湖南省平江第一中学2021届高三数学上学期月考试题
2021年高三数学月考试卷(三)理(含解析)湘教版
2021年高三数学月考试卷（三）理（含解析）湘教版一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． 2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，解答：解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．2．在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±2解答：解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．3．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A． 2097 B．2112 C．xx D．2090解答：解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=xx，得a=212，是自然数．故选C．点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解答：解：∵2a＞2b等价于a＞b，当0≥a＞b或a＞0≥b时，lga＞lgb不成立；∴充分性不成立；又∵lga＞lgb等价于a＞b＞0，能得出2a＞2b；∴必要性成立；∴“2a＞2b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选A点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．8．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．解答：解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EF，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选D．点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A． 2 B．4 C．6 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，则===+为实数，得4m+6=0，则实数m的值为﹣．故答案为：点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=所求球的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：令t=2y，把原问题转化为在条件下求x2+t2的最小值，作出可行域后由点到直线的距离公式求出原点到直线2x+t=2的距离，则答案可求．解答：解：∵x2+4y2=x2+（2y）2，令t=2y，则问题转化为在条件下求x2+t2的最小值．作可行域如图，，则x2+t2≥．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列{a n}的通项公式．解答：解：∵S n+1=2S n+1，∴S n+1+1=2（S n+1），∵S1+1=a1+1=3≠0，∴．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3•2n﹣1，∴S n=3•2n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），n=1时，a1=2不满足上式，∴．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：①点P是抛物线y2=4x的焦点；②•=﹣2；③过A、B、O三点的圆的半径为；④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；⑤若=λ，则λ=3．在这五个命题中，正确的是①③④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=absinC=；④由△ABO的面积，即可判断；⑤=λ，即=，由A，F，B的坐标，即可得到．解答：解：由图可得A（3，2），B（，﹣）①设P（a，0），过P的直线为y=k（x﹣a），联立抛物线方程消去y，得k2x2﹣（2ak2+4）x+k2a2=0，则3×=a2，a=1，即P（1，0）即为焦点F，故①对；②=（3，2）•（，﹣）=3×﹣2×=﹣3，故②错；③S△ABO=×1×（2）===，R=，故③对；④S△ABO=＞，＜，故④对；⑤若=λ，即=，λ==3，故⑤对．故答案为：①③④⑤点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：（本小题满分15分）（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（1）由圆N：（x+2）2+y2=8，知圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B （x2，y2），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知，解得直线l的方程为y=x﹣2，由此能求出弦长|AB|．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得，解得此时直线l的方程为y=﹣x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2﹣2，则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．解答：解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2=8，∴圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x﹣y+m=0，∵直线l是圆N的切线，∴，解得m=﹣2，或m=6（舍去）此时直线l的方程为y=x﹣2，由，消去x得y2﹣2y﹣4=0，∴△=（﹣2）2+16=20＞0，y1+y2=2，y1•y2=4，，∴弦长|AB|=．（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0（k≠0），∵直线l是圆N的切线，∴，得m2﹣4k2﹣4mk﹣8=0，①由，消去x得ky2﹣2y+2m=0，∴△=4﹣4k×2m＞0，即km＜且k≠0，，，∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，﹣2），∴，，∵，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）=0，将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得，代入，，得，化简，得m2+4k2+2mk+4k=0，②①+②得2m2﹣2mk+4k﹣8=0，即（m﹣2）（m﹣k+2）=0，解得m=2，或m=k﹣2．当m=2时，代入①，解得k=﹣1，满足条件，且k≠0，此时直线l的方程为y=﹣x+2．当m=k﹣2时，代入①整理，得7k2﹣4k+4=0，无解．（ii）当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2﹣2．则得，y1+y2=0，，即，由①得：=x1x2+y1y2+2（y1+y2）+4=20﹣12≠0，当直线l的斜率不存在时，不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=1﹣e﹣x，知f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），知≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′（x）=﹣a•e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．24268 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2020-2021学年湖南省某校高三(上)第一次月考数学试卷 (有答案)
2020-2021学年湖南省某校高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知，则sin(270∘−α)＝（）A. B. C. D.2. 已知集合A＝{1, 2}，B＝{x|mx+1＝0}，若A∪B＝A，则m＝（）A. B. C.1，0，2 D.3. 给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的否命题是真命题；②；③函数既是奇函数也是偶函数；④∃x0∈R，使sin2x0+2sin x0−1＝0．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.34. 函数在(1, +∞)上是减函数，则实数a的范围是（）A.(−2, +∞)B.(−2, 4)C.(−2, 4]D.[4, +∞)5. 已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )A.a+1b >b+1aB.a+1a>b+1bC.ba>b+1a+1D.b−1b>a−1a6. 设＝5b＝m，且-＝2，则m＝（）A. B.10 C. D.7. 已知点A(2,−12)，B(12,32)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.(35,−45) B.(45,−35)C.(−35,45)D.(−45,35)8. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0, a ≠1)在区间(12, +∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( ) A.(0, +∞) B.(2, +∞) C.(1, +∞)D.(12, +∞)9. 在等比数列{a n }中，a 5⋅a 11=3，a 3+a 13=4，则a 12a 2=( )A.3B.−13C.3或13D.−3或−1310. 方程sin ，x ∈[−5, 9]的所有实根之和为（ ）A.0B.12C.8D.1011. 设0<x 1<x 2，p ＝（e 为自然对数的底），则（ ）A.B.C.D.p 与22的大小关系不确定12. 在△ABC 中，，其中a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则b +2c 的最大值为（ ）A.B.3C.D.二、填空题（每小题5分，共20分）已知实数x ，y 满足{x −y +5≥0x ≤3x +y ≥0，则z =2x +4y 的最小值为________．已知函数y ＝f(x)+x 是偶函数，且f(2)＝1，则f(−2)＝________．已知α为第三象限角，cos 2α=−35，则tan (π4+2α)=________.已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则a ，b ，c 的大小关系为________．三、解答题（共70分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，(n −1)S n ＝nS n−1+(n −1)n(n ∈N +, n ≥2)．（1）求证：数列为等差数列；（2）记数列的前n 项和为T n ，求T n ．已知命题p ：关于x 的方程2x 2+ax −a 2＝0在[−1, 1]上有两不等实根；命题q ：存在实数x 0满足不等式x 02+2ax 0+2a ≤0．若“p 或q ”是真命题，“p ∧q ”假命题，求a 的取值范围． 已知函数．（1）求f(x)的最小正周期及f(x)在区间上的最大值和最小值；（2）若，求cos 2x 0的值．某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙费用为a元，修1米旧墙费用为a元，拆1米4元，现有两种方案：旧墙用所得材料再建1米新墙所得费用为a2（1）利用旧墙的一段x米(x<14)为厂房的一边长（剩下的旧墙拆掉建成新墙）；（2）矩形厂房的一边长为x(x≥14)（所有旧墙都不拆），问如何利用旧墙才能使得建墙费用最省？设关于x的方程x2−mx−1=0有两个实根α、β，且α<β．定义函数f(x)=2x−m．x2+1（1）求αf(α)+βf(β)的值；（2）判断f(x)在区间(α, β)上的单调性，并加以证明；（3）对∀x1，x2∈(α, β)，证明不等式：|f(x1)−f(x2)|<|α−β|．已知函数，曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为x+2y−3＝0．（1）求a，b的值；（2）如果当x>1时，，求k的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省某校高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】不等式的基本性质 【解析】由a >b >0，可得1b >1a ．利用不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵ a >b >0， ∴ 1b >1a ， ∴ a +1b>b +1a.故选A ． 6.【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 指数式与对数式的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7.【答案】 C【考点】平行向量的性质 单位向量【解析】利用向量的坐标运算、模的计算公式、单位向量即可得出． 【解答】解：由题意知，点A(2,−12)，B(12,32)，∴ AB →=(12,32)−(2,−12)=(−32，2)， ∴ |AB →|=√(−32)2+22=52，则与向量AB →同方向的单位向量为AB→|AB →|=(−35,45)．故选C ． 8.【答案】 A【考点】对数函数的单调区间复合函数的单调性【解析】根据复合函数的单调性结合对数函数的性质判断即可．【解答】解：当x∈(12, +∞)时，x2+32x=(x+34)2−916>1恒成立.∵函数f(x)=loga (x2+32x)(a>0且a≠1)在区间(12, +∞)内恒有f(x)>0，∴a>1，x2+32x>0，解得：x<−32或x>0.由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间：(0, +∞)．故选A．9.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】直接由等比数列的性质和已知条件联立求出a3和a13，代入a12a2转化为公比得答案．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，a5⋅a11=3，所以a3⋅a13=3.①又a3+a13=4,②联立①②，解得：a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，所以a12a2=a13a3=3或a12a2=a13a3=13．故选C．10.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】C【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】−6【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z= 2x+4y对应的直线进行平移，可得当x=3且y=−3时，z取得最小值．【解答】解：作出不等式组{x−y+5≥0x≤3x+y≥0表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(3, −3)，B(−2.5, 2.5)，C(3, 8)设z=F(x, y)=2x+4y，将直线l:z=2x+4y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F(3, −3)=−6故答案为：−6【答案】5【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数y＝f(x)+x是偶函数，建立方程关系即可得到结论．【解答】设y＝g(x)＝f(x)+x，∵函数y＝f(x)+x是偶函数，∴ g(−x)＝g(x)，即f(−x)−x ＝f(x)+x ， 令x ＝2，则f(−2)−2＝f(2)+2＝1+2＝3， ∴ f(−2)＝3+2＝5， 【答案】−17【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：cos 2α=2cos 2α−1=−35，解得cos α=±√55. 因为α为第三象限角， 所以cos α=−√55， 所以sin α=−√1−cos 2α=−2√55，所以sin 2α=2sin αcos α=2×(−2√55)×(−√55)=45，所以tan 2α=sin 2αcos 2α=45−35=−43，所以tan (π4+2α)=tan π4+tan 2α1−tan π4tan 2α=1−431+43=−17．故答案为：−17.【答案】 a <b <c 【考点】对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、解答题（共70分）【答案】证明：由(n −1)S n ＝nS n−1+(n −3)n 两边同除以n(n −1)，可得-＝1，当n ＝2时，(3−1)S 2＝7S 1+2，解得S 8＝4，∴-＝−1＝6，∴数列以1为首项；由（1）可得得＝1+(n−8)＝n n＝n2，∴a n＝S n−S n−1＝n2−(n−1)2＝4n−1，当n＝1时，也成立，∴a n＝6n−1，∴＝＝（-），∴T n＝(1−+--）＝）＝．【考点】等差数列的性质数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】命题p：关于x的方程2x2+ax−a4＝0在[−1, 5]上有两不等实根2+ax−a2，所以，解得：−1≤a≤1且a≠2，所以p为真，即−1≤a≤1且a≠6，命题q：存在实数x0满足不等式x08+2ax0+7a≤0．所以△＝4a2−8a≥0，解得a≥5或a≤0．