质点动力学基本定理

例如，考虑圆轨道运动。对于质量为 的物体，由牛顿第二定律可得
上式两边乘以 ，再除以2得
代入机械能表达式中，得
即
此即表明，圆轨道运动情况下，总机械能为负值。对于椭圆轨道，其总机械能的表示式与上式相同，只是将 换成椭圆的长半轴 ：
用 表示动量后，于是有
上式两边各乘以 ，并对时间间隔 积分，因此得
其中 和 分别是质点在 和 时的动能。右边的积分定义为力 在时间 区间内所做的功（work），记为 ，即
其中 为 时刻力 的做功功率——即单位时间内所做的功。功的单位为焦耳，
1焦耳=1牛顿1米
因此，有下面的动能定理：
质点动能在一时间段内的改变等于在这段时间内作用在该质点上所有力所做的功的总和。
这表示在合外力为零的情况下，初积分 是守恒量。我们将该初积分 定义成物理量，用它来刻画质点在合外力为零的情况下的一种属性，并给它取名为动量（momentum）。类似的例子还有很多，下面分别讨论其中的一部分。
3．2基本定理一
借助位置、速度、加速度和力的概念，再结合牛顿第二定律，我们可以解决一些各式各样的问题。然而，实际当中有些问题在运用牛顿求解时是非常困难的。若运用新的方法，这些问题则可以变得非常简单。下面我们将讨论这样一些新的解决问题的方法。
根据曲线积分与路径无关的条件可知，此时必有
这样，积分与微分抵消，功的表达式就可以写成
利用直角坐标系中Del算符的形式，可将曲线积分与路径无关的条件 改写一下：
由比较可知
；
这样，曲线积分与路径无关的条件就变成： ，其中 叫做力 的势函数（potential function）。注意，并不是一般力都可以写这个样子！
：
：
取 坐标竖直向上，将上两式投影到该坐标中，得
其中 ，略去 和 的冲量（比较小），得
可以推出
因此
绳拉紧后， 向下运动， 向上运动，但 故作减速运动，其加速度为（Atwood机的加速度）
所以 上升的高度为
3．3基本定理二
3．3．1质点动能定理
解决力学问题还有其它方法。将牛顿运动定律写成如下的形式
用 点乘上式，得
考虑一质量为 的物体以速率 在另一质量为 的物体附近运动，且 。如：行星绕太阳的运动、卫星绕地球的运动或慧星从太阳附近一次性飞过等。进一步假设质量为 的物体静止不动（这一假设不是必须的），将质量为 的物体视为研究对象，则其总能量为
上式表明， 可正、可负或是零，取决于速率 。但对于束缚体系，则能量 必小于零。
这是以前我们所定义的冲量。由此容易看出，冲量是一个过程量，它不仅与恒力 有关，而且与过程所持续的时间 有关。
变力的冲量：若质点所受力不为恒力，则要根据下式计算冲量
由于冲量是一矢量，积分也是矢量函数的积分，因此，在进行具体计算时要选取适当的坐标系。例如，在直角坐标系中，上式为三个分量方程
， ，
合力的冲量：如果同时有N个力作用在同一个质点上，合力为
将上式两边各乘以 ，并在时间间隔 内积分，得
其中 和 分别是质点在 时刻和 时刻的动量。而积分 表示力对时间的积分，即力施加于质点而经历一段时间所产生的效果，我们把它称为冲量（impulse），记为 。上式表明：质点动量的改变等于外力在这段时间内给予该质点的冲量。这就是质点的动量定理。
由动量定理可知，当 时，则得到一个重要的结果：
上式左边可写为
由此可见， 有可能成为初积分，且是力学状态的函数（虽然不含位置坐标）。因此，我们将它定义成一物理量，叫做动能（kinetic energy），用 表示，即
动能也是用来量度运动的一个物理量，过去也曾被叫做“活力”。尽管动能与动量都是量度运动的量，但两者还是有区别，其差别在于：当机械运动转化为其它运动形态时，运动的量度要用动能，而不是动量。
，
我们称为初始条件。若合力 是 ， ， 的单值函数，则数学上可以证明牛顿方程满足以上初始条件的解是唯一的。正因为这一点，我们把质点的位置 和速度 为给定质点的力学状态，简称状态。则上面的叙述可以表述为：
质点在任何时刻的力学状态可由该质点的初始力学状态和运动条件唯一地确定。
这里所说的质点的运动条件，是指质点与周围物体的相互作用，这种作用可集中由合力 来表示。
则合力的冲量为
