综合训练(三)

综合训练(三)

一、选择题

1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3

答案 D

解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得

2sin A sin B ＝3sin B ，

∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32

. 又∵A 为锐角，∴A ＝π3

. 2．函数f (x )＝

1x (3－x )

＋ln x 1－x 的定义域为( ) A ．(0,1)

B ．[0,1]

C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)

答案 A 解析 要使函数有意义，则⎩

⎨⎧ x (3－x )>0，

x 1－x >0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

0

等于( ) A ．3＋2 2

B ．1－ 2

C ．1＋ 2

D ．3－2 2

答案 A

解析 由a 1，12

a 3,2a 2成等差数列，得a 3＝a 1＋2a 2，在等比数列{a n }中，有a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，因为各项都是正数，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍去)，

所以a 9＋a 10a 7＋a 8

＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b

，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

答案 B

解析 ∵a ，b 的等比中项是1，∴ab ＝1，

∴m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab

＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.

当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．故选B.

5．(多选)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则( )

A ．a n ＝n (n ＋1)2

B ．数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前100项的和为200101 C ．数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前100项的和为99100 D ．数列{a n }的第100项为50 050

答案 AB

解析 因为a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝n ＋1，又a 1＝1，

所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2

，数列{a n }的第100项为5 050，故A 正确，D 错误． 所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋1， 所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前100项和为 2×⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101 ＝2×⎝⎛⎭⎫1－1101＝200101

.故B 正确，C 错误． 二、填空题

6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3

，则△ABC

的面积是________．

答案 33

2 解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①

∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3

＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332

. 7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

答案 10

解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，

所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，

在Rt △ABC 中，得AB ＝5，

于是这艘船的速度是50.5

＝10(海里/时)． 8．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为__________．

答案 (－1,2) 解析 由题意，可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1

9．已知{a n }为等比数列，a 6＋a 7＝2，a 2a 11＝－8，则a 5＋a 8＝________.

答案 －7

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵{a n }为等比数列，∴a 6a 7＝a 2a 11＝－8，又∵a 6＋a 7＝2，∴a 6＝4，a 7＝－2或a 6＝－2，a 7＝4.

当a 6＝4，a 7＝－2时，q ＝－12，a 5＋a 8＝a 6q ＋a 7q ＝4－12

＋(－2)×⎝⎛⎭⎫－12＝－7；当a 6＝－2，a 7

＝4时，q ＝－2，a 5＋a 8＝a 6q ＋a 7q ＝－2－2

＋4×(－2)＝－7. 综上所述，a 5＋a 8＝－7.

10．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：

mg·L －1)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20t t 2＋4

，则经过________h 后池水中该药品浓度达到最大．

答案 2

解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t

.因为t >0，所以t ＋4t ≥2t ·4t ＝4(当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立)， 所以C ＝20t ＋4t

≤204＝5，即当t ＝2时，C 取得最大值． 三、解答题

11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .

(1)求实数a 的取值范围；

(2)若函数f (x )的最小值为

22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解 (1)函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，

等价于ax 2＋2ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立．

当a ＝0时，1≥0恒成立；

当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，

解得0

(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，

由(1)及函数f (x )的最小值为22

，可知0

1－a ，∴1－a ＝22，∴a ＝12. ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34

<0， 解得－12

，