所以①p真q假0<a≤2，②p假q真．故a的取值范围为：a<−1或0≤a≤7或a≥2．【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵＝7sin x cos x+sin2x−cos3x＝sin2x−cos7x＝2sin(2x−），故函数的最小正周期为＝π．当x∈时，2x−，]，故当2x−＝-时；当2x−＝时．∵x0∈[，]，2x0−∈[，]，若f(x0)＝2sin(8x0−）＝0−）＝7−）为钝角，∴cos(2x7−）＝-．cos7x0＝cos[(2x8−）+5−）cos5−）sin＝-•-•＝-．【考点】三角函数的周期性平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：（1）∵利用旧墙的一段x米，∴拆去的旧墙的长为14−x，(x<14)∴建新墙的长为：126x +126x+x−(14−x)，∴y=a[(126x +126x+x)−(14−x)]+a4×x+a2(14−x)=(74x+252x−7)a≥35a(0<x<14)…当且仅当x=12∈(0, 14)时建墙费用最省为35a元．…（2）矩形厂房的一边长为x(x ≥14)（所有旧墙都不拆），建新墙的长为：126x +126x +x −(x −14)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x =(2x +252x −212)a ≥35a (x ≥14)…由对勾函数的单调性可得y 在[14, +∞)上为增函数，当且仅当x =14时建墙费用最省为35.5a 元． …故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）拆去的旧墙的长为14−x ，所以建新墙的长为：126x +126x +x −(14−x)，故可得y =100[2(x +126x )−14]+25x +50(14−x)(0<x <14)，利用基本不等式可求建墙费用最省；（2）y =100[2(x +126x )−14]+25×14(x ≥14)，利用y 在[14, +∞)上为增函数，可求建墙费用最省；两方案比较，可得结论．【解答】解：（1）∵ 利用旧墙的一段x 米，∴ 拆去的旧墙的长为14−x ，(x <14)∴ 建新墙的长为：126x +126x +x −(14−x)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x +a 2(14−x) =(74x +252x −7)a ≥35a (0<x <14)…当且仅当x =12∈(0, 14)时建墙费用最省为35a 元．…（2）矩形厂房的一边长为x(x ≥14)（所有旧墙都不拆），建新墙的长为：126x +126x +x −(x −14)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x =(2x +252x −212)a ≥35a (x ≥14)…由对勾函数的单调性可得y 在[14, +∞)上为增函数，当且仅当x =14时建墙费用最省为35.5a 元． …故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …【答案】（1）解：∵ α，β是方程x 2−mx −1=0的两个实根，∴ {α+β=m α⋅β=−1， ∴ f(α)=2α−mα2+1=2α−(α+β)α2−αβ=α−βα(α−β)=1α，同理f(β)=1β，∴ αf(α)+βf(β)=2．（2）∵ f(x)=2x−m x 2+1， ∴ f′(x)=2(x 2+1)−(2x−m)⋅2x (x 2+1)2=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，而f ′(x)>0，∴ f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)；f(α)<f(x 2)<f(β)，∴ f(α)−f(β)<f(x 1)−f(x 2)<f(β)−f(α)，∴ |f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|．再由（1）知f(α)=1α，f(β)=1β，αβ=−1，∴ |f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，所以|f(x 1)−f(x 2)|<|α−β|．【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）由题意可得{α+β=m α⋅β=−1，求得f(α)=2α−m α2+1=1α，同理求得f(β)=1β，可得αf(α)+βf(β)的值．（2）由条件求得f′(x)=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，可得f′(x)>0，可得f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)，f(α)<f(x 2)<f(β)，证得|f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|，再根据|f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，可得要证的不等式成立．【解答】（1）解：∵ α，β是方程x 2−mx −1=0的两个实根，∴ {α+β=m α⋅β=−1， ∴ f(α)=2α−mα2+1=2α−(α+β)α2−αβ=α−βα(α−β)=1α，同理f(β)=1β， ∴ αf(α)+βf(β)=2．（2）∵ f(x)=2x−m x 2+1， ∴ f′(x)=2(x 2+1)−(2x−m)⋅2x (x 2+1)2=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，而f ′(x)>0，∴ f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)；f(α)<f(x 2)<f(β)，∴ f(α)−f(β)<f(x 1)−f(x 2)<f(β)−f(α)，∴ |f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|．再由（1）知f(α)=1α，f(β)=1β，αβ=−1，∴|f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，所以|f(x1)−f(x2)|<|α−β|．【答案】f′(x)＝-由于直线x+3y−3＝0的斜率为-，1)，故，即，解得a＝1．由（1）知f(x)＝+，所以f(x)−（+）＝）．考虑函数ℎ(x)＝2ln x+(x>3)，则ℎ′(x)＝，(i)设k≤7，由ℎ′(x)＝知，当x∈(6, +∞)时，可得，从而当x>1时，，(ii)设8<k<1．由于当x∈(1，，(k−1)(x2+1)+2x>7，故ℎ′(x)>0，而ℎ(1)＝0，故当x∈(6，，ℎ(x)>7ℎ(x)<0．(iii)设k≥1．此时ℎ′(x)>6，故当x∈(1, +∞)时，可得，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为(−∞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)湘教版
2021年高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）湘教版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.【题文】1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A. B. C. D. 2【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：由,依题有,即.选C.【思路点拨】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【题文】2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )A. B. C. D.【知识点】简单随机抽样．I1【答案解析】B 解析：由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.选B.【思路点拨】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．【题文】3.设偶函数满足,则( )A. B.C. D.【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】C 解析：当时,由,得,由图象对称性可知选C.【思路点拨】由函数的奇偶性解不等式可得结果.【题文】4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. B. 84 C. D. 36【知识点】二项式定理系数的性质.J3【答案解析】B 解析：由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.选B.【思路点拨】结合二项式定理，通过令x=-1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【题文】5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.选A.【题文】6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( ) A. B.C. D. 【知识点】程序框图．L1 【答案解析】A 解析：由于输入的初始值为,故 ,即.故选A.问题的关键．【题文】7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( ) A. B.C. D.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原 为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图→侧视图→正视图→直观图,其为四棱锥,所以,选B. 棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【题文】8.设,若是的最小值,则的取值范围为( )A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【知识点】分段函数的应用．B10【答案解析】D 解析：当时,显然不是的最小值,当时,可知时,,而当时,,依题意,得,所以即求. 选D.【思路点拨】分别由f （0）=a ，，综合得出a 的取值范围．【题文】9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )正视图 1 1 2 2 2 2 侧视图 俯视图 B 1 1A. B. C. D.【知识点】正弦定理.C8【答案解析】C 解析：由得,,又为锐角,故,于是,即.于是由余弦定理有,即,解得,选C.【思路点拨】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.【题文】10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点, 角的始边为射线,终边为射线,过点作直线 的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示 为的函数,则在上的图象大致为( )【知识点】函数的图像与性质.B10 【答案解析】C 解析：由,于是,由三角函数线有,,于是的最大值为,故选C. 【思路点拨】先由三角函数线得，再求最大值.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.【题文】11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段．N3 H2【答案解析】 解析：由化为直角坐标方程为,于是极点到该直线的距离为,故答案为【思路点拨】先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．【题文】12.设均为正数,满足,则的最小值是 .【知识点】基本不等式．E6【答案解析】3 解析：∵，∴，∴，当且仅当x=3z 时取“=”．故答案为3．【思路点拨】由x-2y+3z=0可推出，代入中，消去y ，再利用均值不等式求解即可．【题文】13.数列的前项和为,若,则 .【知识点】数列递推式.D1【答案解析】 解析：由……①,可推出,……②①-②式得,,于是,,故.【思路点拨】借助于，可得，进而得到结果.【题文】14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则 .【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】或 解析：先作出可行域如右图:又目标函数,依题意,所以①当,即时,依题意有目标直线时,当其运动 至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;②同理当,即时,必有,即,即,综上①②可知,或 为所求. x x x x【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=kx+y 取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a 的值．【题文】15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为 .【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】解析：由,得,如右图所示, 取中点,连结,则由几何意义知, ,又,故,即 【思路点拨】本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,16.(本小题满分12分)xx 年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【知识点】概率的应用．K6【答案解析】(Ⅰ)10 (Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即…………………………………………2分消去得,,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,于是;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++======.………………………………………………………………11分所以随机变量的分布列如下:.……………………………………………………………12分【思路点拨】（I ）设通晓英语的，通晓俄语的，通晓法语的人数，根据通晓英语的人的概率为，是通晓俄语的人数的概率为，列出关于所设的人数的表示式，解出结果．（II ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有C51C31C21种结果，甲通晓俄语，乙通晓法语，则甲和乙不全被选中的对立事件是全被选中，先做出两个人全被选中的概率，用对立事件的概率公式得到甲和乙不全被选中的概率．（III ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而可求3人所会的语种数X 的分布列．如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点. (Ⅰ)若,求;(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点满足,求的取值范围.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)由三角函数定义可知, 所以1sin 22sin cos 2()2ααα==-=,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知,所以所以11()(1cos2)2sin(2)262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因,故,即,于是,所以的取值范围是.……………………………………12分【思路点拨】(Ⅰ) 直接结合三角函数的定义求解sinα，cosα的值，然后，根据二倍角公式进行求值；(Ⅱ) 首先求解f （θ），然后根据，确定f （θ）的取值范围．【题文】18.(本小题满分12分) 直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值. 【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4 G11【答案解析】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)解析：(Ⅰ)连接交于点,连接,因为直三棱柱中侧面为矩形,所以 为的中点,又是中点, 于是,且面 , AC1⊄平面B1CD 所以平面;…………………………6分(Ⅱ)由知,即, 又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间 直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易知, 显然平面的一个法向量为, 又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为, 则,又由图知 为锐角, 【思路点拨】(Ⅰ) 通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(Ⅱ) 建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．A C DBC 1 A 1 B 1 A CD BC 1 A 1B 1E在数列中,已知.(Ⅰ)求证:是等比数列;(Ⅱ)令为数列的前项和,求的表达式.【知识点】数列的求和；等比关系的确定．