角的概念的推广与任意角的三角函数

4．正切函数 y＝tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z}， 不是 R.
5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的 确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况．
6．下列概念应注意区分 小于 90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 7．三角函数定义中，角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终 边位置有关，而与终边上点 P 的位置无关．
4．弧度制 把长度等于_半__径__长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位符号 是rad，通常略去不写．度与弧度的换算关系如下： 180°＝_π__rad,1°＝1π80rad,1rad＝(1π80)°. 5．弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 扇形弧长l＝___|α_|·_r_，扇形面积S＝__2_l_r_.
解析：如图：把单位圆在各象限的圆弧都 2 等分(2 是α2的 分母)，从∠AOB 开始逆时针依次标上 1、2、3、4，再循环一 遍，直到填满为止，则有标号 n 的就是α2所在象限数．
如 n＝4，α2是第二或第四象限的角．用同样的方法也可求 α3，α4所在象限．
上图左是求α3的方法，上图右是求α4的方法．
8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余 弦．
疑难误区 点拨警示 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用 角度制，两者不可混用． 2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定 相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360°的整数倍．解 三角方程时，一定要注意终边相同的角．
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6．任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x， y)，P到原点的距离是r(r＞0)，那么sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝ yx(x≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切．
7．正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
y＝sinα
R
y＝cosα
R
y＝tanα {α|α≠kπ＋π2，k∈Z}
思想方法技巧
一、构造思想 [例 1] 已知：α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα. 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形 和扇形的面积来证明．
证明：设角 α 与单位圆交于 P，则 MP＝sinα，AT＝tanα， 如图所示， PA 的长 l＝α.连结 AP.
△POA 的面积＝12OA·MP＝12sinα. 扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α. △OAT 的面积＝12OA·AT＝12tanα. ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即12sinα<12α<12tanα. ∴sinα<α<tanα.
夯实基础 稳固根基 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形，按_逆___时针方向旋转所形成的角叫 做正角，按__顺__时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条 射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
2．象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重 合．角的_终__边__落在第几象限，就说这个角是第几象限角． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
二、解题技巧 1．利用三角函数的定义解决问题，一般可在角的终边上 任取一点或取某个特殊点． 2．解简单三角不等式通常是利用单位圆中的三角函数线 求解． 3．利用单位圆判断 2α、3α、α2、α3所在象限问题．
[例 2] 已知角 α 是第 n(n＝1、2、3、4)象限的角，问α2是 第几象限的角？
(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y 轴的 负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可 以表示为{x|x＝2kπ＋32π，k∈Z}等．
3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一， 即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和 它对应．
一般地，要确定θn所在的象限，可以把各个象限都 n 等分， 从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4，则标号是几的区域，就是 θ 为第几象 限的角时，θn终边落在的区域，θn所在的象限就可直观地看出．
考点典例讲练
终边相同的角与角所在象限的判断 [例 1] 若 α 是第二象限角，则α3是第______象限角．
解析：解法 1：∵α 是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z， ∴3k·360°＋30°<α3<3k·360°＋60°，k∈Z. 当 k＝3n 时，有 n·360°＋30°<α3<n·360°＋60°，n∈Z，此 时α3是第一象限角． 当 k＝3n＋1 时，n·360°＋150°<α3<n·360°＋180°，n∈Z， ∴α3是第二象限角．
当 k＝3n＋2 时，n·360°＋270°<α2<n·360°＋300°，n∈Z， ∴α3是第四象限角．
综上所述知，α3为第一、二、四象限角．
解法 2：如图可知
α 为第二象限角时，α3位于第一、二、四象限． 答案：一、二或四
点评：准确判明角所在的象限，迅速进行角度和弧度的互化， 熟练掌握终边相同的角的表示是学习三角函数知识必备的基本 功．涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题，基本公式 180°＝πrad 在解题中起关键作用，若要确定一个绝对值较大的角所 在的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0＜α＜2π)(k∈Z)的形式，然 后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 π 的偶数倍， 而不是 π 的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角， 通常是化为不等式去求出对应的 k 值．另外，还要注意理解区间角 的概念，并能掌握好 α 角的取值范围与 2α、α2角的取值范围间的相 互关系．
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角的概念的推广与 任意角的三角函数
第四章 第一节
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法； 2．角度数与弧度数的换算； 3．三角函数的定义； 4．各三角函数值在每个象限的符号； 5．特殊角的三角函数值． 难点：1.三角函数定义及符号． 2．弧度制．