新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件

k 0
k 0
n1
n1
2 A1 E(Z 2 ) x:n
q 2(k 1) kx
e2 (k 1) k px qxk
k=0
k=0
Var(Z) E(Z 2) [E(Z)]2 2A1 (A1 )2
x:n
x:n
2. n 年期生存保险
0 , T n ,
Z n , T n
A1 x:n
E(Z) n n px
对等
2、从保险人角度看
纯保费（购买） 保险利益（保险金）
收入
- - -毛- 保费
附加保费
费用附加 利润附加 安全附加
支-出- - -
3、从保险人角度看,收入与支出的不确定性
收入的不确定 ---- 缴费年限、是否退保、缴费总额等均不确定。
支出的不确定 ---- 保险金是否给付、给付时间、费用支出等均不确定。
Var(Z ) 2Ax (Ax )2
3、延期 m 年的 n 年定期死亡保险
Z=T bT
0
T
, ,
T m , T mn mT mn
A1
m x:n
E(Z)
mn t
m
fT (t)dt
A1 x:mn
A1 x:m
4、延期 m 年的终身寿险
Z=T bT
0
T
, ,
T m T m
m Ax E(Z )
k=m
n1
mk 1 mk qx m m px n n pxm k=0
n1
m m px k1 k qxm m m px n n pxm k=0
n1
m m px (
k 1 k
qxm
n
n
pxm )
A1 x:m
A xm:n
k=0
第二节 连续型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***
n1
A E(Z ) x:n
k 1 k
qx
n n
px
A1 x:n
A1 x:n
k=0
5、延期m 年的n 年定期死亡保险
Z= K 1bK 1
K 1
0
, ,
K m ,m 1 , 其它
m, n
1
m n 1
A1
m x:n
E(Z)
q k 1 kx
A1 x:mn
A1 x:m
k m
n
0
x
s(x) Pr(X x) ， s(x) e0 sds ，
t px 1 t qx ， fT (t) t pxxt ，
t qx P rT[ x( )t ，]
x
s( x) s(x)
第一节 离散型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后 死亡， K(x) [T (x)] ，在死亡的保单年度末给付bK 1 ，则给 付的现值随机变量为： Z K 1bK 1 （离散型随机变量）。 （以下讨论中总假设 bK 1 1，利率不变：1 i e ）
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后死亡，
死亡后立即给付 bT ，则给付的现值随机变量为：Z T bT（连
续型随机变量）。
（以下讨论中总假设 bT 1，利率不变：1 i e ）
1、 n 年定期死亡保险
Z= T bT
T
0
, T n , T n
A1 x:n
E(Z)
n
t
0
fT
(t)dt
n 0
e t
t
pxxt dt
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
en 2 t
0
fT
(t)dt
(
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A1 x:n
)2
2 A1 x:n
( A1 )2 x:n
2、终身寿险
Z=TbT T , T 0
Ax E(Z)
t
0
fT
(t)dt
x 0
e t
t
px xt dt
m
m+n
易证：
A1
m x:n
A1 x:m
A1 xm:n
A1 x:mn
A1 x:m
A m x:n
A1 x:m
A xm:n
m
A1 x:n
m
A1 x:n
A x:mn
A1 x:m
(x)
(xm) n
0
m
m+n
例 1.
证明：
m
A x:n
A1 x:m
A xm:n
事实上：
m n 1
A m x:n
k 1 k qx mn mn px
5、精算现值（Actuarial Present Value）的定义
？ 将保险人未来随机给付“现值”的数学期望，称为精算现值。依据收支相等
（或等价交换）的原则，又将精算现值称为趸缴纯保费。 （指签单时刻）
6、涉及的变量及生命函数：
X ：新生儿寿命， T (x) ： (x) 的余命， K (x) ： (x) 的取整余命，
第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
★ 掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。 ★ 掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。 ★ 掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
*** 寿险定价的基础 ***
1、寿险合同约定
投保人的义务 保险人的义务
-------
缴纳保费 发生保险事故时给付受益人保险金
A x:n
E(Z)
nt
0
fT (t)dt n n px
A1 x:n
K 1
?
0
(x)
1
T (x)
K
K 1
n 1、 年定期死亡保险的精算现值 A1 ：即保险价格（纯保费) x:n
Z= K 1bK 1
K 1
0
, ,
K 0 ,1, 2 T n
n 1（, 包含K T n情况）
n1
n1
A1 E(Z ) x:n
k 1 k
qx
e (k 1) k px qxk
n1
0
n
3、终身寿险
Z= K 1bK 1 K 1 , K 0 ,1 , 2
x1
Ax E(Z )
k 1 k
qx
k 1 k qx
k 0
k 0
Var(Z ) 2 Ax ( Ax )2
4、 n 年期两全保险
Z=
b K 1 K 1
K 1
n
, ,
K 0 ,1, 2 T n
n 1,
x t
m
fT
(t)dt
Ax
A1 x:m
5、 n 年定期生存保险
Z=T bT
0
n
, ,
T n T n
A1 x:n
E(Z) n n px
Var(Z) 2n n px
(n n px )2
2n n px n qx
A 2 1 x:n
(
A1 x:n
)2
6、 n 年定期两全保险
Z=T bT
T n
, T n , T n
4、随机给付模型的主要变量
寿命随机变量 利率随机变量
---- 给付发生与寿命有关， ---- 货币的时间价值因素。
?
bT
0
(x)
T (x)
保险实务中，寿命分布由生命表给出，预定利率由投资收 益率、精算标准确定。
本书只讨论半随机模型，即假定被保险人的寿命是随机 的，预定利率是固定不变的。
目前，随机利率下的寿险定价研究比较时髦和实用。