D3 D4【答案解析(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)解析：(Ⅰ)证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以,所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n n S b b b n =+++=-+-++-=+++-令,则,两式相减得2311111111122222222n n n n n n n T ++=+++-=--,所以,即…………………………………………………13分【思路点拨】(Ⅰ)此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n ）即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)结论可求出bn ，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．【题文】20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为………5分综上可得,【思路点拨】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3设P 为弦MN 的中点，由,,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【题文】21.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)由,.………………………………………………………1分①当时,显然时,,当时,,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,②同理当时, 的单调递增区间为,递减区间为,③当时,不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,,得,所以.所以,且,……………6分令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根,且注意到,所以不妨设,又,于是可知时,,又时,即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,…………………………………………7分又以上事实对恒成立.故,得;……………9分(Ⅲ)分析:要证成立,即证ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明. 证明过程: 由(Ⅰ)知当时,在上递增,所以()ln3(1)2ln1,1f x x x f x x x=-+->=-⇔<->………………………………11分也所以在上式中分别令得, ,以上同向正数不等式相乘得ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以得, ,即证.…………………13分【思路点拨】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的(Ⅰ)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；(Ⅱ)点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．(Ⅲ)是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．23889 5D51 嵑20402 4FB2 侲 23612 5C3C 尼wm25313 62E1 拡28970 712A 焪21379 5383 厃624058 5DFA 巺39879 9BC7 鯇33350 8246 艆28801 7081 炁28354 6EC2 滂。
2021年高三上学期第三次月考数学试题 含答案
2021年高三上学期第三次月考数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分）1、设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛4｝D. ｛｝2、若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）3.已知向量，，若与共线，则的值为( )A. B. C. D.4.对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.3006．已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D.7.给出下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③，；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④ D．②③8.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是（）A． B． C． D．10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A． B． C． D．11.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．12.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题513.．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．已知为三角形的边的中点，点满足，，则实数的值为16．数列的通项，其前项和为，则为．17．（本小题满分12分）设的内角所对的边为，（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长。
2021年高三数学第一次月考试题湘教版 理
2021年高三数学第一次月考试题湘教版 理考试范围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲) 立体几何.时量：120分钟 总分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．集合若,则（ ）A ．B ．C ．D ． 2．命题“”的否定是（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．B ．C ．D ． 5．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知命题:是成立的充分不必要条件；命题:若不等式对恒成立，则，在命题① ② ③ ④中，真命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④7．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．8．不等式≤0对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）俯视图正视图 侧视图（第4题图）A ．≤B ．≥C ．≥D ．≥9．已知函数是R 上的可导函数，且的图象是连续不断的，当时，有，则函数的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题．．卡．中对应题号后的横线上。
11．已知且，则 .12．如图，两块阴影部分的面积和为________．13．若关于的不等式 的解集为，则 .14.已知正实数满足，则的最小值为 .15．在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常 在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为，（i=1，2，3… n ），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0都转换成10，定义这种数字的转换为变换，在多次的加密过程中，满足，k=1，2，3，…． （1）若A 2：10010110，则A 0为____ ；（2）若A 0为10，记中连续两项都是l 的数对个数为，k=l ，2，3，…，则 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。
湖南省平江县第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题.doc
湖南省平江县第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题考试时间：120分钟 总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．设z ＝1－i1＋i＋2i ，则||z ＝( )A ．0 B.12C ．1D. 22．已知集合A ＝{}1y y x =-，集合B ＝{}2log (1)0x x ->，则AB ＝（ ）A ．∅B ．(0，+∞)C ．(1，2)D ．(2，+∞)3. 若α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ B. 若//m α，n αβ=，则//m nC. 若m α⊥，//αβ，则m β⊥D. 若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 4. 体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的4.9是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用2V 、1V 分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（ ）（参考数据lg 20.3010= lg30.4771=）A. 215ln V V =-B. 215lg V V =+C. 214ln V V =-D. 214lg V V =+5．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A ．150 B ．180 C ．300 D ．3456．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） A.B.C.D.7．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63658．给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ） ①若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121031,31,,31x x x ---的方差为6；②回归方程为ˆ0.60.45yx =-时，变量x 与y 具有负的线性相关关系； ③随机变量X 服从正态分布()23,N σ，(4)0.64P X ≤=，则(23)0.07P X ≤≤=；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按系统抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为125. A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．a bc c > B ．log log a b c c > C ．1313log a a < D ．2233a b <10．已知正项等比数列{an}满足14232,2a a a a ==+，若设其公比为q ，前n 项和为Sn ，则（ ）A ．q ＝2B ．C ．S 10＝2047D ．a n +a n +1＜a n +2 11．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为4512．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．当0x >时，()()1xf x ex -=-- B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
2021年高三上学期第一次月考测试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第一次月考测试数学（理）试题 含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则（ D ）A ． B. C. D.2、 不等式1x≤1的解集是( ) A. (1，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D .(－∞，0)∪(1，＋∞)3、已知集合，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ C ）A. B.错误!未找到引用源。
C. D.4、设a 、b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且a b >1”成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设“a >1且0<b <1”，则“a －b >0且a b>1”成立；反之，不一定成立，如a ＝4，b ＝2，满足“a －b >0且a b>1”，但b >1，故选A. 5．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若，则”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题答案：C6、已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．2 3B ．4 3C ．2＋ 3D ．4＋23[解析] 由已知lg2x ＋lg8y ＝lg2得lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y≥4＋23，故选D.7、爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是v 1＋v 22(甲、乙两人中途不停歇)，则甲、乙两人上下山所用的时间t 1，t 2的关系为( )A ．t 1>t 2B ．t 1<t 2C ．t 1＝t 2D ．不能确定A [解析] 设从山下到山上的路程为x ，甲上下山所用的时间t 1＝x v 1＋x v 2，乙上下山所用的时间t 2＝2x v 1＋v 22＝4x v 1＋v 2，则 t 1－t 2＝x （v 1＋v 2）v 1v 2－4x v 1＋v 2＝x [（v 1＋v 2）2－4v 1v 2]v 1v 2（v 1＋v 2）＝x （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0，故选A.8、定义两种运算：，则函数的解析式为( A )A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
高三上册数学第一次月考理科试题(带答案)
高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）2021届高三上册数学第一次月考文科试题〔带答案〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
答题时120分钟，总分值150分。
第一卷(选择题共10小题，每题5分，共50分)一、选择题(每题给出的四个选项中，只要一个选项契合标题要求.)1.假定集合 , ,那么 ( )A. B. C. D.答案：A解析：集合A={ }，A={ }，所以，2.在复平面内,双数对应的点的坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A3. 为等差数列，假定，那么的值为( )A. B. C. D.答案：D解析：由于为等差数列，假定，所以，，4. 函数有且仅有两个不同的零点，，那么()A.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：由于函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如以下图：因此，可知，，只要B契合。
5. 设集合是的子集，假设点满足：，称为集合的聚点.那么以下集合中以为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ () A.①④B.②③C.①②D.①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，在的时分，存在满足0|x-1|1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1 关于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合的聚点③关于某个a1，比如a=0.5，此时对恣意的xZ，都有|x﹣1|=0或许|x﹣1|1，也就是说不能够0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点应选A6. 在以下命题中, ① 是的充要条件;② 的展开式中的常数项为;③设随机变量 ~ ,假定 ,那么 .其中一切正确命题的序号是()A.②B.②③C.③D.①③答案：B解析：①是充沛不用要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态散布曲线的对称轴是x=0，，所以，正确;7.偶函数 ,当时, ,当时, ( ).关于偶函数的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:①当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;②假定关于 ,直线与图象G的公共点不超越4个,那么a③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解析：由于函数和的图象的对称轴完全相反，所以两函数的周期相反，所以，所以，当时，，所以，因此选A。
2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的真子集的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．72．命题：，，则．是假命题，：．是假命题，：．是真命题，：，．是真命题，：3．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）（A）（B）（C）1 (D)34．已知，则的值为（）A．B．C．D．5.不等式成立的一个必要但不充分条件是（）A．B．C．D．6. 定义在上的函数满足（），，则等于（） A．2 B．3C．6 D．97．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．8．已知函数，表示不超过实数的最大整数，记函数的值域为，若元素，则的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
