梁的平面弯曲

S
FS等于分布载荷左边图形面积 + 向上的集中力
q=9
A 4m B
49 1）确定控制点。 约束力、集中力(偶)作用点， 分布载荷起止点。 A、B、C、D、E
48
45
32
x
C D E 2m 2m 4m
2）计算控制点处FS、M值。 左边面积+集中载荷 力 、力偶 为正。
FS/kN
49 + 13 32 150 102 + A B C D
第九章
梁的平面弯曲
9.1 用截面法作梁的内力图 9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 9.3 梁的应力与强度条件 9.4 梁的变形
9.5 弯曲静不定问题和弹塑性问题简介
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1
第九章
概述
梁的平面弯曲
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
FE
FAy
0
q
x4
M0 F
B C Dc
M4
FS4
DE段: 8mx4<12m
FS4=-FE=-32kN
M4
0
M4=FE(12-x4)
=384-32x4 结果应当相同。 可以用于验算。
x4
FS4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。 平面弯曲 3
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9.1 用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤：
求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平衡 方程 x y x
FS M FS M
左上右下，FQ为正 左顺右逆，M为正
轴向拉压
扭 转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁) 2
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梁的分类
F
q
平面弯曲
简支梁 悬臂梁 梁的横截面
M
共同点：都有对称轴
外伸梁
纵向对称面
集中力，集中力偶，分布载荷
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
MA
A
A FAx
FAy
x c
M FS F
+ x x
FS
o 剪力图
_
M
o
Fl
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。
5
例2 求外伸梁AB的内力。 y
解：1）求约束反力 首先画受力图。 有平衡方程：
0
F FAy 3F
A
FB 45 a
B
a
FAx a
x
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0 2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FS=-F; M=-Fx
求解内力，负号 表示与假设反向
内力的符号规定
内力 右截面正向 左截面正向 FS M
微段变形（正）
顺时针错动
向上凹
4
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例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
FAy 解：1）求约束力。 画受力图。 由平衡方程得： MA F
l B
FAx=0; FAy=F; MA=Fl
2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设， 在0x<l内，有平衡方程： SFy=FAy-FS=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FS=F； M=-F(l-x)
x
1.5qa
qa
2
O
0.5qa 2
x
3）检查图形是否封闭。
2qa 2 2.5qa 2
22
已知：q=q，F=qa，M=qa2；求得反力： FA=0.5qa， FB=1.5qa，MB=2.5qa2
例6 欲使梁中弯矩值最小，
求 a =?
q
解：1）求反力 FA = FB =qL
2）画内力图：
q
MA=-q(L-a)2/2
M4 DE段: 8mx4<12m
FS4 FS4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
11
FE
FAy
0
M0 M 3
B C c
x3
q
FS3
FAy
0
M0 F
B C Dc
x4
DE段: 8mx4<12m FS4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
取右边部分如何?
FAy
A
q
B 4m
49 + 13
-
x
M/kNm
124
32 150 102 + D E x 128
A
B
C
结论四：二截面间的弯矩增量等于该 段梁上剪力图的面积。
MA
q(x)
MB
c
FSA
FSB
18
如例3： 已知 q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm。
由此，可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。
q
FS图 FS>0 FS<0 FS>0 FS<0 M图 FS>0 FS<0
FB= 2F FAx=F FAy=3F
F
0
M
x
FN FS
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力
y
0
F 3F
A
3F F a
FB 45
a
B
0x<a: FN=0; FS=-F; M=-Fx
ax<2a: FN=-F；FS=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a) 2a x<3a: FN=-F； FS=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x)
x3’8: FSD13 DE: x4=8: FSD=-32；MD=128
13
CD段: 6mx<8m
FS3=13; M3=13x3+24 DE段: 8mx<12m
FS4=-32; M4=384-32x4
注意：集中力 (力偶) 作用处左右二侧FS (M) 不同。
剪力、弯矩图：
分段处的剪力弯矩值： x1=0: FSA=49；MA=0 x2=4: FSB=13；MB=124 x3=6: FSC=13；MC=102
梁的平衡微分方程： d M ( x) dFS( x) = = q ( x) dx2 dx
16
2
Fra Baidu bibliotek
如例3： 已知 q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm。
讨论：q –FS-M关系:
平衡微 分方程
FAy
A
q
B 4m
M0
F
FE
x
dFS d M =q 2 = dx dx
2
C D E 2m 2m 4m
q=0
q=const.>0
