第2讲 房室模型

用MatLab 软件编制程序如下:
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function f=fun1(t,x); r1 =1; r2 =0.5; r3 =0.6; lambda1 =0.1; lambda2 =0.02; lambda3=0.06; mu=0.1; f=[ x(1)*(r1 - lambda1*x(2)); x(2)*(- r2 + lambda2*x(1) - mu*x(3)); x(3)*(- r3 + lambda3*x(2)) ]; [t, x] = ode45 ('fun1', [0, 20], [100, 40, 6]); subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1),'- ',t,x(:,2),'- .',t,x(:,3),':') legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)') grid subplot(1,2,2) plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) grid
由较大的 ti , c1 (ti ) 用最小二乘法定A,
t t ~ c1 (t ) c1 (t ) Ae Be
由较小的
~ ti , c1 (ti )用最小二乘法定B,
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再估计参数: k12 , k21, k13
t , c1 , c2 0
D0 k13V1 0 c1 (t )dt
dx1 x1 ( r1 1 x2 ) dt
比例系数λ1 反映哺乳动物掠取植物的能力。
(1)
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哺乳动物离开植物无法生存, 设它独自存在时死亡率 为r2, 即 x2(t) = -r2 x2, 而植物的存在又为哺乳动物提供了 食物, 植物的存在相当于使哺乳动物的死亡率降低, 且促使 哺乳动物增长, 设这种作用与植物的数量成正比, 则有:
(6)
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(5)
记植物、哺乳动物、爬行动物的初始数量分别为: x1(0)=x10 , x2(0)=x20 , x3(0)=x30
2. 模型的求解
微分方程组(5) 没有解析解, 可利用MatLab 求微分
方程组(5) 的数值解, 通过对数值结果和图形的观察, 猜测 它的解析解的构造; 为求微分方程组(5) 及初始条件( 6) 的数值解x1(t), x2(t), x3(t) ( 并作图) , 设 r1=1, r2=0.5, r3=0.6, λ1=0.1, λ2 = 0.02, λ3= 0.06, μ= 0.1, x10= 100, x20= 40, x30= 6,
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模型假设
• 中心室(1)和周边室(2),容积不变
• 药物从体外进入中心室，在二室间 相互转移,从中心室排出体外
• 药物在房室间转移速率及向体外排除速率， 与该室血药浓度成正比
模型建立
xi (t ) ~ 药量 ci (t ) ~ 浓度 Vi ~ 容积 i 1,2
f 0 (t )
给药
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
注： 建立房室模型的目的是研究体内血药浓度的
变化过程，确定诸如转移和排除速率系数等参数，
为制定给药方案和计量大小提供依据。建模过程是 将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定 方程的形式，再由测试数据估计参数。 可根据需要选用一室模型、二室模型或多室
模型，甚至非线性房室模型。
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二、三种群Volterra 模型
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2.恒速静脉滴注
0 t T 药物以速率k0进入中心室
f 0 (t ) V2 1 (t ) (k12 k13 )c1 k 21c2 c V1 V1 V c f 0 (t ) k0 , c1 (0) 2 (t ) 1 k12 c1 k 21c2 V2
dx2 x2 ( r2 2 x1 ) dt
比例系数λ2 反映植物对哺乳动物的供养能力。
(2)
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哺乳动物又为爬行动物提供了食物, 爬行动物的存 在使哺乳动物的增长率减小, 设减小的程度与爬行动物 的数量成正比, 于是(2) 式右端应减去爬行动物对哺乳 动物增长的阻滞作用, 于是哺乳动物的模型应为:
k12
k 21
周边室 c2 (t ), x2 (t )
V2
k13
排除
1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21 x2 f 0 (t ) x
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f 0 ~ 给药速率 5
模型建立 xi (t ) Vi ci (t ), i 1,2 f 0 (t ) V2 c ( t ) ( k k ) c k c 1 12 13 1 21 2 V1 V1 V1 线性常系数 c 2 (t ) k12 c1 k 21c2 非齐次方程 V2
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反问题：由各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 确定参数k12, k21, k13, V1,V2
先估计参数：A, B, , t=0快速静脉注射D0 ,在ti (i=1,2,n)测得c1(ti)
D0 c1 (t ) [( k 21 )e t ( k 21 )e t ] V1 ( ) D0 (k 21 ) t t c ( t ) e Ae 设 , t充分大 1 V1 ( )
dx3 x3 ( r3 3 x2 ) dt
(4)
比例系数λ3 反映哺乳动物对爬行动物的供养能力。
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方程(1) 、(3) 、(4) 构成植物、哺乳动物、爬行动物
三者依存、制约现象的数学模型, 即

dx1 x1 ( r1 1 x2 ) dt dx2 x2 ( r2 2 x1 x3 ) dt dx3 x3 ( r3 3 x2 ) dt
k0 1t
f 0 k01 x0
0 (t ) k01 x0 x x0 (0) D0
x0 (t ) D0 e
k0 1t
t
f 0 (t ) k01 x0 (t ) D0 k01e
Be
t
c1 (t ) Ae
Ee
k0 1t
c1 (0) 0, c2 (0) 0 A, B, E
D0 c1 (0) A B V1