9.设扇形的圆心角为，弧长为，且已知，那么扇形的半径为 。
10．已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是 。
11. 设全集U =R ，，B ={x | sin x }，则 。
12. 将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则的值是___ _______。
13. 设定义在上的函数满足，若，则 。
14. 已知函数x x x x f ωπωπωcos )6sin()6sin()(+-++=（其中为大于0的常数），若函数上是增函数，则的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
15． （本小题满分12分）已知命题：使成立 ；命题：函数的定义域为，若“”为真，“”为假，求的取值范围。
16. （本小题满分12分）在中，，，. （1）求的值； （2）求的值.17. （本小题满分14分）如图所示，、分别是⊙、⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，,是⊙的直径，,. (1)求二面角的大小；(2)求直线与所成角的余弦值；y x O 1-1第19题图18.（本小题满分14分）已知函数。
2021年高三数学上学期第一次月考试卷
2021年高三数学上学期第一次月考试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．相应位置．．．．上．1．已知集合BAxRxxBA则},5,|{},4,3,2,1{2<∈=--== ▲；2.命题“，使得”的否定是▲；3．的值为▲；4.已知，那么的▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”)5.平面向量的夹角为，▲；6.设则▲；7.函数的单调减区间为▲；8.已知，，则▲；9.设，则不等式的解集为▲；10.设{}是公比为正数的等比数列，若＝4，＝16，则数列{}的前5项和为= ▲；11.定义在R上的奇函数对任意都有，当时，，则▲；12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝▲；13.已知函数321,,1,12()111,0,.362xxxf xx x⎧⎛⎤∈⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是▲ ．14.对于实数a和b，定义运算“﹡”：，设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．15．（本题满分14分）已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．16.（本题满分14分）已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N。
（1）求M，N；（2）求，。
17.（本题满分14分）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及相应的x值．18.（本题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB = 60m ，BC = 60m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为．矩形区域内的排管费用为W ．（1）求W 关于的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角．19．(本题满分16分)已知数列中,且点在直线上. (1)求数列的通项公式; (2)若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数的最小值; (3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.l 2l 120.（本题满分16分）已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．东台市安丰中学xx 届高三第一次学分认定考试数学试题参考答案 xx.10.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 1． 2. ，使得． 3． ．4. 必要不充分 5. 1 6. 7. ． 8. 9. 10. 31 11. 12. 30° 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 15．（本题满分14分） 解：（1）∵ ∴()7cos cos sin sin cos cos6a b παβαβαβ•=•+•=-==.………………………6分 （2）， ∵，∴………………………10分………………………12分()()()()311tan 4tan tan 7341tan 14αβπαβαβαβ+--⎡⎤∴+=--===⎢⎥+-⎣⎦-.………………………14分16.（本题满分14分） 解：（1）依题意，，所以 .………………………4分当时，;当时, ;当时，所以. ………………….…………………….…………………………7分（2）由（1）知 . ………………………10分 ，所以……………………………………14分17.（本题满分14分） 【解析】＝＝＝ . …………………………6分（1）由得所以的单调递增区间是[,], . …………………………10分 （2）由得，所以，因此，函数的最大值是2，此时；函数的最小值是，此时． ……………14分18.（本题满分16分）解：（1）如图，过E 作，垂足为M ， 由题意得， 故有，， ，所以W=ααααcos 2sin 603602cos 601)tan 60360(--=⨯+⨯-………………………6分 （2）设，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． 令得，即，得． ……………………8分列表所以当时有，此时有． ………………………14分答：排管的最小费用为万元，相应的角． . ………………………16分 19．(本题满分16分){},11111()101,1111(1)1(2),1.n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。
2021年高三数学第一次月考试题 文(含解析)湘教版
2021年高三数学第一次月考试题文（含解析）湘教版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知a是实数，a＋i1－i是纯虚数，则a＝( )A．1 B．－1 C. 2 D．－2【知识点】复数代数形式的运算. L4【答案解析】A 解析：因为是纯虚数，所以，即，故选A.【思路点拨】先把原复数化简，再令实部等于0即可解得a的值.【题文】2．极坐标方程所表示的曲线是( )A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线【知识点】极坐标方程.N3【答案解析】C 解析：把两边同时乘以可得：，又因为，代入可得,表示一条抛物线,故选C. 【思路点拨】把原式变形，再把代入即可化简.【题文】3．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )A ．－1<x≤1B ．x ≤1C ．x>－1D ．－1<x<1【知识点】集合的运算.A1【答案解析】D 解析：因为集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，所以x ∈A 且x ∉B 可得－1<x<1. 故选D.【思路点拨】利用交集与补集的运算即可.【题文】4．如果函数f(x)＝sin(π2x ＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T 的偶函数，那么( )A ．T ＝4π，θ＝π2B ．T ＝4，θ＝π2C ．T ＝4，θ＝π4D ．T ＝4π，θ＝π4【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 B5【答案解析】B 解析：由周期的公式可得：，若为偶函数，则必为的奇数倍，而在中只有满足题意，所以，故选B.【思路点拨】先利用公式求出周期，再结合偶函数的性质得到即可.【题文】5．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是( )A ．若α∥b ，β∥b ，则α∥βB ．若α∥a ，α∥b ，则a ∥bC ．若a ⊥α，b ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β【知识点】 空间中线线、线面间的位置关系. G4 G5【答案解析】D 解析：对于A ：若α∥b ，β∥b ，则α∥β或相交，故A 错误；对于B ：若α∥a ，α∥b ，则a 与b 平行、相交或异面.故B 错误；对于C ：明显错误；对于D ：若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，正确.故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【题文】6．若ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4},则对于函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 应有( )A ．f(5)<f(2)<f(－1)B ．f(5)<f(－1)<f(2)C ．f(－1)<f(2)<f(5)D ．f(2)<f(－1)<f(5)【知识点】函数的单调性；函数的对称性.B3 B5【答案解析】B 解析：因为ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，可知：，，解得：，代入，即，所以，表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在递减，所以，而由对称性可得：，所以，故选B.【思路点拨】先由不等式的解集判断出a 的符号以及与b ，c 的关系，再由单调性得到的关系为，而由对称性可得：即可得解.【题文】7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【知识点】余弦定理.C8【答案解析】A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.【思路点拨】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正即可判断.【题文】8．若1a <1b<0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．ab<b2 B ．a ＋b<ab C ．a2>b2 D.b a ＋a b>2 【知识点】比较大小.E1【答案解析】C 解析：令代入检验可排除A,B,D ；故选C.【思路点拨】利用排除法与赋值法相结合可得结果.【题文】9．已知an ＝logn ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列运算：( )a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·……·lg 8lg 7＝3；……. 若a1·a2·a3·……·ak (k∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·……·ak ＝2 014时，“企盼数”k 为A ．22 014＋2B ．22 014C ．22 014－2D ．22 014－4【知识点】对数的运算.B7【答案解析】C 解析： a1·a2·a3·……·ak＝lg （k ＋2）lg 2＝2 014⇒lg(k ＋2)＝lg 22 014⇒k ＝22 014－2.【思路点拨】由新定义计算a1·a2·a3·……·ak 后再解方程即可.【题文】10．过点(－2，0)的直线l 与抛物线y ＝x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－16B ．－14 C.14 D.12【知识点】导数的几何意义；抛物线的性质.B11 H7【答案解析】C 解析：对抛物线y ＝x22，y′＝x ，l 的方程是y ＝k(x ＋2)代入y ＝x22得：x2－2kx －4k ＝0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k2＋16k>0x1x2＝－4k ，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝14且满足Δ>0. 【思路点拨】设出直线方程再与抛物线方程联立转化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及判别式求出，然后结合在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即可得到结果.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取___个．【知识点】分层抽样.I1【答案解析】12 解析：用分层抽样的方法抽取的比例为，所以从二等品中应抽取，故答案为12.【思路点拨】分层抽样的特点是按比例进行抽取，先计算出抽取的比例，在计算从二等品中应抽取的个数即可.【题文】12．阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log50.9，则输出的数是___．【知识点】程序框图；指数函数、对数函数的性质.B6 B7 L1【答案解析】b(或0.90.3)解析：因为由指数函数、对数函数的性质可知：0.30.350.80.9log 0.9<0a b c ＝>0，＝>0，＝，且，根据框图的流程指向可得输出的结果为b ，故答案为b(或0.90.3).【思路点拨】先根据指数函数、对数函数的性质判断出a ，b ，c 的大小关系，再由框图的流程指向可得输出的结果.【题文】13．若直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是____．【知识点】直线与圆的位置关系.H4【答案解析】 解析：因为直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，所以圆心到直线的距离，解得，故答案为.【思路点拨】直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程解之即可.【题文】14．设函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调递增区间为____． 【知识点】函数的单调性与导数的关系.B12【答案解析】解析：因为函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，所以其导函数为：，又因为求其单调递增区间，所以，即，解得：，故答案为.【思路点拨】先求导，再利用解不等式即可.【题文】15．当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____.【知识点】函数值的求解.B1【答案解析】22； 4n ＋23解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n －1)＝2n －1. 又S(0)＝N(1)＝1.(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n －1)]，∴S(n)＝4n －1＋S(n －1)(n≥1)，∴S(n)＝4n －1＋4n －2＋…＋41＋40＋1＝4n ＋23. 【思路点拨】（1）由题意可得，S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+…+N （8），分别寻求每一项的值，然后可求;（2）先根据题意求出当n=1时，S （1）=N （1）+N （2），S （2）=N （1）+N （2）+N （3）+N（4），S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （8），S （4）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求当x∈(0，π2]时f(x)的值域． 【知识点】二倍角公式；三角函数的最值.C4 C6【答案解析】(1) ω＝2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 解析：(1)f(x)＝3sin ωxcos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋1＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32. ∵ω>0，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2. (6分) (2)由(1)得：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32., ∵0<x ≤π2，∴π6<2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴1≤f (x)≤52，∴f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. (12分) 【思路点拨】(1)先利用二倍角公式化简，再利用周期公式求出ω即可；(2)结合单调性求出最值.【题文】17．