∞+∞==()lim ()0x F F x →-∞-∞==性质4、(右连续性) 对任意x ∈R ，有F （x+0）=F （x ） 证明：设x A ={X ≤x+1n} 则123......A A A ⊇⊇⊇且n ={}n A X x +∞=-∞⋂≤所以F(x)=P{X ≤x}=P(1n n A ∞=⋂)=lim ()n n P A →+∞=n +11lim (x+)=lim ()nn P X F x n→+∞→∞≤+由F(x)的单调性 F(x)=F(x+0)例：设r.v.X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx x ∈R 求待定系数A.B 由F(+∞)=1 F(-∞)=0 得到lim (arctan )12x A B x A B π→+∞+=+=lim (arctan x )=a-02x A B B π→∞+= 所以A=12B=1π第二节 离散型r .v .及其分布一．基本概念定义：设X 为样本空间Ω的随机变量，若存在一个有限或可列无限集B ，使得P{X ∈B}=1则称X 为离散型r . v . 设其所有可列取值为{k X } K=1.2.3……n …则k P =P(X=k X ) K=1.2.3…..n …则称为X 的概率分布列[注]：1.概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的方法之一分布矩阵1212........................n n x x x p p p ⎛⎫⎪⎝⎭3.非负性：k P >0.k=1.2….. 归一性：K kP ∑=14.求离散型r . v . 分布列的步骤Step1：列出r . v . X 的所有可能取值 Step2：计算几个取值对应的概率例：甲乙两队进行比赛，规定谁先赢三局获胜。
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。
随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。
本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。
一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。
通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。
常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。
二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。
1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。
2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。
概率函数的性质包括：非负性、归一性。
三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。
1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。
2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。
概率空间中随机变量序列的一类收敛性问题
文章 编 号 ：０ ７—１８ （０ ８ ０ ０ ８ ０ １０ ３ ５ ２０ ）４— ０ ９— ３
概 率 空 间 中随机 变量 序 列 的一 类 收 敛 性 问题
刘 刚 高文 军 刘 娟
２７０ ） ５ ４ ０ （ １沈阳航空工业学院理学院 ， 辽宁 沈阳 １０ ３ ； １ １６ ２利津 职业教 育中心 ， 山东 东 营
ｌ （ ）一Ｘ（ ） ／ ０ ｏ ｏ Ｉ ｓ１ｋ＜ （） ５
有限 且
到 。
， 称 ｛ ， ｌ 几乎 必 然 收 敛 则 凡 ｝
由于 。 为任 一正 数 ， 以 ｌ 。 所 ｉ （ ）＝Ｘ（９） 由 ｍＸ ０ ， 。
（ ） ｛ ｝．． 敛于 ２ 知 ０ｓ收
摘
要： 作为测 度论应用到概率论 的一个 例子 ， 论述 了概率空 间中随机变量 序列几 乎处处 收敛和
依概率 收敛并给 出了几个 等价命 题 ； 研究 了随机变 量序列 的收敛性 之 问的关 系 ， 给 出了证 明 ； 并
探 讨 了 Ｃ ｕｈ 基 本 序 列 的性 质 ， 作 了 进 一 步 研 究 。 ａｃ ｙ 并 关 键 词 ： 机 变 量 序列 ； 乎 必 然 收 敛 ； 随 几 以概 率 收 敛
（ ） Ｐ｛ｉ 有 限 ｝ ） ｌ ｍＸ ≠ ＝０
集。如果测度空间（ ， ） ， Ｐ 满足 Ｐ 力） １ 则称 （ ＝，
为概 率 空 问．在概 率 空 间 （ ， Ｐ） ， 中 的集 Ｘ， 中
所 以 Ｐ ＾ｎｎｕ 一 ） ０ Ｖ ０ （＝ ｖ｛ ｝ ＝ ， ＞ ｆ ｌ ＝，
一
的研 究 不仅 在概 率 中有 基 本 的 意 义 ， 数 理 统 计 在
中也 有很 多应 用 。
Ｖ ＞ ， 在 Ｎ（ ｏ ， ／＞Ｎ 时 ， ＿ （ ） ０存 ， ） 当 ７ ， Ｊ ０ Ｙ
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
中科大随机过程引论例题集含解答
1
(d) Poisson 过程； (e) Gauss 过程。
【“平稳增量过程”定义：令 Y (t) = X(t + s) − X(t)，其中 s > 0，则 Y (t) 为平稳过程。 “平稳独立增量过程是“独立增量过程”加上“平稳增量过程”。】
1 2
,D(Y ) =
1 4
+
n−1 3n
。
【因为
Y |X
=
x
∼
B(n, x)，所以
E{Y |X
=
x}
=
n·
x n
=
x，D{Y |X
=
x}
=
n·
x n
·
2.3 Wiener 过程
