等差数列前n项和的最值问题
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2.3
的最值问题
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
解法一：求出Sn, 用配方法(结合图像） 解法二：求出an, 用单调性
当d 0时,Sn 有最小值;当d 0时,Sn 有最大值.
(1)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值;
(1)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
）
(2)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最大值.
(0 a1 a2 a3 an an 1 )
解法三 : a1 25, 17 16 98 由 得17a1 d 9a1 d, 2 2 S17 S 9. 解得 d 2.
∵S17=S9,
∵a1=25>0,d<0 ∴a13>0,a14<0. ∴S13最大,最大值为 169.
∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16= …=a13+a14=0.
9月27日作业
1、在等差数列 an 中，已知 a1 15 ，
S4 S12 , 求 S n 的最大值。
2、已知数列an 的前n项和S n 3n 2n,
2
求数列的通项公式。
(3)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
)
(4)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 an 0 an1 ）
解法二 : a1 25, 17 16 98 由 得17a1 d 9a1 d, 2 2 S17 S 9. 解得 d 2.
an 25 2( n 1) 0 由 an 1 25 2n 0 n N 当n 13时, Sn 有最大值169. 1 n 13 2 , 得 n 12 1 . 2
课堂小结
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
解法一：求出Sn, 用配方法(结合图像） 解法二：求出an, 用单调性
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
1 求出Sn =f(n)，用配方法（结合图像） 2 求出an =g(n)，用单调性
当d 0时,Sn 有最小值;当d 0时,Sn 有最大值.
解法二：由a1 24, S17 S10 , 得 17 16 10 9 17 24 d 10 24 d 2 2 24 解得d 13 24 24 24 14 an 24 ( n 1) ( ) n 13 13 13 令
n 1
)
(4)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 an 0 an1 ）
1、已知等差数列an 的前n项和为Sn，a1 =24，S17 =S10 问数列an 的前多少项之和最大，并求此最大值。
an 0 an1 0
，解得
n 14 n 13
，即13 n 14
故当n 13或n 14时, S n取得最大值, 其值是168.
练习：
等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,问数列前多少 项之和最大,并求此最大值.
解法一 : a1 25, 由 S17 S 9. 17 16 98 得17a1 d 9a1 d, 2 2 解得 d 2. n( n 1) 2 Sn 25n ( 2) n 13 169. 2 故前13项之和最大, 且最大值S13是169.
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
）
Baidu Nhomakorabea
(2)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最大值.
(0 a1 a2 a3 an an 1 )
(3)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
解法一：由a1 24, S17 S10 , 得 17 16 10 9 17 24 d 10 24 d 4分） （ 2 2 24 解得d 6分） （ 13 n( n 1) 24 12 2 所以Sn 24n ( ) ( n 27 n)（9分） 2 13 13 12 27 2 27 2 ( n ) ( ) 12分） （ 13 2 2 故当n 13或n 14时，S n取得最大值，其值是168.（14分）
的最值问题
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
解法一：求出Sn, 用配方法(结合图像） 解法二：求出an, 用单调性
当d 0时,Sn 有最小值;当d 0时,Sn 有最大值.
(1)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值;
(1)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
）
(2)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最大值.
(0 a1 a2 a3 an an 1 )
解法三 : a1 25, 17 16 98 由 得17a1 d 9a1 d, 2 2 S17 S 9. 解得 d 2.
∵S17=S9,
∵a1=25>0,d<0 ∴a13>0,a14<0. ∴S13最大,最大值为 169.
∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16= …=a13+a14=0.
9月27日作业
1、在等差数列 an 中，已知 a1 15 ，
S4 S12 , 求 S n 的最大值。
2、已知数列an 的前n项和S n 3n 2n,
2
求数列的通项公式。
(3)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
)
(4)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 an 0 an1 ）
解法二 : a1 25, 17 16 98 由 得17a1 d 9a1 d, 2 2 S17 S 9. 解得 d 2.
an 25 2( n 1) 0 由 an 1 25 2n 0 n N 当n 13时, Sn 有最大值169. 1 n 13 2 , 得 n 12 1 . 2
课堂小结
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
解法一：求出Sn, 用配方法(结合图像） 解法二：求出an, 用单调性
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
1 求出Sn =f(n)，用配方法（结合图像） 2 求出an =g(n)，用单调性
当d 0时,Sn 有最小值;当d 0时,Sn 有最大值.
解法二：由a1 24, S17 S10 , 得 17 16 10 9 17 24 d 10 24 d 2 2 24 解得d 13 24 24 24 14 an 24 ( n 1) ( ) n 13 13 13 令
n 1
)
(4)若a1 0, d 0, 则数列的前面若干项a n 0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 an 0 an1 ）
1、已知等差数列an 的前n项和为Sn，a1 =24，S17 =S10 问数列an 的前多少项之和最大，并求此最大值。
an 0 an1 0
，解得
n 14 n 13
，即13 n 14
故当n 13或n 14时, S n取得最大值, 其值是168.
练习：
等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,问数列前多少 项之和最大,并求此最大值.
解法一 : a1 25, 由 S17 S 9. 17 16 98 得17a1 d 9a1 d, 2 2 解得 d 2. n( n 1) 2 Sn 25n ( 2) n 13 169. 2 故前13项之和最大, 且最大值S13是169.
（a1 a2 a3 an 0 a
n 1
）
Baidu Nhomakorabea
(2)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最大值.
(0 a1 a2 a3 an an 1 )
(3)若a1 0, d 0, 则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 an 0 a
解法一：由a1 24, S17 S10 , 得 17 16 10 9 17 24 d 10 24 d 4分） （ 2 2 24 解得d 6分） （ 13 n( n 1) 24 12 2 所以Sn 24n ( ) ( n 27 n)（9分） 2 13 13 12 27 2 27 2 ( n ) ( ) 12分） （ 13 2 2 故当n 13或n 14时，S n取得最大值，其值是168.（14分）