(本题满分12分)某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全第二组 [210，240) 10 0.2 第三组[240，270) 12 0.24 第四组[270，300) a b 第五组 [300，330) 6 c(1)求表中a 、b 、c 的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识点】频率分布表；分层抽样；古典概型.I1 I2 K2【答案解析】 (1) a ＝17，b ＝0.34，c ＝0.12. (2)4 (3) P ＝35. 解析： (1)由表知5＋10＋12＋a ＋6＝50，则a ＝17，b ＝1750＝0.34，c ＝650＝0.12. (4分) (2)因为10×2050＝4，所以在第二组学生中应抽取4人． (7分) (3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P ＝610＝35. (12分) 【思路点拨】(1) 根据总数为50 先求a 的值，再计算b ，c 即可(2) 按比例抽取即可，(3)列举出从5名学生中随机抽取2人的所有情况，再找出满足题意的情况，代入公式即可.【题文】18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P －ABC 中，PC⊥平面ABC ，AB⊥BC，PC ＝BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是PB 、PA 的中点．(1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC ；(2)求三棱锥P －CEF 的外接球的表面积．【知识点】面面垂直的判定；组合体.G5 G8【答案解析】(1)见解析 (2) 17π.解析：(1)∵PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ，故侧面PAB⊥侧面PBC. (6分)(2)∵PC＝BC ＝4，E 为PB 的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB 垂直侧面PBC 于PB ，∴CE⊥EF.由E 、F 分别是PB 、PA 的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC.故EC 、EF 、EP 两两垂直， (9分)三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC ＝EP ＝22，EF ＝1， 其外接球的直径是8＋8＋1＝17，故所求三棱锥P —CEF 的外接球的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝17π. (12分) 【思路点拨】(1) PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (2)由已知得到三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果.【题文】19．(本题满分13分) 已知函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)设12<a<1，若对任意实数u 、v∈[a－1，a]，不等式|f(u)－f(v)|≤2912恒成立，求实数a 的最小值．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求最值.B12【答案解析】(1) a≥－12. (2) 34解析： (1)由函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数得： x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立． (3分)∴⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝1＋a －a －2≤0f′（－1）＝1－a －a －2≤0，可得a≥－12. (6分) (2)∵12<a<1，∴－12<a －1<0，∴[a－1，a]⊂[－1，1]， 故f(x)在[a －1，a]上是减函数， (7分)∴fmax＝f(a －1)＝13(a －1)3＋12a(a －1)2－(a ＋2)(a －1)＋b ， fmin ＝f(a)＝13a3＋12a3－a(a ＋2)＋b. 依条件有fmax －fmin≤2912， ∴fmax－fmin ＝－2a2＋52a ＋53≤2912， (11分) 即8a2－10a ＋3≥0，a≥34或a≤12， ∵12<a<1，∴amin＝34. (13分) 【思路点拨】(1) 转化为x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立的问题即可；(2)结合已知条件得到f(x)在[a －1，a]上是减函数，再利用fmax －fmin≤2912即可得到结果. 【题文】20．(本题满分13分)如图，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0(c 是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c ，0)作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，且A 、B 、D 三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线的左、右支于M 、N 两点，且△OMN 的面积S △OMN ＝26，求l 的方程．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．H6 H8【答案解析】(1) 34 (2) y ＝±24x －1. 解析：(1)∵B(0，－b)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0，易求得P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b2a . ∵2OD →＝OF →＋OP →，即D 为线段FP 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b22a . (3分) 又A 、B 、D 共线．而AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ，－b ，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a2c ，b22a ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a2c ·(－b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22a ，得a ＝2b ， (5分) ∴e＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52. (6分) (2)∵a＝2，而e ＝52，∴b2＝1， 故双曲线的方程为x24－y2＝1.① (7分) ∴B 点的坐标为(0，－1)，设l 的方程为y ＝kx －1，②②代入①得(1－4k2)x2＋8kx －8＝0，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－4k2≠0Δ＝64k2＋32（1－4k2）>0x1·x2＝84k2－1<0，得：k2<14. (9分) 设M 、N 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＝8k 4k2－1.而S△OMN＝12|OB|(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|＝12（x1＋x2）2－4x1·x2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 4k2－12－324k2－1＝22·1－2k21－4k2＝26， (11分) 整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝18或k2＝13(舍去)． ∴所求l 的方程为y ＝±24x －1. (13分) 【思路点拨】(1) 欲求双曲线的离心率，只需找到含a ，c 的齐次式，由已知，易求P 点坐标，根据2OD →＝OF →＋OP → (O 为原点)，可判断D 点为FP 的中点，再根据已知可找到a ，b 的关系，进而转化为含a ，c 的等式，即可求出离心率e 的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b 的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN 过B 点，设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN 被y 轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN 的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l 的斜率k 的方程，解出k 即可．【题文】21．(本题满分13分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≥0y ≤nx （n∈N *）所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点)．(1)n ＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)记数列{an}的前n 项的和为Sn ，试证明：对任意n∈N *恒有S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<512成立． 【知识点】等差数列的前n 项和；不等式的证明.D2 E7【答案解析】(1)25 (2) 10n ＋5. (3)见解析解析： (1)D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2＝5×9＋52＝25. (3分) (另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)(2)直线y ＝nx 与x ＝4交于点P(4，4n)，据题意有an ＝5×（4n ＋1）＋52＝10n ＋5. (6分) (另解：an ＝1＋(n ＋1)＋(2n ＋1)＋(3n ＋1)＋(4n ＋1)＝10n ＋5)(3)Sn ＝5n(n ＋2)． (8分)∵Sn （n ＋1）2Sn ＋1＝n （n ＋2）（n ＋1）2（n ＋1）（n ＋3）＝1（n ＋1）（n ＋3）·n （n ＋2）（n ＋1）2<1（n ＋1）（n ＋3）， ∴S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<12×4＋13×5＋…＋1（n ＋1）（n ＋3）(11分) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3<512. (13分) 【思路点拨】(1) 根据已知条件画出图形即可；(2) 借助于等差数列的前n 项和公式即可；(3)先利用裂项相消法，再结合放缩法即可.DYz33918 847E 葾 !25966 656E 敮24988 619C 憜20439 4FD7 俗19992 4E18 丘;36959 905F 遟 39638 9AD6 髖。
精品解析：湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}|03B x x =<<，则AB =（ ）A. ()1,2-B. ()0,2C. ()1,3-D. ()0,3【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的运算求解.【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--<=-<<，{}|03B x x =<<，所以{}|02A B x x ⋂=<< 故选:B【点睛】本题在考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 若32a ii +-为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 23 B. 23-C.32D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数为一般形式，利用复数的基本概念可得出关于实数a 所满足的等式，由此可求得实数a 的值.【详解】()()()()()()3232233223323232131313a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+， 由于该复数为纯虚数，则3201323013a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得23a =.故选：A.【点睛】本题考查利用复数的基本概念求参数，解题的关键在于利用复数的除法法则化简复数，考查计算能力，属于基础题.3. 已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（ ）A. 5210x y -+=B. 4210x y -+=C. 13690x y -+=D. 9440x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>， 令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x =相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>， 令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切.故选：B.【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题.4. 函数21()ln(4)x f x x e-=+-的图象大致是A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】首先通过特殊值0x =排除,C D ，再根据零点存在定理，可知()f x 在0x >时存在零点，排除A ，可得结果.【详解】当0x =时，()10ln 40f e=-> ,C D ⇒选项可排除 当3x =时，()223ln13ln13ln e f e e =-=-2242216e e e >>= 2ln ln16e e ∴>()23ln13ln 0e f e ∴=-<可知()()030f f ⋅<，故()f x 在()0,3上存在零点，A 选项可排除 本题正确选项：B【点睛】本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的方式排除错误选项，得到最终结果.5. 我省新高考规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，现有甲、乙两名同学按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（ ） A. 36种B. 48种C. 60钟D. 72种【答案】C 【解析】【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．【详解】分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有12224212C C C =种选法； 第二类物理、历史两科中没相同学科，则有21224348A C A =种选法， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有124860+=种， 故选：C ．6. 若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ） A. 1665-B. 3365C. 5665D. 6365【答案】B 【解析】【分析】根据,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=，利用平方关系求得sin ,sin()ααβ+，再由sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=， 所以故sin sin[()]βαβα=+-，124533313513565=⨯-⨯=， 故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I=（ ） A. 4510 B. 4510-C. 32-D. 3210-【答案】D 【解析】 【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】∵1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D .【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.8. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（ ） A. ,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. ,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. ,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. ,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数， 由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9. 设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A. a b = B. ()//a b b - C. ()a b b -⊥ D. a 与b 的夹角为π4【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角公式坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查了平面向量的模､垂直､夹角公式坐标运算公式，考查了共线向量的坐标运算，属于较易题.10. 