概率空间随机变量

在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是 基本事件。但是，一般并不要求样本点必须是基本事件。
在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作 F= {正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波 雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明， F表达式中的花括号，是指事件的集合。
在例2中共有六个样本点，记wi为出现“i点”的样本 点，i=1,2,3,4,5,6。作
需要指出，在上面的三个例子中，四个F有三个取为样本空 间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的任意一个 子集都是事件。但是F还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔 事件域，如例3中的F2 。又如在例1中取F ={Ω , Ф }，这种F也 构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取F的实际意义 不大。
§1 概率空间 随机变量
它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包 含的样本点的集合。F中每一元素（即w1,w2,…,w6或每一对小 括号表示的样本点集合）是一个事件。
在例3中，做F1={(0,1)区间中任意子集}。F1构成一个波雷 尔事件域，其中每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔 事件域。若取
例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基 本事件构成一个样本空间。
例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。
§1 概率空间 随机变量
例3 向实数轴（0，1）区间上随意地投掷一个点。在（0，1）区间 中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合(即（0，1）区间)构成 一个样本空间。
n
G { (ak ,bk ] : 0 ak bk 1, k 1,2, , n,而n 1}
k 1
即G是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集 类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G不具有波雷尔事
Байду номын сангаас
§1 概率空间 随机变量
件域的第三条性质，这是因为G中可列无限个元素之和，也可以 是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G中的元素，因而 G不是波雷尔事件域。记F2是包含G的最小的波雷尔事件域。数 学上可以证明F2与F1并不重合，而F2中的元素比F1少。波雷尔事 件域F2中的每一个元素都是事件。
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
那么称P是波雷尔事件域上的概率。
§1 概率空间 随机变量
在例1中定义P(A)=k/2 ，其中k是事件A包含的样本函数，k= 0,1,2，那么P是概率。另外，如果定义P(正面)=11/12 ，P(反 面)=9/20 ，P(正面或反面)=1，P(空集)=0，这样定义的P也是 概率。
抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本
点。样本空间记为Ω={w}，其中w表示样本点。这里大括号表示所有样
本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点
的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需要加一些约束。
§1 概率空间 随机变量
定义 设样本空间 {} 的某些子集构成的集合记为F，如果 满足下列性质：
(1) Ω∈F ；
(2) 若A∈F ，则 A =Ω-A∈F ；
(3)
若Ak
∈
F
，k=1,2，…，则 k 1
Ak ∈F
那么称F是一个波雷尔（Borel）事件域，或σ事件域。波雷尔
事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。
特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集Ф为不可能事件。
§1 概率空间 随机变量
概率是对应于波雷尔事件域F中每一个Ω的子集的一个数，即可
以看成集合函数。
§1 概率空间 随机变量
概率的公理化定义： 设P(A)是定义在样本空间Ω中的波雷
尔事件域F上的集合函数。如果P(A)满足
（1）对任一A∈F ，有 0 P(A) 1 ；
（2） P( ) 1, P() 0 ；
（3）若A1,A2,…两两不相交，即 Ak Aj Φ,k j,且Ak F,k 1,2 ，则
§1 概率空间 随机变量
概率论中曾经指出，概率是指一个事件发生的可能性大小的度量，而事 件是指“事情”。本节先用样本空间的观点讲述事件，进而介绍概率的公 理化定义。
一、样本空间
在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试 验。我们用E表示随机试验。随机试验的所有可能出现的结果构成一个集合， 而把每一可能出现的实验结果称为一个基本事件。随机试验E的所有基本事 件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。
§1 概率空间 随机变量
二、概率的公理化定义
在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率 的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空 间由N个等可能的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍 一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一 些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽 象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的
第二章 概率论的补充知识
学习随机过程，仅有工程数学中《概率论》的知识 是不够的，还需要更多一些概率论知识，例如：概率空 间、多维正态分布等等。这里给出概率论的补充内容， 不仅是为了学习随机过程的需要，而且对于阅读应用概 率论的工程技术书籍和文献亦会有所帮助。内容包括概 率空间、随机变量及其概率分布、特征函数、随机矢 量及其多维特征函数、多维正态分布等。
在例2中定义P(A)=k/6，其中k是事件A包含的样本点数，k=0, 1,2,3,4,5,6，那么P是概率。
在例3中考虑波雷尔事件域F2，数学上可以证明在F2上存在
一个集合函数P，满足概率公理化定义在的三个条件，且
F {w1, w2 , , w6（, w1, w2）（, w1, w3）, （, w5, w6）（, w1, w2, w3）, （, w4, w5, w6）, （w1, w2 , w3, w4）, （, w3, w4 , w5, w6）（, w1, w2 , w3, w4 , w5）, （, w2 , w3, w4 , w5, w6）, （w1, w2 , w3, w4 , w5, w6）}