《等差数列》公开课教案

《等差数列》教案

授课时间：授课班级：

教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》下册

①如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面

一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1

支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的

铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……

②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：

38，40，42，44，46，……

③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5.

二、师生互动，探索新知

[设计说明：职校生的数学基础差，采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度,增强学生学好数学的信心]

教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点与变化规律。

数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；

数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；

数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；

提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？

学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

<一>等差数列的定义:如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一

个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。等差数列的公差d 的数学表达式为：1(,1)n n a a d n N N --=∈>且。

基础训练：1、上面数列①的公差d= ; 数列②的公差d= ; 数列③的公差d=

[教学说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]

2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。

(1) 6,10,14,18,22,……；(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0.

提出问题2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数吗? 师生讨论得出结论:

(1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点: 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）等差数列的公差d 可能是正数、负数、零。

[设计说明:从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等] 提出问题3：等差数列{}n a 的公差d 的数学表达式为：1(,1)n n a a d n N N --=∈>且，

揭示了求公差d 可以用哪些式子表示？

师生共同活动：213243121,,,,,n n n n d a a d a a d a a d a a d a a ---=-=-=-⋅⋅⋅=-=-等， 变式：213243121,,,,,n n n n a a d a a d a a d a a d a a d ---=+=+=+⋅⋅⋅=+=+

提出问题4：如果等差数列{}n a 只知道首项1a ，公差d ，那么这个数列的其他项如何表示？

师生共同活动：1()21,a a d =+个1()2()

32112,a a d a d d a d =+=++=+个个

3()

1()2()432113,a a d a d d a d d d a d =+=++=+++=+个个个…, 3()1()

1()2()12311(1)n n n n n a a d a d d a d d d a d d d a n d ----=+=++=+++=⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+=+-个个个个

[设计说明:问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]

＜二＞等差数列的通项公式:

等差数列{}n a 的任一项为n a 列的通项公式。 （说明：通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式，包括第一项：1a ） 提出问题5：213243121,,,,,n n n n d a a d a a d a a d a a d a a ---=-=-=-⋅⋅⋅=-=-有 个等式？

如果将上述等式相加会得到等式：

213243121(1)()()()()()n n n n n d a a a a a a a a a a ----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-，

1(1)n n d a a -=-，可求出等差数列的（叠加法）

由提出问题4的师生活动可知通项公式的变形： 1()2()1222n n n n a a d a d d a d ---=+=++=+个个，3()1()

2()12333n n n n n a a d a d d a d d d a d ----=+=++=+++=+个个个，,()n m a a n m d ⋅⋅⋅=+-

①，

( n 、)m N ∈②（注意n 不一定大于m ）

公式的认识与理解：

1、通项公式含有四个量，根据公式之间的联系，由方程的思想，知三可求一；

2、与1,n a a 两项直接相关时一般用公式①，与,m n a a 两项直接相关时一般用公式②

三、 合作交流，熟练技能

例1 求等差数列5，7，9，11，……的通项公式与第10项。

[分析] 这个数列第一项（首项1a ）是5，知第一、二、三、四项，易求公差d ，写出通项公式，再利用通项公求出第10项。

解：因为15,a =752d =-=，所以这个等差数列的通项公式是

52(1),n a n =+⨯-即23,n a n =+10210323a =⨯+=。

例2数列{}n a 是等差数列.

（1） 已知1612,1,d a a =-=求；（2）已知3105,47,a a d ==求。

[分析] 第（1）题与116,a a 两项直接相关用公式①，

第（2）题与310,a a 两项直接相关用公式②

解：（1）16115a a d =+，1115(2)a =+⨯-，解方程得 131a =。

（2）1037a a d =+，4757d =+，解方程得 6d = 。

[设计说明:例1列出等差数列的前面四项，让学生学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差，增强感性认识；例2的分析是理性认识等差数列的通项公式及其变形公式]

四、迁移应用，深化提高

1、等差数列{}n a 中，已知512110,31,a a a ==求、d 。