高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章 函数与极限

一、要求：

函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限，

间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用.

二、练习：

1.函数 2112

++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±；

2.函数y =是由： 复合而成的；答：2ln ,,sin y u v v w w x ====；

3. 设 ,1122x

x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+ 则()f x = ；答：22x -；

4.已知)10f x x x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭

，则()f x = ；

答： ()11f x x x x

==+()0x ≠；

5.11lim 1n x x x →--= ，答：n ； !lim 1

n n n →∞+= ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(),0,0

x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )；

A.(3)x x -，

B.()6(3)x x --，

C.()6(3)x x +-，

D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin

n n n

→∞=（ B ）； A.0 ，B.1， C.+∞，D.-∞； 9.1x =是函数221()32

x f x x x -=-+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点；

10. |sin |()cos x f x x xe -=是（ A ）；

A.奇函数，

B.周期函数，

C.有界函数，

D.单调函数；

11.下列正确的是( A ) A.1lim

sin 0x x x →∞=，B.1lim sin 0x x x →∞=， C.01lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x

→∞=； 12. 1x =是函数()1,13,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩的（ D ）

A 、连续点

B 、可去间断点

C 、第二类间断点

D 、跳跃间断点

13. 函数221

x

x y =+的反函数为（ A ） A.()()2log 0,11x y x x =∈-，B. 2log 1y x y =-,C. 2log 1x y x =-,D. ln 1x y x

=- 14. 计算()221lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭

；()2lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（3）30tan sin lim sin 2x x x x →-； （4）21/30(1)1lim cos 1x x x →+--；（5）()231lim 3cos x x x x x →∞+++；（6

）4x →； (7) ()()20ln ln 2ln lim x a x a x a x →++--；

(8)1x x ；

(9) 01lim ln x x →

(10) 1x x . 解：()22121111lim lim lim 11111111x x x x x x x x x e e x x x -→∞→∞→∞⎛⎫==== ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

； ()12lim lim 11x x x x x e x x -→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

； （3）()23330001tan 1cos tan sin 12lim lim lim sin 28816

x x x x x x x x x x x x →→→⋅--====； （4）221/3002

1(1)123lim lim 1cos 132

x x x x x x →→+-==---； （5）()223311lim 0,23cos 4,

lim 3cos 0x x x x x x x

x x x

→∞→∞++

=≤+≤∴+

=++； （6

）(

)4442423x x x x →→→-===；

(7) ()()2222222222

000ln 1ln ln 2ln 11lim lim limln 1a x x x x x a x a x a a x x x a a a -→→→⎛⎫- ⎪++--⎛⎫⎝⎭==--=- ⎪⎝⎭；

或 原式222

0ln 1lim x x a x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=222201lim x x a x a →-==-

(8) 111sin lim sin 200x x x x x x x x x

→∞===⋅=； 或

原式＝11arctan x x x x x

→∞=＝0

(9) ()()()()110001111lim lim ln 1ln 1lim ln 1ln 1122x x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤=+--=++-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

； 或

0000011111112112112lim ln lim ln lim ln 1lim lim 1111222

21111x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫+ ⎪==+=== ⎪- ⎪---⎝

⎭

(10)110x x x x x ===. 15.已知21lim 31

x x ax b x →++=-，求,a b 的值； 解：设()()21x ax b x x c ++=-+，则()()11lim 13,21x x x c c c x →-+=+==-， 所以11,2a c b c =-==-=-.

16. 已知232lim 43

x x x k x →-+=-，求k 的值. 解：()2332lim 4,lim 303

x x x x k x x →→-+=-=-，()23lim 230,3x x x k k k →∴-+=+==-. 17.证明方程3

320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根. 证明 设()3

32f x x x =++，则()f x 在闭区间[]1,1-上连续，又()()113220,113260,f f -=--+=-<=++=>

由零点定理，至少存在一点()1,1,ξ∈-使()0f

ξ=；即()3320f ξξξ=++=， 即方程3320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根.