4. 设 Brown 运动 W (t), t ≥ 0 是标准 Brown 运动过程（取 C=1），则 W (t) 满足 a, c 。 (a) E{W (t)W (s)} = min(t, s)； (b) W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s)； (c) 对任意 0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4, E{(W (t2) − W (t1))(W (t4) − W (t2))} = 0； (d) W (t) ∼ N (0, 1)。
2.2 二阶矩过程
2. 设 Xn, x ∈ H 分别是二阶矩随机变量序列和随机变量，称 Xn 以均方收敛到 X，则下述 等价说法正确的是 b, d 。 (a) limn→∞ Xn = X； (b) limn→∞ d(Xn, X) = 0； (c) limn→∞(Xn, X) = 0； (d) limn→∞ ∥Xn − X∥ = 0。
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在本文中，我们将介绍随机变量的基本概念、分类以及相关的性质。
一、随机变量的定义随机变量是一个函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数上。
换句话说，随机变量是一个从样本空间到实数集的映射。
通常用大写字母X、Y等表示随机变量。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
1. 离散随机变量离散随机变量的取值是有限个或可数个，它的概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
离散随机变量的概率质量函数满足以下两个条件：（1）非负性：对于任意的x，有P(X=x)≥0；（2）正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
2. 连续随机变量连续随机变量的取值是无限个，它的概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
连续随机变量的概率密度函数满足以下两个条件：（1）非负性：对于任意的x，有f(x)≥0；（2）正则性：概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
三、随机变量的性质随机变量具有以下几个重要的性质：1. 期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值，它表示随机变量的平均水平。
对于离散随机变量，期望可以通过概率质量函数计算；对于连续随机变量，期望可以通过概率密度函数计算。
2. 方差随机变量的方差是对随机变量取值与其期望之间差异的度量，它表示随机变量的离散程度。
方差可以通过随机变量的二阶矩来计算。
3. 累积分布函数随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量取值小于等于某个值的概率的函数。
对于离散随机变量，累积分布函数可以通过概率质量函数累加得到；对于连续随机变量，累积分布函数可以通过概率密度函数积分得到。
计数原理概率随机变量及其分布总结
计数原理概率随机变量及其分布总结计数原理是一种概率理论中的基本原理，用于计算一个事件集合中具有某些性质的元素的数量。
在概率论中，计数原理用于确定样本空间中每个事件的概率，从而计算总体的概率。
计数原理包括排列、组合和多重集合。
排列是指从一个集合中选取若干元素，按照一定的顺序进行排列的方法数，可以表示为n!/(n-k)!。
组合是指从一个集合中选取若干元素，不考虑它们的排列顺序的方法数，可以表示为n!/[(n-k)!k!]。
多重集合是指一个集合中每个元素出现的次数不限，选取若干元素的组合总数。
概率随机变量是指随机试验中，对于每一个结果赋予一个数字的函数。
它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
离散型随机变量是指随机变量只能取到有限个或可数个值的情况，如掷骰子的点数；连续型随机变量是指随机变量可以取到无限个值的情况，如身高、体重等。
概率分布是指随机变量取不同值时，对应的概率值的分布情况。
常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有正态分布、指数分布、卡方分布等。
伯努利分布是指只有两种结果的随机试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
其概率分布函数为f(x) = p^x(1-p)^(1-x)，其期望为E(x) = p，方差为Var(x) = p(1-p)。
二项分布是指进行n次相互独立的伯努利试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率分布函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，其期望为E(x) = np，方差为Var(x) = np(1-p)。
泊松分布是指某个时间段内某个事件发生的次数，假设每个事件发生的概率相等，但是发生次数是不确定的，符合泊松分布。
其概率分布函数为f(x) = e^(-λ)λ^x/x!，其中λ为事件发生的平均次数，其期望为E(x) = λ，方差为Var(x) = λ。
正态分布是指连续型随机变量最常用的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^-((x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为期望，σ为标准差，其期望和方差分别为E(x) = μ，Var(x) = σ^2。
随机变量的分布函数与密度函数知识点
