2018高考数学专题大讲堂-第五讲-浅谈“微专题”在个性化教学中的应用(PDF 含答案)

浅谈“微专题”在个性化教学中的应用

江苏-周坤

所谓“微专题”是指，在教学活动中，立足于学情、考情，选择一些切口小、角度新、针对性强的微型复习专题，力求解决课堂上的真问题、小问题和实问题；

“微专题”强调围绕主干知识的一个中心词，从细微处入手对知识进行拓展，在整理过程中不注重知识的覆盖面，但求知识的分析和拓展深入而透彻，给人耳目一新的感觉。

引例：(南通泰州2018一模13题）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()4,0,0,4B A -，从直

线AB 上一点P 向圆42

2=+y x 引两条切线PD PC ,，切点分别

为D C ,，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为

___________.【解析】易求直线AB 方程为4=+y x ，故可设(,4)+P a a ，

可求出直线CD 方程为()44++=ax a y ，分析知直线CD 过定点()

1,1-Q 故点M 的轨迹为以OQ 为直径的圆()()110++-=x x y y ，即22111222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭x y

故⎡∈⎣AM 【微专题】

1、解析几何中点参的设法；

2、圆的双切线模型常见辅助线作法及解题思路；

3、圆的双切线模型的常用结论；

4、定点直线系；

5、切点弦方程的求解；

6、垂足轨迹为直径式的圆；

7、圆上一动点到圆外一定点的距离的最值；

下面我们将目光定位在【6】上，那么可安排如下微专题：

微专题1垂直轨迹为直径式的圆

【背景知识】

以线段MN 为直径的圆的方程；

1、结论

已知()()1122,,,M x y N x y ，则以线段MN 为直径的圆的方程为

()()()()12120

--+--=x x x x y y y y 2、证明

（1）方法一：圆心坐标1212,2

2++⎛⎫ ⎪⎝⎭x x y y

故圆的方程为()()22

2212121212224x x y y x x y y x y -+-++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝

⎭⎝⎭化简整理得()()()()12120--+--=x x x x y y y y 。（2）方法二：设(),P x y 为圆上一点，显然MP NP ⊥，即0

⋅= MP NP 又()()

1122,,,MP x x y y NP x x y y =--=-- 故()()()()12120--+--=x x x x y y y y ，即为所求.

【解题步骤】

1、分析所需求轨迹的点是一个直角顶点；

2、分别寻找两直角边所过的定点；

3、得直径式的圆方程。

【典型例题】

例1-1过原点的直线与圆22

650+-+=x y x 相交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。【解析】连接CM ，则CM

AB ⊥

，即CM OM

⊥故中点M 的轨迹为以OC 为直径的圆

()2530,,3x x y x ⎛⎤-+=∈ ⎥⎝⎦

例1-2在平面直角坐标系中，直线1:20l kx y -+=与直线2:20l x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离最大值为_______.

【解析】分析易知直线1l 过定点()0,2A 、

直线

2l 过定点()2,0B ，且12l l ⊥，即PA PB

⊥故点P 的轨迹为以AB 为直径的圆

()()220x x y y -+-=，即()()22

112

x y -+-=点P 到直线40x y --=的距离最大值为

max d ==.

例1-3（苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷13题）已知圆()2

2:44+-=C x y 和点()2,2Q ，过点()0,3P 作直线l 交圆于,A B 两点，则+ QA QB 的取值范围是_________.

【解析】取AB 中点为M ，易知CM AB ⊥，即CM PM ⊥，

故点M 的轨迹为以CP 为直径的圆()()2

340x y y +--=，即2

27124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭

min 12QM ==

max 13QM == ，考虑到2QA QB QM += ，故[]

4,6

QA

QB +∈

例1-4已知直线:0++=l ax by c ，其中,,a b c 成等差数列，()()3,4,1,2-P A ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则PQ 的取值范围是________.

【解析】因为,,a b c 成等差数列，故20a b c -+=，分析易知直线l 过定点()

1,2B -因为AQ BQ ⊥，故点Q 的轨迹为以AB 为直径的圆()()()()11220x x y y +-+-+=，

即225

x y +=

故

min 5PQ ==-

max 5PQ =

=+，

即5PQ ⎡∈+⎣【思考】垂足轨迹若为圆，是否都是利用直径式得到的呢？

微专题2垂直轨迹为标准式的圆

【背景知识】

圆的标准式

圆心坐标(),a b ，半径()0r r >，则圆的标准方程为()()222x a y b r

-+-=【解题步骤】

1、寻找一个定点；

2、分析所研究的动点到定点的距离；

3、说明其为定值。

【典型例题】

例2-1长为2a 的线段AB 的两端点B 和A 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

【解析】易知12

OM AB a =

=，故点M 的轨迹为以O 点为圆心，a 为半径的圆

即222

x y a +=