蒙特卡罗方法(Ⅰ)讲解
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基本思想： 针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，
或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使 某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统 计量的统计实验方法或计算机随机模拟方法。
理论依据： 大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值 中心极限定理：置信水平下的统计误差
两个例子： Buffen投针实验求π 射击问题（打靶游戏）
•马文淦， 《计算物理学》 （中国科技大学出版社，2001年）
•丁泽军，《计算物理》 （2011年）
计算机模拟和蒙特卡罗方法
物理学研究方法
•格林函数
•重整化群（NRG，
DMRG，FRG） 理论方法
实验方法
•微扰法
•变分法
•转移矩阵法
•精确对角化方法
模拟方法
•DMFT等
•分子束外延 •电化学方法
•ARPES
E( cos ) 2 M 2N
N
M
N→∞大数定理
§1§蒙1特蒙卡特罗卡方洛法方概法述的--基-基本本思思想想
许多人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
3.1596
史密思(Smith) 1855 3204
3.1553
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
Buffon投针实验(1777年）求π:
１．平行线间距＝针长＝s
２．针与平行线垂直方向夹角为α，
则相交概率为：
３．各向同性随机投针，则夹角α在[０,π]均匀分布，所以：
E( cos ) cos f ( )d 2
0
４．设投针N次，相交次数为M，则相交概率的期望值：
得到了一次成绩ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得
到该运动员射击成绩的近似值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
§1 蒙特卡罗方法概述---大数定理
收敛性:大数定理
蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN的算术
平均值，作为所求解问题的近似值 ：
X N
1 N
N i 1
Xi
由大数定律，如果X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望
•STM •中子散射 •x射线衍射等
•第一性原理 •分子动力学 •蒙特卡罗方法（KMC,QMC,PMC） •耗散动力学等。
目录
第一节 蒙特卡罗方法概述 第二节 随机数与随机变量抽样 第三节 量子蒙特卡罗方法（1） 第四节 量子蒙特卡罗方法（2） 第五节 蒙特卡罗方法的应用实例
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
g 0 g(r) f (r)dr
２.用概率语言，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即
g Eg(r)
３.假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1， r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
XN
E(X )
N
近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为：O(N-1/2)
§1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理
误差ε定义为
N
两点说明：
置信度α是一一对应的，查标准正 态分布表，可以确定。
几个常用的α与λα 的数值：
α
0.50.05来自0.003λα
0.6745
1.96
福克斯(Fox) 1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1415929
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
射击问题（打靶游戏）
1.设r表示射击运动员弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的
得分数（环数），f(r)为该运动员弹着点的分布密度函数，则该运动 员的射击成绩为：
零的方差σ2 ，即
0 2 [x E(X )]2 f (x)dx
f(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式
P
XN
E(X )
N
2 et2 / 2dt 1 2 0
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式
值（E(X)<∞），则
lim P
N
XN
E( X ) 1
即随机变量X的简单子样的算术平均值 X 大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
N
，当子样数Ｎ充分
§1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理
中心极限定理给出了MC方法的近似值与真值的误差问题。
如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非
（1）增大试验次数N。在σ固定的情况下，要把精 度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。 因此，单纯增大N不是一个有效的办法。
N
（2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这 相当于N增大四倍的效果。
效率:
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样 的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。
代表了该运动员的成绩
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
４.用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望<g>的估计值。
例如，设射击运动员的弹着点分布为
环数 7
8
9
10
概率 0.1 0.1 0.3 0.5
用计算机作随机试验（射击）：选取一个
随机数ξ，按右边所列方法判断得到成绩。
这样，就进行了一次随机试验（射击），
3
(1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。
(2)误差中的方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所 求量的同时，可计算出估计值。
1 N
N i1
X
2 i
(
1 N
N i1
Xi )2
§1 蒙特卡洛方法该概述---减小误差
减小误差的各种技巧:
当给定置信度α（λα）后，误差ε由σ和N决定。
蒙特卡罗方法
主要参考书目
•D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications (Elsevier, 1996)