随机变量的分布函数与密度函数知识点随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是指在概率空间中的一个实值函数。
而随机变量的分布函数与密度函数是描述随机变量的统计特征的重要工具。
本文将详细介绍随机变量的分布函数与密度函数的概念、性质以及计算方法，并通过实例进行说明。
一、分布函数的概念与性质1. 分布函数的定义随机变量的分布函数，又称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），用F(x)表示，定义为随机变量取值小于或等于x的概率：F(x) = P(X ≤ x)2. 分布函数的性质（1）F(x)是一个非降函数，即对于任意x1 ≤ x2，有F(x1) ≤ F(x2)。
（2）当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
（3）F(x)是一个右连续函数，即对于任意实数x，有F(x) = F(x+)。
二、密度函数的概念与性质1. 密度函数的定义随机变量的密度函数，用f(x)表示，定义为分布函数的导数：f(x) = dF(x)/dx2. 密度函数的性质（1）密度函数f(x)是非负函数，即对于任意x，有f(x) ≥ 0。
（2）随机变量的分布函数F(x)在任意一点x处可导，当且仅当密度函数f(x)存在。
（3）对于随机变量的任意可测函数g(x)，该函数的期望值可以表示为积分的形式：E[g(x)] = ∫g(x)f(x)dx三、分布函数与密度函数的转换1. 分布函数到密度函数的转换当随机变量的分布函数F(x)在某一区间段上连续可导时，可以通过求导操作得到对应的密度函数f(x)。
2. 密度函数到分布函数的转换当随机变量的密度函数f(x)存在时，可以通过积分操作得到对应的分布函数F(x)。
四、常见分布函数与密度函数1. 均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一，其分布函数与密度函数分别为：F(x) = 0，x < aF(x) = (x-a)/(b-a)，a ≤ x ≤ bF(x) = 1，x > bf(x) = 1/(b-a)，a ≤ x ≤ bf(x) = 0，其他2. 正态分布正态分布是自然界中常见的分布，其分布函数与密度函数分别为：F(x) = (1/2)[1 + erf((x-μ) / (σ√(2)))]f(x) = (1/σ√(2π))e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，erf(x)为误差函数。
概率论第二章
三。几种常用的离散型分布 （一）二项分布
B ( n, p )
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示在 次试验中事件 发生的次数 并设随机变量 表示在n次试验中事件 发生的次数, 表示在 次试验中事件A发生的次数 则称X服从二项分布，记作 则称 服从二项分布，记作X~ B ( n, 服从二项分布 其分布列为： p ) ，其分布列为： k k n−k 。 ） P{ X = k} = Cn p (1 − p) , k = 0,1,..., n （2。3） 特别， 特别，当n=1时，X~ B (1, 时
G ( p)
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示事件 首次发生的试验次数 则称X 并设随机变量 表示事件A首次发生的试验次数，则称 表示事件 首次发生的试验次数， 服从几何分布， 其分布列为： 服从几何分布， 几何分布 记作 X ~ G ( p ) ，其分布列为：
0 3 3 解：P ( X = 0) = C2 C3 / C5 = 1 / 10,
1 3 P( X = 1) = C2C32 / C5 = 6 / 10, 2 1 3 P( X = 2) = C2 C3 / C5 = 3 / 10,
通式为： 通式为：
2
k 3 3 P( X = k ) = C2 C3 − k / C5 , k = 0,1,2
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P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
那么称P是波雷尔事件域上的概率。
§1 概率空间 随机变量
在例1中定义P(A)=k/2 ，其中k是事件A包含的样本函数，k= 0,1,2，那么P是概率。另外，如果定义P(正面)=11/12 ，P(反 面)=9/20 ，P(正面或反面)=1，P(空集)=0，这样定义的P也是 概率。
§1 概率空间 随机变量
二、概率的公理化定义
在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率 的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空 间由N个等可能的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍 一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一 些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽 象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的
§1 概率空间 随机变量
它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包 含的样本点的集合。F中每一元素（即w1,w2,…,w6或每一对小 括号表示的样本点集合）是一个事件。
在例3中，做F1={(0,1)区间中任意子集}。F1构成一个波雷 尔事件域，其中每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔 事件域。若取