表明：合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段作用时间内冲量的矢量和。
例，绳子一端固定，另一端系一质量为 的质点以匀角速度 绕铅直轴线做圆周运动，绳子与铅直线的夹角为 。已知 、 为直径上的两点。求质点由 点运动到 点张力的冲量。
解：
令 ，则 。张力的大小为
但方向变。取坐标系如图所示。则张力在各坐标轴上的投影为
解：
在铅直平面建立坐标 ，则
，
重力的功为
其中 和 为 点和 点在铅直方向的高度。结果表明：重力所作的功仅决定于质点的始末高度，与质点经过的路径无关（因为这里的路径是任意指定的）。
发现：有些力做功只依赖于质点的始末相对位置，与路径无关。具有这样性质的力称为保守力（conservative force）。
由前面的推导可知，机械能守恒的条件是：质点所受到的外力为保守力，或者称为具势力，即 。
例1，保守力的判断。
例2，中心力场的势能。
Solution:
In this case,
3．3．5应用——引力场和引力势能
（1），引力场
牛顿的引力理论在解释行星的运动等方面取得了巨大成功。但同时也有一个问题困扰着牛顿及当时的科学家。由于行星之间无相互接触，人们无法理解它们之间的是如何进行相互作用的。直到牛顿去世后，人们才找到解释的答案：利用引力场的概念，即认为在空间任一点处都存在有引力，当一质量为 的质点放在空间引力场为 的点，则该质点就要受到力 的作用。换句话说，引力场定义为
直角坐标系：因为
，
所以，
极坐标系：
自然坐标系：
例如，弹簧所做的功。如图，物块所受的力随位置变换的关系为
其中 是相对于平衡位置（ ）的坐标， 是一恒正的常数，称为弹簧的力常数或弹性系数，这种力的规律称为胡克定律。
质点从 到平衡位置 ，弹力作为的功为
质点从任意位置 到另一位置 ，弹力作的功为
3．3．3保守力
物理学中许多物理量的引入正是按照这一想法来实行的。因为，如果在多数情况下总有某种形式的初积分 出现，那么，我们就把这一初积分 定义成某一物理量，用这一物理量来描述质点的在这种情况下的一种属性。例如，一个质点所受合外力为零（经常会有这种情况出现），则可将牛顿运动方程
写成如下的形式
其中 ，由此可知，初积分为
第三章质点动力学基本定理
3．1初始条件，初积分
白云苍狗，沧海桑田，在变幻无常的客观世界中人类很早就已感觉到，在这变化着的一切背后存在着一些不变的东西。这是科学思想的萌芽。随着人类的进步，科学的体系也随即建立了起来。科学的目的就是要在那万般变化的宇宙世界里找出那些不变的东西，以达到对万般变化的客观世界有所掌控。正如台湾学者曾仕强先生所指出的那样——“人类最高的智慧就是以不变应万变”。针对质点运动这一问题，来展示人们是如何认识这背后的不变量
我们取无限远处的势能为零，则 处的势能差为
对于物体和地球这一物体系而言，设地球半径为 ，则物体在地面上高度为 处，物体距地心距离为 。所以物体在高度 处的势能为
在地球表面上， ，所以
两点的势能差
如果物体距地面的高度 不大， ，则
所以
而地球表面上的重力加速度为
所以物体的势能差为
这是我们熟悉的结果。
（3）行星和卫星的运动
例，验证能量原理。
3．3．2力场 的功
讨论功表达式： 。这一表达式与之前我们所熟悉的功的意义是一致的。
例如，当质点作直线运动且力为恒力时，由功的定义：
所以， 可以看成是新的功的定义 的一种特殊情况。
当考察质点沿曲线轨道从 点运动到 时，外力力场 所作的功可记为：
其中 称为元功。
说明：上式积分属于第二类曲线积分。积分结果与路径有关，为一过程量。另外，不同坐标系下，右边的积分有不同的表示形式：
以上求得的牛顿运动方程的解称为特解。而那种满足任何初始条件的运动方程的解则称为通解。显然，求得通解更具有意义。考虑在直角坐标系中的牛顿运动方程组，
若能做一次积分，即可将上面的方程组化为下面的形式
，
积分，得
，
则称 为运动方程的初积分（first integral），注意， 是力学状态（ 和 ）和时间 的函数，而 （ ）为任意积分常数。从数学上看，初积分是使牛顿运动方程从二阶降为一阶方程，从物理上看，它表示某个物理量 是运动守恒量（不随时间变化，简称不变量）。
