概率论与数理统计第2讲

例3:有外观相同的三极管6只,按电流放大系 有外观相同的三极管6 数分类, 只属甲类, 只属乙类. 数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种 方案抽取三极管两只: 方案抽取三极管两只:
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取下一只 (1).每次抽取一只,测试后放回, 每次抽取一只 放回抽样) (放回抽样); (2).每次抽取一只 测试后不放回, 每次抽取一只, (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三 极管中再抽取下一只(不放回抽样) 极管中再抽取下一只(不放回抽样).
因每个基本事件发生的可能性相同. 因每个基本事件发生的可能性相同.故第 一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 一次取一只甲类三极管共有4种可能取法, 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法. 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法. 取两只甲类三极管共有4 故,取两只甲类三极管共有4×4=16 种可能的取 =16.所以,P(A)=16/36=4/9 )=16/36=4/9; 法,即kA=16.所以,P( )=16/36=4/9; 2=4. 令E={抽到两只乙类三极管},则 kE=2×2=4. ={ P(E)=4/36=1/9 )=4/36=1/9; 故,P( )=4/36=1/9; 的对立事件, P(C)=1 P(E)=8/9; )=1因C是E的对立事件,所以 P( )=1-P( )=8/9; 是 的对立事件 互斥, 因B=A∪E, 且A与E互斥,得 = ∪ , 与 互斥 P(B)=P( )+P(E)=5/9 )=P(A)+P( )=5/9; P( )=P( )+P( )=5/9; D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9. 是 的对立事件, P( )=1-P( )=4/9. 的对立事件 )=1 )=4/9
15! /( 5!5!5! )
种等可能的装法. 种等可能的装法. 故,基本事件总数为
15! /( 5!5!5! )
把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种 把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种 3! 装法.这样的每一种装法取定以后,把其余12 装法.这样的每一种装法取定以后,把其余12 件正品再平均装入3个箱中,每箱装4 件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有
3×12!/(2!5!5!) 种. ×
即B包含 3×12!/(2!5!5!) 个基本事件.故, 包含 × 个基本事件.
12! 15! 6 P(B) = 3× ÷ = . 2!5!5! 5!5!5! 91
件产品中有K件次品 件正品, 例 6:设N件产品中有 件次品 , N-K件正品 设 件产品中有 件次品, - 件正品 K<N.现从 件中每次任意抽取 件产品, 检 件中每次任意抽取1件产品 .现从N件中每次任意抽取 件产品, 查其是正品还是次品后放回; 查其是正品还是次品后放回 ; 这样共抽检产 所取的n件产品中恰有 品n次.求事件 次 求事件A={所取的 件产品中恰有 件 所取的 件产品中恰有k件 次品}的概率 的概率, 次品 的概率,k = 0, 1, 2, …, n. . 解:假定 件产品有编号,从中任意取出一 假定N件产品有编号 假定 件产品有编号, 每次都有N种取法.由乘法原理, 次共 件,每次都有N种取法.由乘法原理,n次共 种取法, 基本事件总数为N 有Nn种取法,故,基本事件总数为 n. 当所取的n件产品中恰有 件次品时, 件产品中恰有k件次品时 当所取的 件产品中恰有 件次品时,由 于取到这k件次品次序之不同 因此, 件次品次序之不同, 于取到这 件次品次序之不同,因此,从次序 考虑共有Cnk种情况. 考虑共有 种情况.
II. 古典概率模型中事件概率求法 试验E的结果只有有限种, 因试验E的结果只有有限种,即样本点是 有限个: ω1,ω2 ,…,ωn . 有限个: ,…,ω Ω={ }∪{ω }∪…∪{ω Ω={ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}, {ωi}是基本事件,且各自发生的概率相等. 是基本事件,且各自发生的概率相等. 于是, 于是,有 1=P(Ω)=P({ }∪{ω }∪…∪{ω 1=P(Ω)=P({ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}) =P({ })+P({ω })+…+P({ω =P({ω1})+P({ω2 })+…+P({ωn}) P({ω =1,2,…,n. =n P({ωi}), i=1,2,…, . =1,2,…, 从而, P({ω 1/n, =1,2,…, =1,2,…,n. 从而, P({ωi})= 1/n,i=1,2,…, .