将函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则下列关于函数()f x 的说法正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 的最小正周期是2π C. ()f x 的图象关于直线12x π=对称D. ()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】AD 【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得函数()y f x =的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.【详解】由题意可得()2sin 22sin 22cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 函数()y f x =是偶函数，A 正确：函数()y f x =最小周期是22ππ=，B 错误；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭12x π=不是函数()y f x =图象的对称轴，C 错误；04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了余弦型函数基本性质的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11. 设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么( )A.+a b 有最小值1)B.+a b 有最大值21)C. ab 有最大值3+． D. ab 有最小值3+．【答案】AD 【解析】【分析】根据1a >，1b >，即可得出2a b ab +，从而得出1ab -21+，从而得出ab 有最小值3+；同样的方法可得出2()2a b ab +，从而得出2()4()4a b a b +-+，进而解出2(21)a b ++，即得出+a b 的最小值为1)．【详解】解：1a >，1b >，∴2a b ab +，当a b =时取等号， ∴1()2ab a b ab ab =-+-21+，∴2(21)3ab +=+，ab ∴有最小值3+2()2a b ab +，当a b =时取等号， ∴21()()()2a b ab a b a b +=-+-+， 2()4()4a b a b ∴+-+，2[()2]8a b ∴+-，解得222a b +-，即2(21)a b ++，a b ∴+有最小值1)．故选：AD ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值时的应用，考查了计算能力，属于中档题． 12. 已知函数()()23211x x f x x ++=+，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象的对称中心是（0，1）B. 函数()f x 在R 上是增函数C. 函数()f x 是奇函数D. 方程()()2122f x f x -+=的解为14x =【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分离常数思想可得()1()f x g x =+，其中322()1x xg x x +=+，先得()g x 的对称中心，再得()f x 的对称中心，即判断A ；通过导数判断单调性可判断B ；举出反例可判断C ；结合对称性可得2120x x -+=，进而可判断D.【详解】23233222(1)212()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++ 选项A . 设322()1x x g x x +=+，()1()f x g x =+，则322()()1x xg x g x x ---==-+，则函数()g x 为奇函数，所以()g x 的图象关于原点成中心对称. 所以()1()f x g x =+的图象关于(0,1)成中心对称，故A 正确.选项B . 由322()11x x f x x +=++，则223242222(23)(1)2(2)2()0(1)(1)x x x x x x x f x x x ++-+++'==>++， 所以函数()f x 在R 上是增函数，故B 正确. 选项C . 51(1),(1)22f f =-=-，则(1)(1)f f ≠--，函数()f x 不是奇函数，故C 不正确.选项D . 由选项A 有()f x 的图象关于(0,1)成中心对称，即()()2f x f x +-=， 由方程(21)(2)2f x f x -+=，则2120x x -+=，即14x =，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：通过分离参数思想得出()f x 为常数1和某个奇函数之和，得出函数的对称性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()611x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中含4x 项的系数为_______. 【答案】-26 【解析】 【分析】根据二项式()na b +展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=，计算即可得出答案.【详解】()()()66611111x x x x x x x⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭， ()61x -的展开式中第1r +项为()16rrr T C x +=-，()611x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中含4x 项系数为()()3535661120626C C -+-=--=-. 故答案为：-26.【点睛】本题考查二项式展开式中某项的系数.属于基础题.熟练掌握二项式()na b +展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=是解本题的基础. 14. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____【答案】【解析】【详解】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B＋A B＋AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝111111222222⎛⎫⨯+⨯+⨯⎪⎝⎭×12＝38.15. 如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是．【答案】①④【解析】【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确故答案为①④【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．16. 已知函数2()log f x x kx =-在(0,16]x ∈上有三个零点，则实数k 的取值范围为________. 【答案】11,4eln 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】函数2()log f x x kx =-在(0,16]x ∈上的零点个数等价于函数2()log g x x =与y kx =的图象的交点个数，作出两个函数的图象即可求解.【详解】函数2()log f x x kx =-在(0,16]x ∈上的零点个数 即为函数2()log g x x =与y kx =的图象的交点个数， 函数()g x 的图象如图，则必有0k >，当01x <<时，必有一个交点；当116x <≤时，设过原点的直线与2log y x =的切点为()020,log x x ，则01ln 2k x =， 则切线方程为20log y x -=()001ln 2x x x -， 将(0,0)代入得201log ln 2x -=-，即0x e =， 所以1eln 2k =， 又由2log 16160k -=得14k =，结合图象可知，实数k 的取值范围为11,4eln 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,4eln 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了函数与方程，函数的零点个数即是对应方程的根的个数，也可转化为两个函数图象的交点的个数，采用数形结合的思想，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =（2.【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =（2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18. 设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e-=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为()a xf x xebx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'.依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()xf x xe ex -=+.由21()(1)xx f x ex e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e-=-+'. 所以，当时，，区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而. 综上可知，，.故的单调递增区间为.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．19. 在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*132,n n S a a n =+∈N ，10a ≠ ，且________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22n log n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）n (1)T n n =-.【解析】【分析】（1）由132n n S a a =+可得出数列{}n a 是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式；（2）求出n b ，再由等差数列的前n 项和求出n T .【详解】（1）由已知132n n S a a =+，2n ≥时，11132n n S a a --=+.两式相减得到13-=-n n n a a a ，即112n n a a -=-，因为10a ≠，所以数列{}n a 是公比为12-的等比数列，从而1112n n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 选①1a ，14，2a 成等差数列， 由1a ，14，2a 成等差数列，可得12124a a +=⨯，即111122a a -=，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选②1a ，21a +，3a 成等比数列，1a ，21a +，3a 成等比数列，即1a ，1112a -+，114a 成等比数列，221111124a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选③334S =， 334S =，即111113244a a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）2222222222211log log log log 22222n n n n nb a n ---⎛⎫⎛⎫=-=--=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()n 123022(1)2n n n T b b b b n n +-=+++⋅⋅⋅+==-.【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，属于基础题. 20. 已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωφωφ=+∈><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.【答案】(1)()2sin(2)6f x x π=+. (2)5[,],1212k k k Z ππππ-+∈. 【解析】【分析】试题分析： （1）观察图象可知，周期1152T 221212ππππωπ=-=∴==（），， 根据点5012π（，）在函数图象上，得到5Asin 2012πϕ⨯+=（），结合02πϕ＜＜，求得6πϕ=； 再根据点（0，1）在函数图象上，求得A 2=，即得所求. （2）首先将g x （）化简为2sin 2x 3π-（），利用“复合函数单调性”，由2k 2x 2k k z 232πππππ-+≤-≤+∈，，得5k x k 1212ππππ-≤≤+，得出函数g(x)=f(x-)-f(x+)1212ππ的单调递增区间为5[k ,k ],1212k z ππππ-+∈. 【详解】（1）由图象可知，周期1152T 221212ππππωπ=-=∴==（），，∵点5012π（，）在函数图象上，∴5Asin 2012πϕ⨯+=（），∴5sin 06πϕ+=（），解得 52k 2k k z 66ππϕππϕπ+=+=+∈，，， ∵02πϕ＜＜，∴6πϕ=；∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin1A 26π==，，∴函数f x （）的解析式为f x 2sin 2x 6（）（）π=+. （2）][g x 2sin[2x 2sin 2x ]126126ππππ=-+-++=（）（）（）2sin2x 2sin 2x 3（）π-+=12sin2x 2sin2x 2-+（）=sin2x 2sin 2x 3π=-（）， 由2k 2x 2k k z 232πππππ-+≤-≤+∈，，得5k x k 1212ππππ-≤≤+， ∴函数g(x)=f(x-)-f(x+)1212ππ的单调递增区间为5[k ,k ],1212k z ππππ-+∈ 21. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）不同的样本的个数为432418C C . （2）①分布列见解析，()E ξ97=. ②线性回归方程为0.6533.60y x =+.可预测该同学的物理成绩为96分. 【解析】【分析】（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.（2）7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数ξ服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为724442⨯=名， 18名男同学中应抽取的人数为718342⨯=名， 故不同的样本的个数为432419C C .（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0，1，2，3.∴()34374035C P C ξ===，()21433711835C C C P ξ===， ()12433712235C C C P ξ===，()33375313C C P ξ===.∴ξ的分布列为∴()0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.②∵5260.65912b =≈，830.657633.60a y b x =-⨯=-⨯=. ∴线性回归方程为0.6533.60y x =+. 当96x =时，0.659633.6096y =⨯+=. 可预测该同学的物理成绩为96分.【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 22. 已知21()ln 2f x x a x =+. （1）求()f x 的极值；（2）若函数()() 2 F x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，且()()1222eF x F x +>--（e 为自然对数的底数）恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）10a e<<. 【解析】【分析】（1）对函数求导，再对a 进行分类讨论，判断函数的单调性，即可得答案； （2）构造函数21()()2ln 22F x f x x x a x x =-=+-再进行求导，利用函数的极值点可得a 的取值范围，再将双元问题转化为关于a 的函数，研究函数()ln 2h a a a a =--的值域，即可得答案；【详解】（1）由题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()a x af x x x x+'=+=，①当0a ≥时，()0f x '> ，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值， ②当0a <时，令()0f x '=，得x =x =当0x <<()0f x '<， ()f x单调递减，当x > ()0f x '>，()f x 单调递增，所以当0a <时， ()f x有极小值[ln()1]2af a =--，无极大值. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()2ln 22F x f x x x a x x =-=+-，22()2a x x a F x x x x-+'=+-=，令()0F x '=，即220(0)x x a x -+=>， 当440∆=-≤a 时，即1a ≥时，()F x 无极值；当440∆=->a 时，得1a <，当1a <时，设220x x a -+=的两根为1x ，2x ，则122x x +=且12x x a =， ①0a ≤时， 220x x a -+=不存在两个正根， ()F x 不存在两个极值点. ②当01a <<时，解得1x =±；当01x <<-()0F x '>，()F x 单调递增，当11x <<()0F x '<，()F x 单调递减，当1x >时， ()0F x '>，()F x 单调递增， 所以，当01a <<时， ()F x 有两个极值点1x ，2x ， 且122x x +=，12x x a =，()()221211122211ln 2ln 222F x F x x a x x x a x x +=+-++- ()21212x x =+()()121212ln 2ln 2x x a x x x x a a a -+-+=--， 令()ln 2h a a a a =--，()ln h a a '=，当01a <<时，()ln 0h a a '=<，()h a 在(0,1)上单调递减，又122h e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以实数a 的取值范围为10a e<<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、不等式恒成立求参数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
