第二章 自动控制

伺服电机的输入变量为电枢电压u1，输出变量为其输出轴的角位移 SD 。 由于转动电位器 R 的滑臂所需力矩很小，可认为伺服电机工作在空载状 W 态，因此伺服电机的运动方程式为
式中
TMS 伺服电机的机电时间常数； KMS 输入与输出的传递系数。 若记电位器 RW 滑臂的位移为 SD ,则伺服电机的运动方程式为
(TMS p 1) p SD K MS u1
式中 i2 伺服电机与电位器之间的减速比。 而电位器的输出电压 ua K 3 u p 式中 K 2 位移 与输出电压 u p 的传递系数。 可控硅功放 若忽略可控硅功率放大器的非线性和时滞，可将其看成一个 比例放大器，其运动方程式为
K MS (TMS p 1) p u1 i2
例2-5 试求机械平移系统的传递函数
Y (s) 。 F (s)
解：由例2-1 可知，控制系统的运动方程式为
对上式两端取拉氏变换，得
d2y dy m 2 f Ky f (t ) dt dt
m[s 2Y(s) sy(0) y(0)] f [sY(s) y(0)] KY(s) F(s)
传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出变量的拉氏变换 X 2(s) 与输入 变量的拉氏变换 X 1(s) 之比，称为该系统的传递函数。传递函数 通常记为 X 1( s ) X 2( s ) X 2(s) G(s ) G(s) X1(s)
※传递函数是系统的固有特性，它取决于系统的结构和参数， 而与输入信号的形式和大小无关。
( Jp f ) M
dt
,得
若用角位移

为输出变量,考虑到 d
和
d 2 d J +f M 2 dt dt
( Jp 2 fp) M
（2）对于直流电动机电枢回路，根据基尔霍夫定律，有
而电动机的反电动势E，与输出角速度W成正比,即
电枢电流i在恒定外磁场中产生的力矩为
L di Ri E u dt
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
控制系统的数学模型
控制系统的运动方程式 传递函数 控制系统的方框图及其简化 信号流图 脉冲响应 非线性运动方程的线性化 应用Matlab建立控制系统的数学模型
建立控制系统数学模型
分析法
分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据 各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分 方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律 和热力学系统中的热力学定律等。
举例
例2-1 设有由弹簧-质量-阻尼器构成的机械系统如图所示，试 列写以力为输入变量、以位移为输出变量的系统运动方程式。 解：根据牛顿第二定律有
ma Fi
K
f (t )
m
y(t )
d2y dy m 2 f (t ) f Ky dt dt
d2y a 物体运动的加速度； 2 dt dy 阻尼器的粘性摩擦阻力，与物体运动的速度成正比；f f dt
(TM p 1) K M u
式中 T 电动机的机电时间常数，量纲为秒。 M 若以电动机输出轴的角位移 为输出变量，可求得直流电动机空载 时简化运动方程的标准形式为

d 2 d TM 2 KM u dt dt
或
(TM p 1) p K M u
例2-4 根据例2-3所示电动机转速控制系统，试列写以参考输入电压 u r 为输 入变量，以电动机输出角速度w为输出变量时控制系统的运动方程式。 解： 在列写实际控制系统的运动方程式时，一般应从产生偏差的元件开始 按信号流通方向依次写出组成该系统各元件的运动方程式。 给定元件 给定元件给出系统的参考输入电压 u r ，它与电动机期望输出角 速度 成正比，即ur Krr 测量元件 测量元件为测速发电机，它将电动机的实际输出角速度w转换成 相应的反馈电压 uCF ,即 uCF KC u 比较元件 比较元件将参考输入信号（电压）u r 与反馈信号（电压） CF 进 行比较实现负反馈，并产生偏差信号 u ur uCF 放大元件 一般情况下，偏差信号比较弱，必须经过相应的放大装置放大后 才能驱动执行机构。 u1 K1u 执行元件 执行元件伺服电机SD在电压 u1 的作用下，其输出轴通过减速 器i2带动电位器 RW 的滑臂可以改变取自 RW 的电压 u p 。
Ky
弹簧的弹性阻力，与物体运动的位移y成正比。
机械平移系统
将上式写成标准形式，得系统运动方程式为
d2y dy m f Ky f (t ) 2 dt dt
若记算子
pd
则上式可改写为
dt
p d
2
2
dt 2
(mp fp K）y(t ) f (t )
2
例2-2 电气系统：设有由电阻、电感 和电容组成的电路如图所示，试列写以 电源电压为输入变量，电容两端电压为 输出变的系统运动方程式。
式中 K0 偏差信号 u 与被控信号w之间的传递系数。 根据各元件运动方程式可绘出电动机转速控制系统的方框图如图所示
[(TM p 1)(TMS p 1) p K0 KC )] K0ur (TMS p 1) pK f M L
ML Kf KM ur u uCF u1
+_
(TM p 1) K M ua K f M L
在以上各式中消去中间变量，求得以参考输入电压 u r 为输入变量和以 电动机输出角速度w为输出变量时，电动机转速控制系统的运动方程式 为 K1 K 2 K3 K M K MS
i2
ur (TMS p 1) pK f M L
记 K0 K1 K2 K3 K M K MS ，则上式可写成 i2
L
R M

