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高三复习专题12 超越函数解决策略
知识点：
y e x 与y ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常
重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1与ln x x 1导数放缩的重要工具之外，
另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略.
一.常见图像及其性质：
1.y xe x 性质：
2. x e x y 性质：
3.x e y x 性质：
4.y x ln x 性质：
5.x x y ln 性质：
6.x
x y ln 题组1.y xe x
1.已知函数x e a
x x f 1)(，（e R a ,是自然底数）
（1）求函数
f (x) 的极值；（2）当a 1的值时，若直线l : y kx 1与曲线y
f (x) 没有公共点，求k 的最大值. 提示（1）略（2）1
k 2.已知函数1ln )(x a
x x f ，a R
（1）若函数 f (x) 的最小值为0，求a 的值；（1a ）
（2）证明：e x (ln x 1) sin x 0 ．略
题组2x
e x
y x
2.已知函数 f x ae 2 x a 2e x x .
（1）讨论f x 的单调性
（2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围
题组3.x
e y x
1.已知函数x
e ax x
f 2)( a R ，x R .讨论)(x f 的零点个数.2.证明：e x ex ln x ex 2
3.设函数 f (x) ax 2 a ln x ，,1)
(x e e x x g 其中 a R ，（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）证明：当x 1 时，g(x) 0
（3）确定a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x) 在区间(1, ) 内恒成立．
题组4x
x y ln 1.设函数x
be x ae x f x x 1
ln )(，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(x e y . 证明：.
1)(x f 2.已知函数x a
x x x f ln )(.
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）证明：1)
1ln(11x x x .
x
ln 1.设,,x y z 为正数，且2
35x y z ，则( ) A ．235x
y z B ．523z x y C ．352y
z x D ．325y x z 2.已知函数11)1(ln )(x x b x a x f 的图像在处的切线方程032y x .
（1）求b a,的值.
（2）当0x 时，恒有
x x ln （3）证明：对任意的0M ,总存在正数0x ，使得0x x 时，恒有x M x ln .
x
1.已知已知是圆周率，e为自然对数的底数．
x x
x f
ln )
(
（1）求e3 ，3e ，e， e ，3， 3 这6个数中最大数和最小数；
（2）将e3 ，3e ，e， e ，3， 3 这6个数按时从小到大的顺序排序，并证明你的结论
2.设函数 f (x) ln x ax ，g(x) e x ax ，其中a为实数．
（1）若 f (x) 在(1,) 上是单调减函数，且g(x) 在(1,) 上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g(x) 在(1,) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．
《高三数学复习专题系列之培优课程》
1.导数预热
2.单调性含参分类讨论策略
3.极限与洛必达的应用
4.二阶导的目的及处理
5.极值问题
6.最值问题
7.切线、公切线常见套路
8.距离问题
9.零点和端点效应
10.隐零点处理方法
11.三次函数的五个题型
12.超越函数处理策略
13.任意存在性问题
14.导数中的构造函数
15.极值点偏移问题（1）（2）
16.放缩法证明不等式
17.数列不等式的证明。