因式分解最牛最全的方法

因式分解

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a 2-b 2=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；

例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++，

则ABC ∆的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式

=)510()2(by ay bx ax +-+-

=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-

=)())((y x a y x y x ++-+

=))((a y x y x +-+

例4: 分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132+-x x

分析： 1 -2 3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

22672y xy x +- 2322+-xy y x

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

五、换元法

例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x

（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++

解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22

=))(1(a x ax -+

=)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=222)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672+=++

∴原式=2

)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=2

2)66(++x x