ML
u
i
E
D
+
ij
_
带载直流电动机系统图
解：（1）对于机械转动系统，根据牛顿第二定律，有 电动机空载时，有
f
d J M f dt
d J Mi dt
阻尼器的粘性摩擦阻力矩，与角速度w成正比；
将上式写成标准形式，得系统运动方程式为
d J +f M dt
写成算子形式为
U c2 (s) 1 G(s) G1(s) 2(s) G U ( s) R1 R2C1C2 s 2 (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
例2-7 求如图所示有源网络的传递函数 U 2 ( s ) 。 U1 ( s ) 解： 由复阻抗的概念，有
an x2( n ) (t ) an-1 x2( n-1) (t ) a1 x2 (t ) a0 x2 (t ) bm x1( m) (t ) bm-1 x（m-1）(t ) b1 x1 (t ) b0 x1 (t ) 1
(n m)
来描述，式中x2(t) 为系统输出变量，x1(t) 为系统输入变量a1， a2，a3，…an, 及b1，b2，b3 ， …bm，是由系统结构参数决定 的常系数。假设系统的初始条件为零，即 x2 (i)(t) （i=0，1,…，n-1） x1 (i)(t) （i=0，1,…，m-1）
K1
SD K MS p(TMS p 1)
1 i2

K2
up K3
ua
_ +
KM TM p 1

KC
电动机转速控制系统的方框图
2.2 传递函数
2.2.1传递函数的定义 传递函数是基于拉氏变换引入的描述线性定常系统 输入—输出关系的一种常用数学模型，为系统的外部描述。 传递函数只适用于线性定常系统或元件。 设线性定常系统的运动方程可由线性常系数n阶微分方程
实验法
实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学
模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。
2.1控制系统的运动方程式
是用微分方程的形式描述系统运动过程中各变量之间的 相互关系，它既定性又定量地描述整个系统的运动过程。
控制系统的运动方程式
列写控制系统运动方程式的步骤
1.分析系统的工作原理及各变量之间的关系，找出系统 的输入量和输出量； 2.根据描述系统运动特性的基本定律，从系统的输入端 开始依次写出各元件的运动方程，并要考虑各相联元件之间 的负载效应； 3.最后在上述方程中消去中间变量，求取只含有系统输 入、输出变量及其各阶导数的方程式，并将其化为标准形式。
Ce
E Ce
比例系数
M=CM i
CM 比例系数
在以上各式中消去中间变量，求得以电枢电压为输入变量和以电动机 输出轴角速度为输出变量时，直流电动机空载时的运动方程式为
d 2 d JL 2 ( JR fL) ( fR CM Ce ) CM u dt dt
若忽略电枢回路的电感时，直流电动机空载的运动方程式为
+
u
R
L
+
C uc
i
解：根据电学中的基尔霍夫定律，可得
RLC网络
-
di u u Ri L c dt
消去中间变量i，得
d 2 uc duc LC 2 RC uc u dt dt
写成算子形式为
(LCp RCp 1)uc u
2
例2-3 机电系统：设有带载直流电动 + 机控制系统如图所示，假设电动机空载。 试列写 （1）以电动机力矩为输入变量，分别以电动 _ 机输出轴角速度及角位移为输出变量时系 统的运动方程式。 （2）以电枢电压为输入变量，分别以电动机 输出轴角速度及角位移为输出变量时系统 的运动方程式。
R1 R2C1C2
du dt
2 c2 2
( R1C1 R2C2 R1C2 )
duc2 dt
uc2 u
U c2 (s) 1 U c (s) R1 R2C1C2 s 2 (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
另外，由复阻抗的概念，有
1 //( R 1 ) 2 U ab(s ) C1 s C2 s R2C2 s 1 G1(s ) U(s ) R 1 //( R 1 ) R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1 1 2 C1 s C2 s 1 U (s) C2 s 1 G2(s ) c2 U ab(s ) ( R 1 ) R2C2 s 1 2 C2 s
d JR ( fR CM Ce ) CM u dt
若进一步忽略电动机输出轴的粘性摩擦，则直流电动机空ຫໍສະໝຸດ Baidu的运动方 程式为
d JR CM Ce CM u dt
，
记
TM JR
C M Ce
KM 1
Ce
可由上式求得直流电动机空载时简化运动方程的标准形式为
TM
或
d KM u dt
令初始条件为零，得
(ms 2 fs K ) (s) F(s) Y
求得输出量的拉氏变换Y(s)与输入量的拉氏变换F(s)之比，即
Y ( s) G(s) 2 1 F (s) ms fs K
例2-6 设有二级RC滤波网络如图所示。以电压u为输入变量，电容器 C2两端 电压
u为输出变量，试求该滤波网络的传递函数 c2
+
u
U C2 ( s)
U ( s。 )
解：由电学中的基尔霍夫定律,有
R1
a
R2
R1i1 uc1 u
duc1 i1 i2 C1 dt
+
C2
u c2
i1
C1
i2
在以上各式中消去中间变量，求得系统的运动方程式为
-
b
-
R2i2 uc2 uc1
对上式两端取拉氏变换，整理得
duc2 i2 C2 dt
对上式两端取拉氏变换，得 N(s)X 2(s) M(s)X1(s) 式中 N ( s ) a s n a s n 1 a s a
n n 1 1 0
M(s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0
将上式改写成
X（s） M s） bm s m bm 1s m 1 b1s b0 （ 2 X1 s） N s） an s n an 1s n 1 a1s a0 （ （
i2

u p K 2
式中 K 3 可控硅功率放大器的增益。
被控对象 本例中被控对象为带载直流电动机，其运动方程式为
式中
带载直流电动机的输出角速度；
M L 负载力矩。
(TM p 1)(TMS p 1) p ( K1 K 2 K3 K M K MS i2 ) K C