数理方程5 贝塞尔函数.ppt

T ' a2T 0
T (t) Aea2t
2V 2V V 0 亥姆霍兹方程（Helmholtz）
x2 y2求V改用极坐标源自在极坐标系下，V的问题可以写成2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ，代入化简得
P " ( ) 1 P ' ( )
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2 F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
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5.2 贝塞尔方程的求解
数学物理方程
主讲：周澜
南京邮电大学 、理学院、应用物理系 E_mail: zhoul@ 答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室
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第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 稳恒状态热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。 ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.
m0
其中 c, am为常数。
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逐将项此求级导数, 解有代入原方程中可得到：
(c
2
y'
nx2
)a0 x
cak [c(c
k 1x)c2k1
n2
]a1
x
c1
k 0
要使上m式y2恒" [x成(c立，km0各)a2项kxcn的2 ]幂kam的c系a数km必21须xx全ccm为k20 0
由温度是有限的，得: P 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 特征值和特征函数.
P(R) P(0)
0
下的
做代换 r
, 并记
F
r
P
r
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2 P" P' 2 n2 P 0
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
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2 P " P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 " 0
2P" P' 2 P 0
本征值问题
" 0
2
本征值 n n2，n 0,1,2, 本征函数
yy
),
x2 y2 R2
u |t0 (x, y).
令 ux, y,t V x, yT t ，代入方程得
VT
'
a2
2V x2
2V y2
T
进而得
T ' Vxx Vyy
a 2T
V
0
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c=n时，根据am
am2 ， m(2n m)
a2
(1)1
a0 2(2n
2)
,
a4
(1)
a2 4(2n
4)
(1)2
2
4(2n
a0 2)(2n
4)
,
a6
(1)3
2
4
6(2n
a0 2)(2n
4)(2n
情形1 n不为整数
c=n时，根据am
am2 ， m(2n m)
由于a1=0, 则 a1 a3 a5 a7 a2m1 0
选取
a0
1
2n n 1
( p e x x p1dx) 0
由 p 1 p p 得（由分部积分公式可证）：
n mn m 1 n 2(n 1)(n 1) n m 1
6)
,
a2m (1)m [2 4
a0 2m][(2n 2)(2n 4) (2n 2m)]
(1)m 2m (1 23
a0 m)2m[(n 1)(n 2)
(n m)]
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a2m (1)m [2 4
代入方c 2程确n定2 a系0数 0ak c 和a0 0 c： n
c
1x2
2
dnd2x22ya1x0 ddyx
ax12
n02
yx 0
k0
[(ccmk )(2cnk2
a1)m(ac m2k
)0(
xk2
amn22,)3],amk (c n)
xcakm2 0 (2n m)
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5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上
温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
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问题归结为求解如下定解问题：
uut
|
a2 (u
x2 y2R2
xx
u 0,
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞
尔方程为 x2 d 2 y x dy x2 n2 yx 0 dx2 dx
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论n 0的情形.
方程有如下形式的级数解：
yx xc
a0 a1x
amxm
am xcm (a0 0)
a0 2m][(2n 2)(2n 4) (2n 2m)]
(1)m 2m (1 23
a0
1
2n n
1
a0 m)2m[(n 1)(n 2)
(n m)]
n mn m 1 n 2(n 1)(n 1) n m 1
因此
a2m
1m
1 2n2m m!
n
1 m
1
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0
a0 2
,
n an cos n bn sin n
n 1,2,
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将 n n 2 代入另一方程得:
2 P" P' 2 n2 P 0
由条件 V 0 R
得: PR 0
n 阶贝塞尔方程.