2021年高三数学第一次月考试题 理 湘教版
x y O A x y O B y xO C y x O D2021年高三数学第一次月考试题 理 湘教版满分：150分 时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共50分）１．定义运算，则符合条件＝4 + 2i 的复数z 为A ．3－iB ． 1＋3iC ． －iD ． i －2２．若条件，条件，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件３．设集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．４．命题“存在R ，0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）Ａ．不存在R, >0 Ｂ．存在R, >0Ｃ．对任意的R, 0 Ｄ．对任意的R, >0５．函数的图像大致形状是（ ）６．设函数y ＝f(x)定义如下表，若满足条件x1＝5，且对任意自然数均有xn+1＝f(x n) ，则xxx 的值为A ．1B ．2C ．4D ．5７．已知是（-，+）上的增函数，那么a 的取值范围是A ．(1，+)B ．(-,3)C ．(1,3)D ．[，3)８．设，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a ９．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内 位于函数y ＝1x（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内 随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A ．ln22B ．1－ln22C ．1＋ln22D ．2－ln2210．若（其中为整数），则称为离实数最近的整数，记作，即，在此基础上，给出下列关于函数f （x ）＝｜x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2｛x｝－x｜的命题：①函数y＝f(x)的定义域是R，值域是②函数y＝f（x）的图像关于直线（k属于整数）对称③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期是1④函数y＝f(x)在上是增函数其中真命题的序号是： ( )A．① B. ②③ C.①④ D.①②③二、填空题（每小题5分，共25分）(一) 选作题 (请考生从第11、12、13三题中任选两题作答，如果全选，则按前两题记分)11．如图，过点P作⊙O的割线PAB与切线PE，E为切点，连结AE、BE，的角平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若，则= 。
2021年高三数学第一学期第一次月考试卷 理(含解析)
2021年高三数学第一学期第一次月考试卷理（含解析）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={1，5，a}，B={2，b}，若A∩B={2，5}，则a+b的值是（） A． 10 B． 9 C． 7 D． 42．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数y=的图象关于x轴对称的图象大致是（）A． B．C． D．4．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（） A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）5．定积分的值为（）A．﹣1 B． 1 C． e2﹣1 D． e26．下列命题中的假命题是（）A．存在x∈R，lgx=0 B．存在x∈R，tanx=1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R，2x＞07．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A． P包含于Q B． Q包含于P C． P包含于C R Q D． Q包含于C R P8．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．设函数，则下列结论错误的是（）A． D（x）的值域为{0，1} B． D（x）是偶函数C． D（x）不是周期函数 D． D（x）不是单调函数10．定义在R上的函数f（x），当x≠﹣2时，恒有（x+2）f′（x）＜0（其中f′（x）是函数f（x）的导数），又a=f（log3），b=f[]，c=f（ln3），则（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． c＜a＜b D． c＜b＜a11．设函数f（x）=xe x，则（）A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点C． x=﹣1为f（x）的极大值点 D． x=﹣1为f（x）的极小值点12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13．函数f（x）=的定义域为．14．如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．15．已知定义域为R的函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为．16．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．三、解答题．（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．20．已知圆C1：（x+）2+y2=，圆C2：（x﹣）2+y2=，动圆P与已知两圆都外切．（1）求动圆的圆心P的轨迹E的方程；（2）直线l：y=kx+1与点P的轨迹E交于不同的两点A、B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．21．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．四、请在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4—1：平面几何选讲】（本小题满分10分）22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．xx学年河南省驻马店市确山二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={1，5，a}，B={2，b}，若A∩B={2，5}，则a+b的值是（）A． 10 B． 9 C． 7 D． 4考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，以及两集合的交集，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：∵A={1，5，a}，B={2，b}，且A∩B={2，5}，∴a=2，b=5，则a+b=7．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．分析：先对复数化简并整理出实部和虚部，求出对应的点的坐标，即判断出点所在的象限．解答：解：∵==2+i，∴在复平面上对应的点坐标是（2，1），即在第一象限，故选A．点评：本题考查了复数的乘除运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．函数y=的图象关于x轴对称的图象大致是（）A． B．C． D．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题．分析：先求出原函数的单调性以及定义域，再结合关于x轴对称的函数图象自检的关系即可得到正确答案．解答：解：∵函数y═=﹣1的定义域为[0，+∞），且图象是在定义域上单调递增，最低点为（0，﹣1）∴所求图象在定义域上单调递减，最高点为（0，1）．故选：B．点评：本题主要考查了幂函数的图象，以及图象过的特殊点的坐标，属于基础题．一般解决这类问题常用排除法．4．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．解答：解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得 0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．5．定积分的值为（）A．﹣1 B． 1 C． e2﹣1 D． e2考点：定积分．专题：计算题．分析：由定积分的定义根据公式直接变形，求出定积分的值即可解答：解：定积分=（e x）|0ln2=2﹣1=1答案为：1．故选B．点评：本题考查定积分，解题的关键是掌握住定积分的定义及其公式，本题是基本概念题．6．下列命题中的假命题是（）A．存在x∈R，lgx=0 B．存在x∈R，tanx=1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R，2x＞0考点：命题的真假判断与应用．分析： A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．解答：解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C点评：本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．7．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A． P包含于Q B． Q包含于P C． P包含于C R Q D． Q包含于C R P考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出解答：解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q包含于P，故B正确．点评：此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．8．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：考虑“a＞0且b＞0”与“a+b＞0且ab＞0”的互推性．解答：解：由a＞0且b＞0⇒“a+b＞0且ab＞0”，反过来“a+b＞0且ab＞0”⇒a＞0且b＞0，∴“a＞0且b＞0”⇔“a+b＞0且ab＞0”，即“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充分必要条件，故选C点评：本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查．9．设函数，则下列结论错误的是（）A． D（x）的值域为{0，1} B． D（x）是偶函数C． D（x）不是周期函数 D． D（x）不是单调函数考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：证明题．分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D解答：解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题10．定义在R上的函数f（x），当x≠﹣2时，恒有（x+2）f′（x）＜0（其中f′（x）是函数f（x）的导数），又a=f（log3），b=f[]，c=f（ln3），则（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． c＜a＜b D． c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先由条件（x+2）f′（x）＜0得到函数的单调区间，再比较自变量log3与与ln3的大小解答：解：（x+2）f′（x）＜0⇔或∴f（x）在（﹣∞，﹣2）时递增，f（x）在（﹣2，+∞）时递减，=﹣1，0＜＜1，1＜ln3∴log3＜＜ln3，又函数f（x）在（﹣2，+∞）时递减，∴f（log3）＞f[]＞f（ln3），∴a＞b＞c故选：D点评：本题考查函数的单调性，比较函数值的大小转化为比较自变量的大小是解题的关键．11．（5分）（xx•开福区校级模拟）设函数f（x）=xe x，则（）A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点C． x=﹣1为f（x）的极大值点 D． x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：由题意得 =f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13．函数f（x）=的定义域为（0，] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．14．如图是一个算法的流程图，则输出S的值是63 ．考点：设计程序框图解决实际问题．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值∵S=1+2+22+23+24=31＜33，不满足条件．S=1+2+22+23+24+25=63≥33，满足条件故输出的S值为：63．故答案为：63点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．15．已知定义域为R的函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为a＞b ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：函数y=f（x﹣5）为偶函数，及函数的图象的平移可知y=f（x）的图象关于x=﹣5对称，由函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数及a=f（﹣6）=f（﹣4）可比较a，b的大小解答：解：∵函数y=f（x﹣5）为偶函数，图象关于x=0对称又∵由y=f（x﹣5）向左平移5个单位可得函数y=f（x）的图象∴y=f（x）的图象关于x=﹣5对称∵函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数∴a=f（﹣6）=f（﹣4）＞b=f（﹣3）∴a＞b故答案为：a＞b点评：本题主要考查了偶函数的图象的对称及函数的图象的平移，函数的单调性在大小比较中的应用．16．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．解答：解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．三、解答题．（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．点评：解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．18．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于进行求解即可；（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，所以x服从二项分布，从而求出x的分布列，最后利用数学期望公式进行求解．解答：解：（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375…（4分）又因为，故n=48…（6分）（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为…（8分）所以x服从二项分布，∴随机变量x的分布列为：x 0 1 2 3p则…（12分）（或：）点评：本题主要考察了频率分布直方图，以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间角．分析：（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，平面PBD的法向量为，利用向量的数量积公式，可求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2），B （0，8，0）∴，设平面PAB的法向量为由可得，取同理可得平面PBD的法向量为∴cos==∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为．点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查空间角解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确运用向量法求解空间角．20．已知圆C1：（x+）2+y2=，圆C2：（x﹣）2+y2=，动圆P与已知两圆都外切．（1）求动圆的圆心P的轨迹E的方程；（2）直线l：y=kx+1与点P的轨迹E交于不同的两点A、B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．