q=const.<0
集中力(偶) FS图
M图
突变
转折
无变化
突变
FS等于分布载荷左边图 形面积+向上的集中力 M等于FS图左边面积+ 顺时针集中力偶
已知：q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm；求得反力： FAy=49kN， FE=32kN 19
FS、M图的简捷画法 (结合例3)： M等于F 图左边面积 + 顺时针集中力偶
x
a F
0
M
x
FN FS
F
0
3F
xF 3F
M
FN FS 3F x
F
0
M
FN FS
7
F
3) 画内力图： 内力方程： 截面法给出的描述 内力与截面位置关系。 0x<a: FN=0，FS=-F
内力图： 按内力方程绘出 各截面内力的图。
F
0
A
FAy FAx
3P
45 B
FN FS 2F M -
FB -
x F x
M=-F x ax<2a: FN=-F，FS=2F M=F(2x-3a) 2ax<3a: FN=-F ，FS=-F M=F(3a-x)
+ F
F Fa + x
8
x
Fa
作梁的内力图的 一般步骤
求约 束反 力 静力 平衡 方程
y
0
F FAy 3F
A
FB 45
F
B
M
a
FAx a
x
FN
0
a
x FS
截取 研究 对象
15
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分布载荷集度、剪力和弯矩之间的关系 平衡方程：SFy=FS+q(x)dx-(FS+dFS)=0 SMC(F)=M+dM-M-FSdx-q(x)dx2/2=0 整理并略去二阶小量，得到：
q(x)dx=dFS(x)
dM(x)=FS(x)dx
dFS(x)/dx=q(x) dM(x)/dx=FS(x)
20
x
M/kNm
124
128
3）依据微分关系判定控制点 间各段 FS、M图的形状， 连接各段曲线。
E x
例4 作图示外伸梁的 FQ、M图。
解：1.求支座反力 SMA=2q+630-60-4FB=0 FB=35 kN SFy=2q+FA+FB-30=0 FA=-25 kN 2）画FS、M图 从左起，计算控制点的 FS、M值。 由微分关系判断线形。 3）检查图形是否封闭。
q=10kN/m M=60kNm 30kN
C FA A D
2m 1m 3m
B E FB
2m
30
FS/kN
20 5 20 15
o
M/kNm
x
o
45
x
45 60
21
已知：q=10kN/m，F=30kN，M=60kNm；求得反力： FA=-25kN， FB=35kN
例5 梁AC、CB在C处铰接，试作内力图。
AB段: 0x<4m
FS1=49-9x1; M1=49x1-4.5x1 BC段: 4mx<6m FS2=13; M2=13x2+72
2
C D E 2m 2m 4m
FE
分段处的剪力弯矩值：
x1=0: FS1=FSA=49；M1=MA=0 BC: x2=4: FSB=13；MB=124 x2’6: MC150 CD: x3=6: FSC=13；MC=102
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
FE
FS/kN
49 + 13 -
x
x36: MC150 x4=8: FSD=-32；MD=128 x48: FSD13
M/kNm
124
32 150 102 + D E x 128
A
B
C
注意：C、D处左右二侧M、FS 之差等于该处的集中 还有什么简单的方法吗？ 力偶M0、集中力F。 F=45kN，M0=48kNm 14
载荷 突变 处分 段。
受 力 图 内力 按正 向假 设。
列平 衡方 程
矩心 取截 面形 心。
求解 内力 内 力 方 程
画内 力图
图形 应封 闭。
9
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。
FAy
FAx=0 A
4m
q
B
M0
F
C D 2m 2m
FAy
0
q
M1
x1 c FS1
平衡微 分方程
dFS d M =q 2 = dx dx
B
2
FAy
A
q
B 4m
M0
F
FE
x
若梁段AB只有q作用的，则 FSB - FSA = A q(x)dx MB - MA=AFS (x)dx 结论三：二截面间剪力的 增量等于该段梁上分布载 荷图形的面积。
B
C D E 2m 2m 4m
FS/kN
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9.2 利用平衡微分关系作梁的内力图 一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系
考察承受分布载荷、长 dx 的微梁段的受力与平衡。
假定q(x)向上为正，截面 内力FS、M均按正向假设。
y
A
q(x)
F
dx
B
x
x
q(x) M
c
在x+dx截面上，FS、M 均有相应的增量。
M+dM
dx
FS
FS+dFS
平衡方程：SFy=FS+q(x)dx-(FS+dFS)=0 SMC(F)=M+dM-M-FSdx-q(x)dx2/2=0
A FSA
A
2a
B
FA FS
qa
2L
FB
q(L-a)
q 梁中弯矩最小，应有： MC =qLa-qL2/2
q(L-a)2/2 = qLa-qL2/2 C: 中截面
FA
FSC
解：1.求支座反力 研究AC段：FA=0.5qa
A
q
C
qa
qa 2
MB
B
研究 整体： FB=1.5qa
MB=qa(3.5a)+qa(2a) -4aFA-qa2=2.5qa2 q 2）计算控制点的FS、M 值， A 由微分关系判断 C 图形。 FA FC
FA
a
a
a
a
FB
FS 0.5qa
O
0.5qa
2 M qa /8
结论一：剪力延坐标x的 变化率等于分布载荷集度， 即FS图中曲线上某点的斜 率等于梁上对应截面处的 载荷集度q。q=0，FS图为 水平线。
FS/kN
49 + 13 -
x
M/kNm
124
32 150 128
102 +
A B C D E x
结论二：弯矩M延坐标x的变化率等于剪力FS，即 M图曲线某点的斜率等于对应截面上的剪力。 17
解：1）求约束反力： x E SFx=FAx=0 4m FE SFy=FAy+FE-F-4q=0 MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0 FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力 AB段: 0x1<4m SFy=FAy-qx1-FS1=0 FS1=49-9x1
10
SMc(F )=M1+qx12/2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。
FAy q M0
B 4m
F
x
A
C D E 2m 2m 4m
2) 截面法求内力 BC段: 4mx2<6m
FAy
0
q x2 q
M2
B c FS2
SFy=FAy-4q-FS2=0 FS2=13kN SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm) CD段: 6mx3<8m FS3=13kN; M3=13x3+24(kNm)