数列的函数特性共45页
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(1)求数列{an}的通项公式． (2)判断数列{an}的增减性．
先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用作 差法或作商法判断增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n. ∴an－a1n＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
递减如数果列数．列{an}的各项都
相等，那么这个数列叫做
常数列．
工具
第一章 数列
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， n 答案： C
工具
第一章 数列
2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最 小的项是( )
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以
是递增数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] (1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法， 这同函数的表示方法相一致．
(2)利用图像可直观判断数列的增减性．
工具
第一章 数列
1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中 画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．
an＞0 an＜0
aan＋n 1＞1 递增数列
递减数列
aan＋n 1＜1 递减数列
递增数列
aan＋n 1＝1 常数列
常数列
工具
第一章 数列
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为
递增数列． 证明： ∵an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1
1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 3．掌握判断数列增减性的方法．
工具
第一章 数列
1．判断数列的增减性(重点) 2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点) 3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
工具
第一章 数列
工具
第一章 数列
工具
第一章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
工具
第一章 数列
(2)方法一(作差法)：
∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
工具
第一章 数列
＝
Baidu Nhomakorabean＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1
显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n.
＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
工具
第一章 数列
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数 对应的一列函数值就构成一个数列．
工具
第一章 数列
1．数列的表示方法
(1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为 横标 ，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
＝ n＋1n22＋＋11＋ ＋nn＋1＜1
∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法： (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
1．若数列{an}的前 4 项分别为－12，16，－112，210，则其
一个通项公式为 an＝n－n＋11n.
2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1
－an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an.
3．对于函数 f(x)，若对于定义域内任意 x1＜x2，总有 f(x1)
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有 列表法、图像法、解析法．
工具
第一章 数列
2．数列的函数特性
一个数列{an}，如果从第 二项 起，每一项都 大于 它前面的一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫做 递增数列．
如果从 第二项 起，每一项都 小于它前面的一项，
即an＋1＜an，那么这个数列叫做
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
工具
第一章 数列
把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表法 表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它 的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] 列表
n 12345…
k
…
an 1 3 5 7 9 … 2k－1 …
图像：
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第7项
答案： B
3 ． 已 知 an ＋ 1 － an － 3 ＝ 0 ， 则 数 列 {an} 是 ________ 数 列 ( 填 “递增”或“递减”)
答案： 递增
工具
第一章 数列
解析： an＋1－an＝bcn＋n＋11＋ 1－bnc＋n 1 ＝bn＋b＋c1bn＋1＞0， ∴an＋1＞an. 答案： an＋1＞an
解析： 列表
n1
2
3
4
5
6
7
8… k
…
an －8 －14 －18 －20 －20 －18 －14 －8 … k2－9k …
工具
第一章 数列
图像
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…} 上是递增的．
工具
第一章 数列
已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0.
先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用作 差法或作商法判断增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n. ∴an－a1n＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
递减如数果列数．列{an}的各项都
相等，那么这个数列叫做
常数列．
工具
第一章 数列
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， n 答案： C
工具
第一章 数列
2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最 小的项是( )
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以
是递增数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] (1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法， 这同函数的表示方法相一致．
(2)利用图像可直观判断数列的增减性．
工具
第一章 数列
1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中 画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．
an＞0 an＜0
aan＋n 1＞1 递增数列
递减数列
aan＋n 1＜1 递减数列
递增数列
aan＋n 1＝1 常数列
常数列
工具
第一章 数列
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为
递增数列． 证明： ∵an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1
1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 3．掌握判断数列增减性的方法．
工具
第一章 数列
1．判断数列的增减性(重点) 2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点) 3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
工具
第一章 数列
工具
第一章 数列
工具
第一章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
工具
第一章 数列
(2)方法一(作差法)：
∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
工具
第一章 数列
＝
Baidu Nhomakorabean＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1
显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n.
＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
工具
第一章 数列
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数 对应的一列函数值就构成一个数列．
工具
第一章 数列
1．数列的表示方法
(1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为 横标 ，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
＝ n＋1n22＋＋11＋ ＋nn＋1＜1
∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法： (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
1．若数列{an}的前 4 项分别为－12，16，－112，210，则其
一个通项公式为 an＝n－n＋11n.
2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1
－an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an.
3．对于函数 f(x)，若对于定义域内任意 x1＜x2，总有 f(x1)
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有 列表法、图像法、解析法．
工具
第一章 数列
2．数列的函数特性
一个数列{an}，如果从第 二项 起，每一项都 大于 它前面的一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫做 递增数列．
如果从 第二项 起，每一项都 小于它前面的一项，
即an＋1＜an，那么这个数列叫做
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
工具
第一章 数列
把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表法 表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它 的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] 列表
n 12345…
k
…
an 1 3 5 7 9 … 2k－1 …
图像：
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第7项
答案： B
3 ． 已 知 an ＋ 1 － an － 3 ＝ 0 ， 则 数 列 {an} 是 ________ 数 列 ( 填 “递增”或“递减”)
答案： 递增
工具
第一章 数列
解析： an＋1－an＝bcn＋n＋11＋ 1－bnc＋n 1 ＝bn＋b＋c1bn＋1＞0， ∴an＋1＞an. 答案： an＋1＞an
解析： 列表
n1
2
3
4
5
6
7
8… k
…
an －8 －14 －18 －20 －20 －18 －14 －8 … k2－9k …
工具
第一章 数列
图像
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…} 上是递增的．
工具
第一章 数列
已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0.