刘占国《利息理论》习题解答[1]

《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念

1、解： （1）)()0()

(t a A t A =

又()25A t t t =++

(0)5()2()1(0)55

A A t t a t t A ∴==

=++

（2）3

(3)(2)113(92)232 2.318I A A =-=+-+=+-= （3）4

(4)(3)15(113)

0.178(3)113

A A i A --+=

==+

2、证明： （1）

123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)

m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-

123123()()()()()

m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++< 令有

（2）()(1)()

1(1)(1)

n

A n A n A n i A n A n --=

=---

()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=

-∴=+-

3、证明： (1)

1

12

123

123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k n

k i a a a i a a a i a i a a a i a i a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++

第期的单利利率是

又(0)1a =

123123()1()(0)()1n

n

a n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++

（2）由于第2题结论成立，当取0m =时有

12()(0)n A n A I I I -=+++

4、解：

（1）以单利积累计算

1205003i =⨯

1200.085003

i ∴==⨯

800(10.085)1120∴+⨯=

（2）以复利积累计算

3120500500(1)i +=+

0.074337i ∴=

5800(10.074337)1144.97∴+=

5、解：设原始金额为

(0)A 有

(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =

6、证明：设利率是i ，则n 个时期前的1元钱的当前值为(1)n

i +，n 个时期后的1元钱的当前值为

1(1)n

i +

又22

2

1

1

[(1)](1)20(1)

(1)n

n n

n

i i i i +-

=++-≥++ ， 当且仅当2

2

1(1)

(1)1(1)

n n n i i i +=

⇒+=+，0i =即或者n=0时等号成立。那么当0i ≠和0n ≠时

命题成立。 7、解：

（1）对于复利()1n n I i

d

A n i

=

=+ ，0.08i = 所以4

0.08

0.074110.08

d =

=+

（2）对于单利,0.08()1n n

I i

d i A n ni

=

==+ 40.08

0.060610.32

d ∴=

=+

8、解：

（1）()1(1)m m i i m +=+ ，1()

(1)1m m i

i m ∴+=+

11

(6)(5)

6

51(1),1(1)65

i i i i ∴+=++=+

(5)11

()530

(6)1

6

1(1)5(1)11(1)6

m i i i i i m i ++∴==+=+++所以m=30

9、解：

ln ()t d A t dt

δ=

，2ln ()ln ln ln ln t

A t k t a t b c d =+++

ln 2ln ln ln t t a t b c c d δ∴=++

10、解： （1）1i d

i =

+ ，2

1(1)d d di i ∴=+

（2）1d i d =

- ，2

1(1)d i dd d ∴

=-

（3）ln v δ

=- ，1d

v dv

δ-∴

=- （4）11d v e δ

-=-=- ，d d e d δδ

-∴=

11、解：

（1）()1d

i

f d d

=

=- ，()0i f d d ∴==将在处泰勒展开有 2

2(0)(0)(0)02!

f i f f d d d d '''=+++=+++

（2）()1i

d f i i

==+ ，故类似（1），将()d f i =在i=0处泰勒展开有 2

234(0)(0)(0)02!

f d f f i i i i i i '''=+++=+-+-+

（3）1

()

[(1)1]m m i

m i =+- ，故将()()m i f i =在i=0处泰勒展开有

()23

2

1(1)(21)02!3!m m m m i i i i m m

---=+-

+- （4）v

e δ-= ，故将()v

f δ=在0δ=处泰勒展开有

2

3

12!

3!

v δδδ=-+

-

+

（5）ln(1)d δ=-- ，故将()f d δ=在d=0处泰勒展开有