考点：轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出已知两圆的圆心坐标和半径，由两圆的位置关系求得|PC1|，|PC2|，由知点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，从而求得E的方程；（2）联立直线和双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出A，B的坐标，由根与系数关系得到A，B的横纵坐标的和，求出AB的中点坐标，由直线方程的点斜式得到AB的中垂线方程，表示出直线在y轴上的截距后由k的范围得答案．解答：解：（1）已知两圆的圆心半径分别为，，设动圆P的半径为r，由题意知，，则．则点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，其中，则，求得E的方程为2x2﹣y2=1（x＞0）；（2）将直线y=kx+1代入双曲线方程，并整理得（k2﹣2）x2+2kx+2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0）．依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故⇒．且，．则AB的中垂线方程为．令x=0，得．∵﹣2＜k＜﹣，∴．点评：本题考查了轨迹方程，考查了圆与圆的位置关系，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，常把直线方程和曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．21．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g′（x），再求出临界点，求出g′（x）＜0和g′（x）＞0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；（2）先求出f（x）的定义域和f′（x），把条件转化为f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再对f′（x）进行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把条件等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）2]上的最小值，结合（2）求出的a的范围max，并把它代入进行整理，再求f′（x）在[e，e对a进行讨论：和，分别求出f′（x）在[e，e2]上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较．解答：（1）解：由得，x＞0且x≠1，则函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx﹣1=0，解得x=e，当0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0；当x＞e时，g′（x）＞0，∴函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+∞），（2）由题意得函数f（x）=在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0即可，又∵f′（x）=﹣a==，∴当时，即x=e2时，．∴，得，故a的最小值为．（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得，当x∈[e，e2]时，，则，故问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有”，当时，由（2）得，f（x）在[e，e2]上为减函数，则，故，当时，由于f′（x）=在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，，不合题意．（ii）若﹣a＜0，即0＜，由f′（x）的单调性和值域知，存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，e2）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数；所以，f（x）min=f（x0）=≤，x∈（e，e2），所以，a≥，与0＜矛盾，不合题意．综上，得．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等知识，考查了分类讨论思想和转化思想，计算能力和分析问题的能力．四、请在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4—1：平面几何选讲】（本小题满分10分）22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．解答：证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．点评：本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．解答：解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．点评：本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1，由此求得不等式f（x）≥5x+1的解集．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．分别求得这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由此可得 x≥2 或 x≤1．故不等式f（x）≥5x+1的解集为 {x|x≥2 或 x≤1{．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）即，或．因为a＞0，所以不等式组的解集为 {x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故 a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．31074 7962 祢30628 77A4 瞤H26694 6846 框 29373 72BD 犽31967 7CDF 糟U20889 5199 写28118 6DD6 淖37325 91CD 重K32414 7E9E 纞/。
高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
高三上学期第三次月考数学试题（含答案）考生在温习中多做题是高考数学温习中最重要的局部了，为此查字典数学网整理了2021届高三上学期第三次月考数学试题，请考生及时停止练习。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.不等式(1+x)(1-|x|)0的解集是A. B. C. D.2.等差数列中，，，那么此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.2203.向量，, 那么是与夹角为锐角的A.必要而不充沛条件B.充沛而不用要条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.对一实在数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是A.(-，-2)B.[-2，+)C.[-2,2]D.[0，+)5.命题，假定是真命题，那么实数的取值范围是A. B. C. D.6.设点是函数与的图象的一个交点，那么的值为A. 2B. 2+C. 2+D. 由于不独一，故不确定7.x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是A.RB.C.D.8.圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，那么圆C的方程为A.B.C.D.9.数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是A. B. C. = D. 与n的取值有关10.，是平面内两个相互垂直的单位向量，假定向量满足,那么的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数在区间上的一切零点之和等于A. 2B. 6C. 8D. 1012.函数的周期为4，且事先，其中.假定方程恰有5个实数解，那么的取值范围为A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每题5分。
13.直线ax+y+1=0与连结A(2,3)，B(-3,2)的线段相交，那么a的取值范围是_ _.14.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .15.、满足约束条件，假定目的函数的最大值为7，那么的最小值为。
2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案
F E 2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切 线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。
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湖南省平江第一中学2021届高三数学上学期月考试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数，则A.B.C.D.2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为( )A ．10B ．9C ．5D ．43.在中，若，则此三角形为A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 4.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B.C.D.5.设等比数列的前n 项和为，若，则A. 31B. 32C. 63D. 646.若，，则A.B.C. D.7.现有四个函数：，，，的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是A. B. C. D.8.定义在R 上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x 的不等式在上恒成立，则实数m 的取值范围 A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对的得3分。
） 9.设函数331()f x x x =-，则是A. 奇函数B. 偶函数C. (0,)+∞上的增函数D. (0,)+∞上的减函数 10.已知函数的图象关于直线对称，则A. 函数为奇函数B. 函数在上单调递增C. 若，则的最小值为D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象11.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：，则下列说法中正确的是A. 函数是圆O 的一个太极函数B. 圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C. 函数是圆O 的一个太极函数D. 函数的图象关于原点对称是为圆O 的太极函数的充要条件12.如图，在正方体中，F 是棱上动点，下列说法正确的是．A. 对任意动点F ，在平面内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从运动到的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从运动到的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等差数列的前n 项和为，P ，A ，B 三点共线，且，则______．14.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为______．15.平面向量,,OA OB OC 的模分别为1,1，2，OA 与OC 的夹角为a ，且tan 7a =，OB 与OC 的夹角为45°。
若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=16.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD ，于E ，，，，，则四棱锥外接球半径为______．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）在，，且，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________．求角B ； 若，求周长的最大值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．18.（本题满分12分）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；设的前n项和为，求证．19.（本题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；AC=23AB=BC.求二面角（II）已知EF=FB=12--的余弦值.F BC A20.（本题满分12分）函数其中的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图象．当时，求的值域令，若对任意x都有恒成立，求m 的最大值。
21.（本题满分12分）为了提高市民身体素质，某市把A，B，C，D四个蓝球馆全部转为免费民用．在一次全民健身活动中，四个蓝球馆的使用场数如图．用分层抽样的方法从A，B，C，D四场馆的使用场数中依次抽取，，，共25场，在，，，中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；设四个蓝球馆一个月内各馆使用次数之和为x，其相应维修费用为y元，根据统计，得到如下表的y与x数据：x10 15 20 25 30 35 40y10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020用最小二乘法求z与x之间的回归直线方程；叫做蓝球馆月惠值，根据的结论，试估计这四个蓝球馆月惠值最大时x的值．参考数据和公式：，，，．，．22.已知函数．讨论函数的单调性；若函数有极小值，求该极小值的取值范围．答案1.D2C3C4C5C6C7A8.D8.解：定义在R上的函数满足，函数为R上的偶函数，对任意的不相等的实数，有成立，函数在上单调递减，在上单调递增，若不等式对恒成立，即对恒成立．对恒成立，即对恒成立，即且对恒成立．令，则，在上单调递增，上单调递减，．令，，时，，，即，在上单调递减，．综上所述，9AC；10.AC；11.AC解：和都是奇函数，图像关于原点对称且图像连续，可以将圆的周长和面积同时平分，满足题意，是圆O的一个“太极函数”，故A、C正确；如上图，圆O的一个“太极函数”可以是偶函数，图象不一定关于原点对称，故B、D 错误，故选AC．12.AC；13.1009；14.；15.3；16.217解：选，，，．化简得，，由余弦定理得，又因为，．选根据正弦定理，由得，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以．选由，得，即，所以，又因为，所以，因此．由余弦定理，得．又，，当且仅当时等号成立，，解得，，当且仅当时，等号成立．．周长的最大值为12．18解：，当时，，又满足上式，；证明：，，，，，．19（I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E 又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ， 又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC . （II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ， 所以223,FM FB BM =-=可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-. 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得23230,330x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩可得平面BCF 的一个法向量3(1,1,),3m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以7cos ,||||m n m n m n ⋅<>==. 所以二面角F BC A --的余弦值为7. 20解：根据图象可知， ，，，代入得，，，，又，，，；把函数的图象向右移个单位长度，得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象；函数； 设，则，此时，所以的值域为；由可知，，对任意x 都有恒成立；令，，是关于t 的二次函数，且开口向上，则恒成立；而的最大值，在或时取到最大值，则，即，解得；即，所以m 的最大值为．21解：由图可知，本次活动共100场活动，在场馆A ，B ，C ，D 使用场数分别20、28、32、20．抽取的25场活动在场馆A ，B ，C ，D 里进行的场数a 1，a 2，a 3，a 4分别为5，7，8，5．，12，13，15．，，，．分布列为：1 0 121315P．，，，由表可知，，，，所以，z与x之间的回归直线方程为．，，即．设，则．，．令g ，则g 单调递减，，则在上单调递增，上单调递减，即当时，篮球馆月惠最大．22解：函数的定义域为，当时，，函数在单调递增当时，令，得，当时，，当时，，函数在单调递减，在单调递增．由得当时，函数在单调递增，没有极值；当时，函数在单调递减，在单调递增，函数有极小值为，记，，则，由得，当时，当时，，，函数有极小值的取值范围为11。