张力冲量的各分量为
代入 ，可得
， ，
3．2．3动量定理应用举例
说明：（i）质点动量定理是矢量规律，因此，运用这规律去分析问题时要注意其矢量性。（ii）力的冲量是过程量，质点动量是状态量。（iii）由质点动量改变可以确定一段作用时间内合力的冲量，但是，仅此还不足以确定各个瞬时的作用力。（iv）在应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。
当力为力场（即 ）时，力 所做功可用路径积分（数学上称为曲线积分）来表示
即
其中 为质点在时间间隔 内所做走过的路径，见图。（This is a common definition of the work done by a force . It can be used when , but not in general.）这样，动能定理又可写成
根据牛顿定律，可以将动力学问题分为两类：
第一类问题：已知作用于物体（质点）上的力，由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态。
第二类问题：已知物体的运动情况或平衡状态，由力学规律来推求作用与物体上的力。
对于第二类问题，无须作进一步讨论。
主要讨论第一类问题。若要求解第一类问题——求 ，只给定合力是不够的，还应当给定质点在某时刻 的位置和速度，即
先看一个例子。
例1，作用于质点的力为 ，质点自 点经 和经 至 点时，分别求力所作的功，见图。
力沿 所作的功：
作的功不仅依赖于受力点的始末位置，而且还依赖于受力点经过的路径，即与路径有关。
例2，设质量为 的质点，在重力作用下自 点经平面曲线 运动至 点。求重力所作的功。
当然，曲线积分与路径无关的条件还可以叙述成：沿任意闭合路径积分有
或者满足下面的条件
， ，
同学们自证。
3．3．4机械能守恒定律
重新回到动能定理的推导过程中。由牛顿运动定律
用 点乘上式，得
若力 为保守力，上式右边为（考虑在直角坐标系中的计算）
则原式可写成
或
其中 称为势能（potential energy）。注意， 显然也是力学状态的函数。这表明：量 是一个初积分，我们定义它为质点的机械能（mechanical energy）。上式告诉我们：在保守力作用下运动的质点，其机械能保持不变。这称为机械能守恒定律。
3．2．1质点动量定理
实例说明：火箭发射，见图。
由牛顿第三定律，当火药往后喷出时，火箭将被往前推进。试问：火箭的速度是多少？直接由牛顿第二定律我们得不到答案，因为已知条件不够。为此，我们需要引入新的物理量，给出解决问题的方法。
根据牛顿定律
将上式改写成下面的形式
由此可见， 有可能成为初积分，于是我们定义一个物理量 ，称为动量，用它来表示“运动之量”（注意，动量是力学状态的函数）。早期人们就认为，宇宙间所有运动的动量的总和是不变的。
即自由质点不受外力作用时，它的动量 保持不变。这个关系叫做动量守恒定律。
动量是矢量，如果它保持不变，那么它在任何坐标轴上的三个分量就应当是常数。
有时 ，但 在某一坐标轴上的投影为零，那么动量 虽不守恒，但它在该坐标轴上的投影却为一常数，即动量的这一分量是守恒的。
3．2．2冲量的计算
由定义，冲量 为
恒力的冲量：若质点所受力为一恒力，则上式积分成为
例，一绳跨过一定滑轮，两端分别栓有质量为 和 的物体， 大于 。 静止在地面上，当 自由下落 距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度及 能上升的最大高度。
解：
当绳子逐渐拉紧时， 和 同时受到绳子的冲力作用，经过极短时间 之后， 和 都以同样的速率运动起来（绳子不可无限伸长）。根据动量定理有
即单位质量试探粒子所受到的引力。例如，在地球表面处，一质量为 的物体所受的引力为
所以，引力场为
（2），引力势能
首先证明万有引力是保守力。考虑一质量为 的质点 处在引力场中，该引力场为 。由（4）的例2知，质点 受到的引力
是保守力，因此，存在势能，且势能为 ，其中 是 的不定积分。具体形式为
因此，当质点 从 点运动到 点时，势能的改变为