大一统几何路径最值问题(18)

长方体中一类最短路径问题的求解公式及应用
1．一个典型题目
题目： 如图 1，地面上放置着一个长、宽、高分别是 6 cm 、5 cm 、4 cm 的长方 体纸盒.现有一只蜘蛛沿纸盒的表面从 A 点出发去捕食 G 处的昆虫，问这只蜘蛛 的最短爬行路线长是多少 cm ？
2．分析与解答
图1
本题是一道关于长方体中两个“斜对顶点”之间的表面最短路线长问题，考查的重点在于学生对长方体展开图的
EM+BM 的最小值．__ 2 7 __.
1
3
33
6
5.如图，圆柱形容器高为 49cm，底面周长为 110cm，在杯内壁离杯底 3cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时苦逼蚂 蚁君正好在杯外壁，在甜蜜回忆基础上，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，苦逼蚂蚁君很想从外壁 A 处到 达内壁 B 处的以最短距离达到，则最短距离为 ______．
由此，我们得到了长．方．体．中．两．个．“．斜．对．顶．点．”．的．表．面．最．短．路．线．长．问．题．的．求．解．公．式．：
如果用 a、b、c 分别表示经过长方体同一个顶点的三条棱长，且 a b, a c ，那么“斜对顶点”的表面最
短路线长 l a2 (b c)2 ．
特别的，当 a b c ，即图形是正方体时，根据上述求解公式我们还可以得到： 推论 如果一个正方体的棱长为 a ，那么它的两个“斜对顶点”的表面最短路线长 l 5a ．
初中几何中涉及到的最短路径问题
最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中， 常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问 题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是 将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.
3．求解公式的提炼 通过对上面解题过程的分析，我们会有这样一个猜想： 在长方体的长、宽、高中，最长的棱作为一条直角边，较短的两条棱之和作为另一条直角边，所得的
斜边长即为“斜对顶点”的表面最短路线长.
证明：已知，如图 8，是一个长方体，其长、宽、高分别为 x 、 y 、 z ，并记：
l1 x2 ( y z)2 x2 y2 z2 2 yz ； l2 y2 (x z)2 x2 y2 z2 2xz ； l3 z2 (x y)2 x2 y2 z2 2xy .
图8
若 x y 0， x z 0，则有 xz yz ， xy yz ，从而 l1 l2 ， l1 l3 ； 若 y x 0， y z 0 ，则有 xy xz ， yz xz ，从而 l2 l1 ， l2 l3 ； 若 z x 0， z y 0 ，则有 xz xy ， zy xy ，从而 l3 l2 ， l3 l1 ．
理解，以及勾股定理的运用，很有典型性.这类问题的基本解题思路是：先“化体为面”，再依据“两点之间，线
段最短”进行求解.在“化体为面”时，通常需先进行分类，然后针对不同的展开情况，分别求解，最后进行比
较与选择.整个分析与解答过程相当繁杂，对空间想象能力和运算能力的要求都比较高，是教与学的难点，教师
与学生都比较头疼.
蚁爬行的最短距离为__________.
l 2 6 12
A
5
13
A1
例题 3：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_______．
25
15
例题 4：如图等边△ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AB 边上一点，若 AE=2，求
d
c
b a
例题 1：如图有一圆柱体如图，高 8cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的 最短距离________.（π取 3）
πr 5π 15
8 17
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6 例题 2：如图一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1 的端点 A 到达 A1 ，若圆柱底面半径为 ，高为 5，则蚂
1.楼梯问题中一定要看清 x 水平距离和 y 竖直(铅直)距离,最后用勾股定理 d dx2 d y2 . 2.长方体里面最长能装多长的木棍就是要计算长方体体对角线. ( a,b, c 分别为长方体的长，宽，高). 长方体体对角线公式：用两次勾股定理得到： d 2 AC12 AC 2 CC12 a2 b2 c2 . d a2 b2 c2 .
考虑到纸盒是放置在地面上的，蜘蛛无法经过长方体下面，故不考虑图 6、图 7 这两种展开图.至此，我们可以发
现本题只需计算 l1 、 l2 、 l3 这三个数据，再取最小值即可.
利用勾股定理可求得：
l1 62 (5 4)2 36 81 117 3 13 ； l2 42 (6 5)2 16 121 137 ； l3 52 (4 6)2 25 100 125 . 因为 3 13 5 5 137 ，所以蜘蛛爬行的最短路线长是 3 13cm .
为叙述方便，先把这个长方体的六个面按日常理解规定为：前面、后面、左面、右面、上面、下面.沿表面从 A
出发到 G ，最短路线“必经过”且“只经过”某两个面，所以只需考虑下面 6 个展开图只可.
图2
图3
图4
图5
图6
图7
如图 2～7，分别记这 6 个展开图中 AG 的长度为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 、 l5 、 l6 ，显然有 l1 l5 ， l2 l4 ， l3 l6 .另外
方法总结：①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条线展开， 转化为平面问题后，借助“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，进而构造直角三角形，借助勾股定理 求解.
②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换，转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题.
常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开等等，下面我们就通过一些典型的例题对 这些问题逐一讲解.