•D.P. Landau and K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 2000)
或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使 某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统 计量的统计实验方法或计算机随机模拟方法。
理论依据： 大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值 中心极限定理：置信水平下的统计误差
两个例子： Buffen投针实验求π 射击问题（打靶游戏）
•马文淦， 《计算物理学》 （中国科技大学出版社，2001年）
•丁泽军，《计算物理》 （2011年）
计算机模拟和蒙特卡罗方法
物理学研究方法
•格林函数
•重整化群（NRG，
DMRG，FRG） 理论方法
实验方法
•微扰法
•变分法
•转移矩阵法
•精确对角化方法
模拟方法
•DMFT等
•分子束外延 •电化学方法
•ARPES
E( cos ) 2 M 2N
N
M
N→∞大数定理
§1§蒙1特蒙卡特罗卡方洛法方概法述的--基-基本本思思想想
许多人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
3.1596
史密思(Smith) 1855 3204
3.1553
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
Buffon投针实验(1777年）求π:
１．平行线间距＝针长＝s
２．针与平行线垂直方向夹角为α，
则相交概率为：
３．各向同性随机投针，则夹角α在[０,π]均匀分布，所以：
E( cos ) cos f ( )d 2
0
４．设投针N次，相交次数为M，则相交概率的期望值：
得到了一次成绩ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得
到该运动员射击成绩的近似值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
§1 蒙特卡罗方法概述---大数定理
收敛性:大数定理
蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN的算术
平均值，作为所求解问题的近似值 ：
X N
1 N
N i 1
Xi
由大数定律，如果X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望
•STM •中子散射 •x射线衍射等
•第一性原理 •分子动力学 •蒙特卡罗方法（KMC,QMC,PMC） •耗散动力学等。
目录
第一节 蒙特卡罗方法概述 第二节 随机数与随机变量抽样 第三节 量子蒙特卡罗方法（1） 第四节 量子蒙特卡罗方法（2） 第五节 蒙特卡罗方法的应用实例
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
g 0 g(r) f (r)dr
２.用概率语言，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即
g Eg(r)
３.假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1， r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
XN
E(X )
N
近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为：O(N-1/2)
§1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理
误差ε定义为
N
两点说明：
置信度α是一一对应的，查标准正 态分布表，可以确定。
几个常用的α与λα 的数值：
α
0.50.05来自0.003λα
0.6745
1.96
福克斯(Fox) 1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1415929
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
射击问题（打靶游戏）
1.设r表示射击运动员弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的
得分数（环数），f(r)为该运动员弹着点的分布密度函数，则该运动 员的射击成绩为：
零的方差σ2 ，即
0 2 [x E(X )]2 f (x)dx
f(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式
P
XN
E(X )
N
2 et2 / 2dt 1 2 0
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式
值（E(X)<∞），则
lim P
N
XN
E( X ) 1
即随机变量X的简单子样的算术平均值 X 大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
N
，当子样数Ｎ充分
§1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理
中心极限定理给出了MC方法的近似值与真值的误差问题。
如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非
（1）增大试验次数N。在σ固定的情况下，要把精 度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。 因此，单纯增大N不是一个有效的办法。
N
（2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这 相当于N增大四倍的效果。
效率:
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样 的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。
代表了该运动员的成绩
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
４.用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望<g>的估计值。
例如，设射击运动员的弹着点分布为
环数 7
8
9
10
概率 0.1 0.1 0.3 0.5
用计算机作随机试验（射击）：选取一个
随机数ξ，按右边所列方法判断得到成绩。
这样，就进行了一次随机试验（射击），
3
(1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。
(2)误差中的方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所 求量的同时，可计算出估计值。
1 N
N i1
X
2 i
(
1 N
N i1
Xi )2
§1 蒙特卡洛方法该概述---减小误差
减小误差的各种技巧:
当给定置信度α（λα）后，误差ε由σ和N决定。
蒙特卡罗方法
主要参考书目
•D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications (Elsevier, 1996)
•D.P. Landau and K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 2000)