第四章第3课时圆周运动(20页,含解析)

第3课时圆周运动
【考纲解读丨1•掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系 2理解向心力公式并能应用； 了解 物体做离心运动的条件.
题组扣点*深度思考
玦期带点深入理解概态规律
基础知识题组
1.
［匀速圆
周运动的条件和性质］质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是
（ ）
A .速度的大小和方向都改变
B •匀速圆周运动是匀变速曲线运动 D .向心加速度大小不变，方向时刻改变 答案 CD
解析 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化， A 错；它的加速度大小不变，
但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动， B 错，D 对；由匀速圆周运动的条件可知，
C
对.
2. ［线速度和角速度的关系］甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步， 乙沿着半径为2R 的圆周 跑道
匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小 分别为 、 C02 和v 2，则 A . 31> 32, V i >V 2 B . 31< 32, V i <V 2 C . 31 = 32, V 1 <V 2 D . 31= 32, V 1 = V 2 答案 C
3. ［向心力来源的分析］如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在 匀速转动
的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服
（
A .受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B .所需的向心力由重力提供
C .所需的向心力由弹力提供
解析 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈,
V 1
=罕，V 2=琴，V 1<V 2,
由 V = r 3,
V 1 31
= R =
t ，
31 = 32，故C 正确.
”0 0 Q Q 0* □ 4 0^4 0<0
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日朋旳。

幻
D .转速越快，弹力越大，摩擦力也越大 答案 C
解析 衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用， A 错；衣服做圆周运动的向心力为
它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡， 故弹力提供向心力， 即F N = ms 2,转速越
大，F N 越大.C 对，B 、D 错. 4.
［对离心
现象的理解］下列关于离心现象的说法正确的是
（ ）
A •当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B •做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆 周运动
C •做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运
动
D •做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动 答案 C
解析 物体只要受到力，必有施力物体，但
“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离
心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故 A 选项错；做匀速圆周运动
的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故 B 、D 选项错，C 选项
对. 【考点梳理】
一、描述圆周运动的物理量
A§_ 2n v = A t =〒• 2n
°= A t —「
T = “, T = J.
v f 4
2 n
相互关系：(1)v =3： = T r = 2 n f.
v 2
2
4 n 2^2
(2)a = — = r w = w v = T^r = 4nf r.
向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量.
2
/ 2
2
v 4 n
a n = r w = 一= w v =匚玄r.
r T
1. 线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量.
2. 角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量.
3. 周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量.
4. 5. 向心力：作用效果产生向心加速度,
F n = ma n .
6.
v 2 2 4 n
2 2
(3)F n = ma n = m 〒=m ® r = mr 〒=mr4 n f . 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1匀速圆周运动
(1) 定义：线速度大小不变的圆周运动
(2) 性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动. (3) 质点做匀速圆周运动的条件
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心. 2.非匀速圆周运动
(1) 定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动. (2) 合力的作用
① 合力沿速度方向的分量 F t 产生切向加速度，F t = ma t ,它只改变速度的方向. ②
合力沿半径方向的分量 F n 产生向心加速度，F n = ma n ，它只改变速度的大小
三、离心运动
1•本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向. 2 .受力特点(如图2所示)
(1) 当 F = ms 2时，物体做匀速圆周运动； (2) 当F = 0时，物体沿切线方向飞出;
(3) 当F<mr Q 2时，物体逐渐远离圆心， F 为实际提供的向心力. ⑷当F>mr ®2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动.
规律方法题组
5. ［轻杆模型问题］如图3所示，长为r 的细杆一端固定一个质量为 m 的 小球，
使之绕另一端 0在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时 的速度v = ,gr/2，在这点时
(
)
B .小球对杆的压力是
mg
3
C .小球对杆的拉力是^mg
D .小球对杆的压力是 mg 答案 B
解析 设在最高点，小球受杆的支持力
F N ，方向向上，则由牛顿第二定律得：
mg — F N
v
2
1 1
=m-，得出F N = ^mg ，故杆对小球的支持力为"mg ，由牛顿第三定律知，小球对杆的压
A .小球对杆的拉力是
mg 2
图2
图3
1
力为qmg , B 正确.
6. ［轻绳模型问题］如图4所示，半径为 R 的光滑圆形轨道竖直固定 放
置，小球 m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径
R 不同的
圆形轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互 作用力.下列说法中正确的是
（ ）
A .半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B .半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C .半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D .半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 答案 AD
解析 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点
v o = .gR ,选项A 正确而B 错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为
【方法提炼】
1•轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即 不能到达最高点.