许多问题和上例有相同的数学模型. 许多问题和上例有相同的数学模型. 个人, 生日问题): 如(生日问题 : 某人群有 个人,他们中至少 生日问题 某人群有n个人 有两人生日相同的概率有多大? 有两人生日相同的概率有多大? 设每个人在一年(按365天计)内每天出 设每个人在一年( 365天计) 天计 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人, 个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n / 365n. 于是, 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为 1-A365n / 365n. P13,可看到表 . 打开书 P13,可看到表1.3.
(2).由于第一次抽测后不放回, (2).由于第一次抽测后不放回,所以第一次 由于第一次抽测后不放回 只中取一只, 共有6种可能的取法; 从6只中取一只, 共有6种可能的取法;第二次 是从剩余的5只中取一只, 种可能的取法. 是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法. 由乘法原理,知取两只三极管共有n= 6×5=30 由乘法原理,知取两只三极管共有 = 6× 种可能的取法. 种可能的取法. 由乘法原理, =4×3=12. 由乘法原理,得 kA=4×3=12.从而 P(A)=12/30=2/5 )=12/30=2/5; P( )=12/30=2/5; 类似地, 1=2,P(E)=2/30=1/15; 类似地,得kE=2×1=2,P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15; 是 的对立事件, P( )=1-P( )=14/15; 的对立事件 )=1 互斥, 由B=A∪E, 且A与E互斥,得 = ∪ , 与 互斥 P(B)=P( )+P(E)=7/15 )=P(A)+P( )=7/15; P( )=P( )+P( )=7/15; 的对立事件, P(D)=1 P(B)=8/15. )=1由D是B的对立事件, 得 P( )=1-P( )=8/15. 是 的对立事件
从上表可以看出: 40人左右的人群里 人左右的人群里, 从上表可以看出: 在40人左右的人群里, 十有八九会发生 两人或两人以上生日相同} 会发生{ 十有八九会发生{两人或两人以上生日相同} 这一事件. 这一事件.
公式
个物品分成k组 使第一组有n 把 n个物品分成 组,使第一组有 1个, 个物品分成 第二组有n ,…,第 组有n 第二组有 2个,…,第 k 组有 k个,且 n1+ n2+…+ k=n, +…+n , 则不同的分组方法数为
因此,若事件 个基本事件, 因此,若事件A 包含 k 个基本事件,即
A ={ωi }∪{ωi } ωi A) = ∑P(ωi ) = = . n 基本事件总数 r=1
k
r
III. 古典概模型举例 例1:掷一颗均匀骰子,设A表示所掷结果为 :掷一颗均匀骰子, 表示所掷结果为 四点或五点" 表示所掷结果为" "四点或五点",B表示所掷结果为"偶数 表示所掷结果为 点",求P(A)和P(B). 和 . =6, =2,得 P(A)=2/6=1/3 )=2/6=1/3; 解:由 n=6,kA=2,得 P( )=2/6=1/3; =6 =3, P(B)=3/6=1/2 )=3/6=1/2. 再由kB=3,得 P( )=3/6=1/2.
例4:n个球随机地放入 (N≥n)个盒子中,若 个球随机地放入N( ≥ )个盒子中, 个球随机地放入 盒子的容量无限制. 盒子的容量无限制.求"每个盒子中至多有一 的概率. 球"的概率. 每个球都可以放入N个盒子中的任何一 解: 因每个球都可以放入 个盒子中的任何一 每个球有N种放法.由乘法原理, 个,故每个球有N种放法.由乘法原理,将n个 个 球放入N个盒子中共有 Nn 种不同的放法. 球放入 个盒子中共有 种不同的放法. 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 每个盒子中至多有一个球的放法( 原理得): 原理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 种.故, - … P(A)= P( )= Ann / Nn .
n! n1 ! n 2 ! n k !