进入中心室的药物全部排除
A B D0 k13V1
( A B ) k13 B A
k 21
k12 k21 k13 k21k13

k13
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k12 k13 k21
对应齐次 方程通解
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
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几种常见的给药方式
1.快速静脉注射
给药速率 f0(t) 和初始条件
t=0 瞬时注射剂量D0 的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1
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1. 模型的建立
当植物、哺乳动物、爬行动物在一个自然环境中生存时, 把植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作x1(t), x2(t), x3(t) 。若不考虑自然资源对植物的限制, 植物独立生存时以 指数规律增长, 相对增长率为r1, 即x(t)=r1x1, 而哺乳动物的存 在使植物的增长率减小, 设减小的程度与捕食者数量成正比, 于是植物的模型为:
dx2 x2 ( r2 2 x1 x3 ) dt
(3)
比例系数μ反映爬行动物掠取哺乳动物的能力。
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爬行动物离开哺乳动物无法生存, 设它独自存在时死
亡率为r3, 即x3(t)= - r3 x3, 而哺乳动物的存在又为爬行动 物提供了食物, 相当于使爬行动物的死亡率降低, 且促使 爬行动物的增长, 于是爬行动物的模型为:
单房室模型——Malthus模型与Logistic模型 二房室模型——捕食（P-P）模型 三房室模型——SIR模型： 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记 t 时刻的三类人数 为s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di dt ksi li dr li dt s (t ) i (t ) r (t ) n 1 i( 0 ) i , r (0) 0 o
第二讲 房室模型
一、药物在体内的分布与排除（二室模型） 二、三种群Volterra 模型（三室模型） 三、SARS模型
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房室模型
药物动力学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接受 或消除药物的速率相似，即可归入一个房室。房室模型仅是进 行药动学分析的一种抽象概念，并不一定代表某一特定解剖部 位。 把机体划分为一个或多个独立单元，可对药物在体内吸收、 分布、消除的特性作出模式图，以建立数学模型，揭示其动态 变化规律。 1. 假设机体给药后，药物立即在全身各部位达到动态平衡， 这时把整个机体视为一个房室，称为一室模型。 2. 假设药物进入机体后，瞬时就可在血液供应丰富的组织 （如血液、肝、肾等）分布达到动态平衡， 然后再在血液供应 较少或血流较慢的组织（如脂肪、皮肤、骨骼等）分布达到动 态平衡， 此时可把这些组织分别称为中央室和周边室，即二室 模型。 2
t >T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零
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3.口服或肌肉注射
相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室
吸收室
x0 (t )
中心室
吸收室药量x0(t)
f 0 (t ) V2 c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V1 V1 V c 2 (t ) 1 k12 c1 k 21c2 V2
susceptible
(1) (2) (3)
k
infective
l
recovered3Fra bibliotek一、药物在体内的分布与排除（二室模型）
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药 浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四 肢、肌肉等)
自然环境中的某一种生物的群体, 生态学上称为种群。 如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存, 那么它们 之间就要存在着或是相互竞争, 或是相互依存, 或是弱肉强 食( 食饵与捕食者) 的关系, 自然界中不同种群之间还存在 着一种非常有趣的既有依存、又有制约的生存方式: 种群甲 靠丰富的自然资源生长, 而种群乙靠捕食种群甲为生, 种群 丙又靠捕食种群乙为生, 类似的现象还存在很多。 假设: 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物,又 长着茂盛的植物, 爬行动物以哺乳动物为食, 哺乳动物又依 赖植物生存, 由此建立描述三种群数量变化规律的微分方程 模型——三房室模型。
0, c2 (0) 0
k0 t t 0t T c1 (t ) A1e B1e k V , 13 1 k12 k 0 t t , 0t T c2 (t ) A2 e B2 e k 21 k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k 21V2 k 21V2
D0 c1 (t ) [( k 21 )e t ( k 21 )e t ] V1 ( ) k12 k21 k13 D0 k12 t t c2 (t ) (e e ) V2 ( ) k21k13
f 0 (t ) V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 V 1 1 V1 c 2 (t ) k12 c1 k 21c2 V2 D0 f ( t ) 0 , c ( 0 ) , c2 (0) 0 初始条件： 0 1 V1