离散数学教学大纲-曹永昌

中国海洋大学本科生课程大纲

课程名称

离散数学

Discrete Mathematics

课程代码 0751********

课程属性 专业知识 课时/学分 48/3 课程性质 选修 实践学时

责任教师 曹永昌课外学时 96

(48×2) 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修

一、 课程介绍

1.课程描述：

离散数学是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般为有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。本课程针对低年级数学类专业学生开设，课程包括离散数学的若干基本内容：数理逻辑、集合论、代数系统、图论等。通过课程学习，要求学生掌握离散数学的若干基本理论和方法，进而提升对应用数学及计算机科学的理解。

2.设计思路：

本课程引导低年级数学类专业学生通过掌握离散数学的基本概念和基本原理，逐步完成从连续到离散的数学观念的转变，并能以现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。同时，培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，从而使学生具有良好的开拓专业理论的素质和应用所学知识分析、解决实际问题的能力。课程内容包括四个模块：数理逻辑、集合论、代数结构和图论。这四部分都是离散数学的重要组成部分。

数理逻辑是以数学方法来研究推理的规律。这里所指的数学方法，就是引进一套符号体系的方法，因此数理逻辑又称为符号逻辑，它是从量的方面来研究思维规律的。课程讲授的是数理逻辑最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑。

集合论是现代数学各个分支的基础。策墨罗关于集合论的公理系统，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，形成了公理化集合论和抽象集合论。课程主要讲授集合论的基础知识，包括集合运算、性质、序偶、关系等。

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代数系统是一类特殊的数学结构——由集合上定义若干个运算组成的系统。它在计算机科学中有着广泛的应用。课程主要讲授代数系统里最基本的一些概念，包括半群、群、循环群、置换群、环与域，以及一些基本的性质，如拉格朗日定理、同态与同构等；还有一类重要的代数系统——格，在此基础上介绍布尔代数，而布尔代数在计算机科学中有很多直接应用。

图论是发展十分迅速而又应用广泛的一门新兴学科。它在自然科学、工程领域、社会科学和经济问题都有着广泛的应用。课程仅介绍一些基本概念和定理以及一些典型的应用实例，包括欧拉图、哈密尔顿图、平面图、着色、树等。

2.课程与其他课程的关系：

先修课程：高等代数I、高等代数II；

并行课程：数据结构、数学模型等；

后置课程：《图论与网络优化》、《计算复杂性理论》。

二、课程目标

本课程的目标是使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，逐步完成从连续到离散的数学观念的转变，并能以现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。同时，培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，从而使学生具有良好的开拓专业理论的素质和应用所学知识分析、解决实际问题的能力。

到课程结束时，学生应能：

（1）理解命题逻辑和谓词逻辑，理解各个联结词的定义和关系，能够把命题公式化为等价的主析取范式或主合取范式。理解量词的定义，能够把谓词演算公式化为等价的前束范式。能够把自然语言翻译成数学语言，并给出推证过程；

（2）理解集合的基本概念、性质和运算，理解序偶和关系及其性质和运算，理解几个重要的关系：等价关系、相容关系、序关系以及它们的矩阵表示和图的表示；

（3）理解代数系统的基本概念，理解群的概念及基本性质，并会利用它们求解一些简单的现实问题；理解解代数系统之间的关系，以及环与域的基本概念；理解格和布尔代数的基本性质，会求出布尔表达式的析取范式；

（4）理解图论的一些基本概念，对图论的各个重要分支有些了解，如矩阵表示、哈密

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尔顿图、平面图、着色、树；理解一些基本的图论算法，包括染色的算法，最小生成树算法，最优树算法等。

三、学习要求

要完成所有的课程任务，学生必须：

（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。

（2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。

（3）课下认真学习，课堂上教师会留有一些问题要求学生在课下自己思考和解决。这些问题能加深对课程内容的理解、促进学生们课下的学习、并能引导对某些问题和理论的更深入探讨。

四、教学进度

序号

专题

或主题

计划

课时

主要内容概述

实验实践

内容

或课外练习等

1 命题逻辑 6 课程简介；命题，联结词，命题公式；真值表与等价公式，重言式与蕴含式，范式；推理理论。

2 谓词逻辑 6 谓词；量词，谓词公式；变元的约束，谓词演算的等价式与蕴含式；前束范式；谓词演算的推理理论。

3 集合与关系9 集合及其运算，包含排斥原理；序偶与笛卡尔积，关系及其表示，关系的性质，复合关系和逆关系；关系的闭包运算，集合的划分和覆盖；等价关系与等价类，相容关系，序关系。

4 代数结构9 代数系统，运算及其性质；半群，群与子群，阿贝尔群和循环群，置换群与伯恩赛德定理，陪集与拉格朗日定理；同态与同构，环与域。

5 格与布尔代数

6 格，分配格，有补格；布尔代数，布尔表达式。

6 图论9 图，路与回路，矩阵表示；欧拉图与汉密尔顿图；平面图，对偶图与着色，树与生成树，根数。

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