n
G { (ak ,bk ] : 0 ak bk 1, k 1,2, , n,而n 1}
k 1
即G是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集 类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G不具有波雷尔事
§1 概率空间 随机变量
件域的第三条性质，这是因为G中可列无限个元素之和，也可以 是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G中的元素，因而 G不是波雷尔事件域。记F2是包含G的最小的波雷尔事件域。数 学上可以证明F2与F1并不重合，而F2中的元素比F1少。波雷尔事 件域F2中的每一个元素都是事件。
需要指出，在上面的三个例子中，四个F有三个取为样本空 间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的任意一个 子集都是事件。但是F还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔 事件域，如例3中的F2 。又如在例1中取F ={Ω , Ф }，这种F也 构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取F的实际意义 不大。
F {w1, w2 , , w6（, w1, w2）（, w1, w3）, （, w5, w6）（, w1, w2, w3）, （, w4, w5, w6）, （w1, w2 , w3, w4）, （, w3, w4 , w5, w6）（, w1, w2 , w3, w4 , w5）, （, w2 , w3, w4 , w5, w6）, （w1, w2 , w3, w4 , w5, w6）}
§1 概率空间 随机变量
概率论中曾经指出，概率是指一个事件发生的可能性大小的度量，而事 件是指“事情”。本节先用样本空间的观点讲述事件，进而介绍概率的公 理化定义。
一、样本空间
在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试 验。我们用E表示随机试验。随机试验的所有可能出现的结果构成一个集合， 而把每一可能出现的实验结果称为一个基本事件。随机试验E的所有基本事 件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。
(1) Ω∈F ；
(2) 若A∈F ，则 A =Ω-A∈F ；
(3)
若Ak
∈
F
，k=1,2，…，则 k 1
Ak ∈F
那么称F是一个波雷尔（Borel）事件域，或σ事件域。波雷尔
事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。
特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集Ф为不可能事件。
§1 概率空间 随机变量
概率是对应于波雷尔事件域F中每一个Ω的子集的一个数，即可
以看成集合函数。
§1 概率空间 随机变量
概率的公理化定义： 设P(A)是定义在样本空间Ω中的波雷
尔事件域F上的集合函数。如果P(A)满足
（1）对任一A∈F ，有 0 P(A) 1 ；
（2） P( ) 1, P() 0 ；
（3）若A1,A2,…两两不相交，即 Ak Aj Φ,k j,且Ak F,k 1,2 ，则
第二章 概率论的补充知识
学习随机过程，仅有工程数学中《概率论》的知识 是不够的，还需要更多一些概率论知识，例如：概率空 间、多维正态分布等等。这里给出概率论的补充内容， 不仅是为了学习随机过程的需要，而且对于阅读应用概 率论的工程技术书籍和文献亦会有所帮助。内容包括概 率空间、随机变量及其概率分布、特征函数、随机矢 量及其多维特征函数、多维正态分布等。
在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是 基本事件。但是，一般并不要求样本点必须是基本事件。
在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作 F= {正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波 雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明， F表达式中的花括号，是指事件的集合。
在例2中共有六个样本点，记wi为出现“i点”的样本 点，i=1,2,3,4,5,6。作
例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基 本事件构成一个样本空间。
例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。
§1 概率空间 随机变量
例3 向实数轴（0，1）区间上随意地投掷一个点。在（0，1）区间 中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合(即（0，1）区间)构成 一个样本空间。
抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本
点。样本空间记为Ω={w}，其中w表示样本点。这里大括号表示所有样
本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点
的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需要加一些约束。
§1 概率空间 随机变量
定义 设样本空间 {} 的某些子集构成的集合记为F，如果 满足下列性质：
在例2中定义P(A)=k/6，其中k是事件A包含的样本点数，k=0, 1,2,3,4,5,6，那么P是概率。
在例3中考虑波雷尔事件域概率公理化定义在的三个条件，且