高考数学压轴题100道汇编(附详解)

高考数学100道压轴题汇编 附详解

1．设函数

()1,121,23

x f x x x ≤≤⎧=⎨

-<≤⎩， ()()[],1,3g x f x ax x =-∈，

其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。（I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数

()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n

a 满足1

01a

<<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满

足1111,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）2

1;2n n a a +<（Ⅲ）若12,

2

a =

则当n ≥2时,!n

n b

a n >⋅.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）

2

1

2

1

2

1

2

2

()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12

,x x ∈R ，

a 为常数）；（2）(0)()14

f f π==；（3）当0,4

x π∈［］

时，()

f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）

常数a 的取值范围．

4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，

椭圆的离心率,

2

3=

e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的

方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB

的面积是否为定值？如

个 个

果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列{}n

a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

6、设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆

上的一个动点，求2

1

PF PF ⋅的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过

点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.

B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由

（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围. 8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数

)

,(2)(2R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程

0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）

求实数b 的取值范围； （2）若函数)(log )(x f x F b

=在区间（-1-c ，1-c ）

上具有单调性，求实数C 的取值范围

10、已知函数

,

1)2

1

(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的

x

、

)

1,1(-∈y 都有

).

1(

)()(xy

y x f y f x f ++=+ （1）若数列).(),(12,21}{*

211

n n

n n n

x f N n x x x x

x 求满足∈+==

+

（2）求)

21()1

31(

)111()5

1(12+++++++n f n n f f f 的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0,

1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB =

||MC ③GM

∥AB （1）求顶点C 的轨迹E 的方程 （2）设P 、

Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F 的坐标为（2,

0） ，已知PF ∥FQ , RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值

和最小值.

12．已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4

2sin(2tan )(2π

αα+

⋅+=x x x f ，数列

{a n }的首项)(,2

1

11

n n a f a a

==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；