2.轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运 动的条件是：在最高点的速度
v > 0.
课堂探究•考点突破 丸徵后听異同採究规律
方法
考点一圆周运动中的运动学分析 1.对公式 v = ®r 勺理解
当r 一 定时， v 与3成正比 当3 定时， v 与r 成正比 当v 淀时， 3与r 成反比
mv o 2
mg
，即
v = 5gR ,则
2
mg = m^r ，则 v = . gr , v< gr 时，物体
最低点时的角速度 3=音= R
选项D 正确而C 错误.
【例1 如图5所示是一个玩具陀螺，a 、b 和c 是陀螺表面上的三个点.
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度 3稳定旋转时，下列表述正
确的是
（ ）
A . a 、 b 和c 三点的线速度大小相等
B . b 、c 两点的线速度始终相同
C . b 、c 两点的角速度比a 点的大 图5
D . b 、c 两点的加速度比a 点的大 解析 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度
3稳定旋转时，a 、b 和c 三点的角速度相同,
a 半径小，线速度要比
b 、
c 的小，A 、C 错；b 、c 两点的线速度大小始终相同，但方向 不相同，B 错；由a = w 2r 可得b 、c 两点的加速度比a 点的大，D 对. 答案 D
1•高中阶段所接触的传动主要有： ⑴皮带传动（线速度大小
相等）;（2）同轴传动（角速度相等）；（3）齿轮传动（线速度大小相等）;
（4）摩擦传动（线速度大小相等）.
2 .传动装置的特点：（1）同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角 速度相同；（2）皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带
（或齿轮）传动和不打
力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2. 向心力的确定
(1) 确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置. (2) 分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
【例2 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机
A 用长H = 50 m 的悬索(重力可忽略不计)系住
一质量m = 50 kg 的被困人员B ，直升机A 和被困人员B 以V 。

= 10 m/s 的速度一起沿水 平方向匀速运动，如图
7甲所示•某时刻开始收悬索将人吊起，在
5 s 时间内，A 、B 之
间的竖直距离以1 = 50—12(单位：m)的规律变化，取g = 10 m/s 2.
1
A 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为
C 点和
D 点分别位于小轮和大轮的边缘上•若在转动过 ( )
图6
T 乙
(1) 求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；
(2) 求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小；
(3) 直升机在t = 5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示•此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困
人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力.(sin 37 = 0.6, cos 37 = 0.8)
审题指导解答本题时应注意以下两点：
(1) 根据A、B间距I的表达式分析被困人员的运动规律；
⑵确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力.
解析(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y= H —l = 50—(50—tj = t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a = 2 m/s2 的匀加速直线运动
由牛顿第二定律可得F—mg = ma
解得悬索的拉力 F = m(g + a)= 600 N.
(2) 被困人员5 s末在竖直方向上的速度为v y= at= 10 m/s
合速度v =p v0+ v y = 10Q2 m/s
1 o
竖直方向的位移y = ?at2= 25 m
水平方向的位移x= v°t = 50 m
合位移 s = x 2 + y 2= 25 5 m. (3) t = 5 s 时悬索的长度
I ' = 50-y = 25 m ，旋转半径 r = I ' sin 37
v ' 2
由 mgtan 37 ° m —^ 解得 v ' = ^J2 m/s
此时被困人员B 的受力情况如图所示，由图可知 F TCOS 37 = mg
解得 F T
= m ^ 于 625 N.
cos 37 答案(1)600 N (2)10 2 m/s 25,5m
⑶m/s 625 N
3•分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源; 4.根据牛顿运动定律及向心力公式列方程. -----------------
【突破训练2】如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴
00' " .
转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和H ,筒内壁A 点 的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为 m 的小物块，求：
，J
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁
A 点受到的摩擦力和支持力的大小； 图8
⑵当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度.
解析(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为 由平衡条件有 F f = mgs in 0
F N = mgcos 0
答案 (1)
2gH
R
2.
5
圆心、半径等;
R 2+ H 2 R 2+ H 2
由图中几何关系有
cos 0=
R
-R2+ H2,
sin =
H
R2+ H2
故有F f =
mgH
-R2+ H2,F N
=
mgR
R2+ H2
⑵分析此时物块受力如图所示， 由牛顿第二定律有 mgta n 0= mr w 2.
H R
其中 tan 0= R , r =-.
可得3沖
R
1. 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临
界点.
2. 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存
在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态.