件产品中, 件正品, 例5:某公司生产的 件产品中,有12件正品 :某公司生产的15件产品中 件正品 3件次品.现将它们随机地分装在 个箱中 每 件次品. 个箱中, 件次品 现将它们随机地分装在3个箱中 箱装5件 每箱中恰有一件次品}, 箱装 件,设A={每箱中恰有一件次品 B={三 每箱中恰有一件次品 三 件次品都在同一箱中}. 件次品都在同一箱中 .求P(A)和P(B). 和 . 解:15件产品装入3个箱中,每箱装5件,有 15件产品装入3个箱中,每箱装5 件产品装入
12!/(4!4!4!) 种装法 ,
再由乘法原理, 再由乘法原理,可知装箱总方法数有
3!12! /(4!4!4! ) 种. 即A包含 3!12! /(4!4!4! )个基本事件. 包含 个基本事件.
从而, 从而,
12! 15! 25 P( A) = 3! ÷ = . 4!4!4! 5!5!5! 91
把三件次品装入同一箱中,共有3种装法. 把三件次品装入同一箱中,共有3种装法. 这样的每一种装法取定以后,再把其余12 12件正品 这样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品 装入3个箱中(一箱再装2 另两箱各装5 装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又 有 12!/(2!5!5!) 种装法. 种装法. 由乘法原理, 由乘法原理,知装箱方法共有
例2:货架上有外观相同的商品15件,其中12件 货架上有外观相同的商品15件 其中12件 15 12 来自产地甲, 3件来自地乙 现从15 件来自地乙. 15件商品中随 来自产地甲, 3件来自地乙.现从15件商品中随 机地抽取两件, 机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概 率. 解:从15件商品中取出2商品,共有C215= 105 15件商品中取出2商品,共有C 件商品中取出 种取法,且每种取法都是等可能的, =105. 种取法,且每种取法都是等可能的,故n=105. =105 令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, 66, ={ B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3, ={ 而事件: }=A∪ , 而事件: {两件商品来自同一产地}= ∪B, 且 A与B互斥, A∪B包含基本事件数66+3=69. 互斥, ∪ 包含基本事件数66+ 69. 包含基本事件数66 与 互斥 所求概率=69/105=23/35. 故,所求概率=69/105=23/35.
概率论与数理统计 第二讲
孙永平 浙江传媒学院电子信息学院
§1.3 古典概率模型
I. 什么是古典概率模型 如果试验 E 满足 (1).试验结果只有有限种 试验结果只有有限种; (1).试验结果只有有限种; (2).各种结果出现的可能性相同 各种结果出现的可能性相同. (2).各种结果出现的可能性相同. 则称这样的试验模型为等可能概率模型 等可能概率模型或 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古 典概率模型,简称等可能概型 古典概型. 等可能概型或 典概率模型,简称等可能概型或古典概型
设 A={抽到两只甲类三极管}, ={ B={抽到两只同类三极管}, ={ C={至少抽到一只甲类三极管}, ={ D={抽到两只不同类三极管}. ={ P(A),P( ),P(C),P( ),P(B),P( ),P(D) 求 P( ),P( ),P( ),P( ).
(1).由于每次抽测后放回 因此, 由于每次抽测后放回, 解: (1).由于每次抽测后放回, 因此,每次都 是在6只三极管中抽取. 是在6只三极管中抽取. 因第一次从6只中取一只,共有6 因第一次从6只中取一只,共有6种可能取 第二次还是从6只中取一只,还是有6 法;第二次还是从6只中取一只,还是有6种取 取两只三极管共有6 6=36种可能的取 法.故,取两只三极管共有6×6=36种可能的取 从而, =36 =36. 法.从而, n=36. 注意: 注意:这种分析方法使用的是中学学过的 "乘法原理". 乘法原理"