3. 若题目中有 “最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在
着极值，这些极值点也往往是临界状态. 【例3】如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为
I 的细线悬挂一质量
为m 的小球•圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向, 母线与轴线之间的夹角为 30?小球以速度v 绕圆锥体轴线在水平面
内做匀速圆周运动.
⑴因为v i <v o ，所以小球与锥面接触并产生支持力
F N ,此时小球受力如图乙所示.根据
学科素养培养
加强审题与建摟指导培养学科解邈能力
20.用极限法分析圆周运动的临界问题 物理思想方法
解析 拉力 如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力 F T 的作用，其合力F
应沿水平面指向轴线, F N = 0时，小球只受重力 mg 和线的
由几何关系知
,求线对小球的拉力;
⑴当 ，求线对小球的拉
力.
⑵当 V 2 =
O
2
F = mgta n 30
乙
牛顿第二定律有
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是
无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等 ），称为"绳（环）约束模型”，二是有支
撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等
），称为“杆（管道）约束模型”.
F T Sin 30 — F N COS 30
2
mv i lsin 30
F T COS 30 + F N Sin 30 — mg = 0
由③④两式解得F T = 1 + I'3哑-1.03mg
6
（2）因为V 2>V 0,所以小球与锥面脱离并不接触， 设此时线与竖直方向的夹角为 a 小球受
力如图丙所示.则 F T Sin
2
mv 2 lSin a
F T COS a — mg = 0 由⑤⑥两式解得F T = 2mg 答案 （1）1.03mg （2）2 mg
【突破训练3 如图10所示，用细绳一端系着的质量为
M = 0.6 kg 的物体
A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔
O 吊着质
量为m = 0.3 kg 的小球B , A 的重心到O 点的距离为0.2 m .若A 与转 盘间的最大静摩擦力为 F f = 2 N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中 答案 2.9 rad/s w
6.5 rad/s
解析 要使B 静止，A 必须相对于转盘静止 ——具有与转盘相同的角速度. A 需要的向 心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供.角速度取最大值时， A 有离心趋势，静摩擦力
指向圆心O ;角速度取最小值时，A 有向心趋势，静摩擦力背离圆心 O •设角速度3的最
大值为 31 , 最小值为 32 对于 B : F T = mg 对于 A : F T + F f = Mr 3 1 2 或 F T 一 F f = Mr 3 2 2
代入数据解得 31= 6.5 rad/s , 32= 2.9 rad/s
所以 2.9 rad/s w 3< 6.5 rad/s.
21.竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题
二物理模型旋
⑤
2
绳模型杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球均是有支撑的小球
过最高点的临界条
由mg = mv■得
由小球恰能做圆周运动得v临
件v
临=j gr=0
⑴当v= 0 时，F N = mg, F N为
支持力，沿半径背离圆心
(1)过最高点时，v>Vgr, F N
o
(2)当0<v<pg?时，一F N + mg
+ mg = =m7，绳、轨道对球产
2
=m-, F N背向圆心，随
r
v的
讨论分析生弹力F N增大而减小
⑵不能过最高点时，v^gr,
⑶当v^/gr时，F N=0
在到达最高点前小球已经脱离⑷当v^gr时，
F N +
mg：2
了圆轨道
=m^,
r F N指向圆心并随v的增大而增
大
［例 4 如图11所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上, 木板B
放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能
左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为
m.现给小球一水平向右的瞬时
过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足
A .最小值'J4gr
B .最大值一6gr
C .最小值'5gr
D .最大值7gr
2 解析要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg= m V^,由最低点到最
高点由机械能守恒得2mv min = mg 2r + ^mv02，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为
5gr;为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg,
2 1 1
满足3mg= m V^，从最低点到最高点由机械能守恒得：mv m2x= mg 2r + 2mv12，可得小
2(2012 •东17)图13是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装速度v,小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通图11
A
【突破训练4】一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 0为圆心， 使小球在竖直面内做半径为 R 的
圆周运动，如图12所示，则下列 说法正确的是
(
A •小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B .小球过最高点的最小速度是
.gR
C •小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D .小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A
解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零， A 对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零， B 错；随着速度增大,
杆对球的作用力可以增大也可以减小，
C 、
D 错.
高考模拟
［提能训练
走近高考 检测课堂該黑 提升解趙能力 3 1
A . N 小于滑块重力
B . N 大于滑块重力
C . N 越大表明h 越大
D . N 越大表明h 越小
答案 BC
解析设滑块质量为m ,在B 点所受支持力为F N ,圆弧半径为R,所需向心力为F.滑块 从高度h 处由静止下滑至B 点过程中，由机械能守恒定律有^mv B 2= mgh ,在B 点滑块所
2
需向心力由合外力提供， 得F N — mg = m V ^,由牛顿第三定律知，传感器示数N 等于F N , R 解得N = mg + 2：gh ,由此式知N>mg 且h 越大，N 越大.选项B 、C 正确.
R
一个压力传感器，其示数 N 表示该处所受压力的大小. 某滑块从斜面上不同
高度h 处由静止下滑，通过 B 时，下列表述正确的有 ( )
【高考题组丨
球在最低点瞬时速度的最大值为 ，
7gr. 答案 CD
图12
2. (2011安徽17)一般的曲线运动可以分成很多小段， 每小段都可以看成圆周运动的一部分,
即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替•如图
14甲所示，曲线上的 A 点的曲
率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就 叫做A 点的曲率圆，其半径 p 叫做A 点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成 a 角的方
向以速度V o 抛出，如图乙所示.则在其轨迹最高点
P 处的曲率半径是
S = V 0t
代入数据得V 0= 1 m/s
(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有
乙
图14
2
2 . 2
V 0 V 0 sin a
A.
B.
g
g
2 2
2 2
V 0 COs a V 0 COs a C.
D.
g
gsin a
答案 C
解析 物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的 P 点可看做该点对应的竖直平面内圆
周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知: 2
mv "日
mg = ，解得
p
V 2 (V o COS
a 2
p=—= -----------
2 2
_ V 0 COS a =g .
3. (2012福建理综20)如图15所示，置于圆形水平转台边缘的小物块 随转
台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始 做平抛运动.现测得转台半径 R = 0.5 m ，离水平地面的高度 H =
0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小 s = 0.4 m .设物块所受的
图15
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 g = 10 m/s 2. 求:
(1) 物块做平抛运动的初速度大小 V 0 ； (2) 物块与转台间的动摩擦因数 仏
答案(1)1 m/s (2)0.2
解析(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
在水平方向上有 由①②式解得
f m =(iN=卩 mg
2
由③④式得尸v 0
gR
代入数据得尸0.2 【模拟题组】
4•如图16所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，
P 、Q 为对应的轨道
最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能 过轨道最高点P ,则下列说法中正确的是
( )
A •轨道对小球不做功，小球通过 P 点的角速度小于通过 Q 点的角速度
B .轨道对小球做正功，小球通过 P 点的线速度大于通过 Q 点的线速度
C .小球通过P 点时的向心加速度大于通过 Q 点时的向心加速度
D .小球通过P 点时对轨道的压力大于通过 Q 点时对轨道的压力
答案 A
解析 由机械能守恒可知，P 点的速度小于 Q 点的速度，即V P <VQ ，且r p >g.由于轨道弹
所以轨道对小球不做功； 由V = r 3知，3=*由于V P <V Q
2
a n =；，可知 a nP <a nQ , C 错；而在 P 、
5.在光滑水平面上，一根原长为
I 的轻质弹簧的一端与竖直
轴0连接，另一端与质量为 m 的小球连接，如图17所示. 当小球以0为圆心做匀速圆周运动的速率为 V 1时，弹簧的 长度为1.5l ;当它以O 为圆心做匀速圆周运动的速率为 V 2 时，弹簧的长度为 2.01.求V 1与V 2的比值. 答案 3 : 2 2
解析设弹簧的劲度系数为 k ,当小球以V 1做匀速圆周运动时有: 当小球以v 2做匀速圆周运动时有:
2
k(2.0l - l) = m^
两式之比得：V 1 : V 2= 3 : 2詁2
2 V 2
2.对a = - = 3 r = 3V 的理解
在v 一定时，a 与r 成反比；在 3 —定时，a 与r 成正比. 特别提醒 在讨论v 、3、r 之间的关系时，应运用控制变量法.
Q 点时, mg + F N = 2
mv
r
ma n ，所以 F NP <F NQ , D 错.
f m = m V0
~R 力方向始终与小球的速度垂直,
而r p >r Q ，所以3P < w Q , A 对，B 错；向心加速度
2
kg -l)=略
图17
滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.
【突破训练1 如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为
小轮的半径为2r, B点在小轮上，到小轮中心的距离为
程中，皮带不打滑，则
A. A点与B点的线速度大小相等
B . A点与B点的角速度大小相等
C . A点与C点的线速度大小相等
D . A点与D点的向心加速度大小相等
答案CD
考点二圆周运动中的动力学分析
1. 向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个。