机器人技术讲稿—第3章(修改)
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(运动分析/运动综合) 运动分析/运动综合)
3.4 机器人的雅可比公式
(微分运动/雅可比矩阵/计算实例) 微分运动/雅可比矩阵/计算实例)
Robotics 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.0 A矩阵和T矩阵 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成. 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换. A1表示第一连杆对基坐标的位姿 T 2 = A1 A2 A2表示第二连杆对第一连杆位姿 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 则第二连杆对基坐标的位姿为
Robotics运动学 运动学
α • 每个连杆可以通过四个参数来描述， i −1 ai −1 来描 述连杆i-1本身的特征， d i θ i来描述连杆i-1和连 杆i之间的关系。对于旋转关节I,仅 θ i 是关节变量， di 其他变量为常数，对于移动关节， 是变量，其 他三个参数固定不变。6关节机器人，用18个参 数可以表示运动学中得固定部分，用6个关节变 量来描述运动学中得变动部分。
(3-8)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans ( 0 , 0 , r ) cα sα = 0 0 cα cβ sα cβ = − sβ 0 − sα cα 0 cβ 0 sβ 0 0 1 0 0 1 0 − sβ 0 cβ 0 0 1 0 0 0 − s α c α c β rc α s β cα sα sβ rs α s β 0 cβ rc β 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
(3-11)
Robotics运动学 运动学
• 连杆参数和连杆坐标系
Hale Waihona Puke Robotics运动学 运动学
• 操作臂通常有转动关节和移动关节组成， 每个关节有一个自由度，因此，6自由度的 操作臂由六个连杆和六个关节组成。基座 为连杆0，不包含在6个连杆之内，连杆1与 基座通过关节1链接。PUMA由六个连杆和 六个关节组成，手爪与连杆6固定连接，基 座固定不动。
• 以下用 q i 表示第i个变量
0 n
称为手臂变换矩阵，它是n个关节变量 q1q 2 L q n 相对于基系的描述，根据各关节位置传感器的输出， 得到各关节变量的值，即可求出。该公司称为运动 方程。它表示末端连杆的位姿（n,o,a,p)与关节变量
T = T TL
0 1 1 2
i −1 i −1
因为这些变换都是相对新系，按照从左到右得
Robotics运动学 运动学
i −1 i
T = Rot( x, ∂i−1 )Trans x, ai−1 )Rot( z,θi )Trans z, di ) ( (
对于转动关节i，转换矩阵是 i 的函数， 对于移动关节i，转换矩阵是
θ
Robotics运动学 运动学
Robotics运动学 运动学
• 一、连杆描述 • 连杆i-1是由关节轴线i-1和i的公法线长度 a i −1 （连杆 1 ∂ 长度）和夹角 ∂ i−（连杆扭角）所确定的。i−1 指向规 i-1 i 定从轴线i-1绕公垂线至轴线i。两轴线平行时 ∂ ii−1 = 0 − a i− • 两个轴线相交时， 1 = 0 ，这时 a i −1 指向不确定。 例如，下图为XHK5140换刀机械手的连杆，关节1 的轴线与正方体的对角线重合，关节2的轴线与正 方体的一个棱重合，正方体的边长为L，求连杆长 度和扭角。
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 1.运动方向 接近矢量a:夹持器进入物体的方向;Z轴 a 方向矢量o: o:指尖互相指向;Y轴 o: 法线矢量n: o a p n:指尖互相指向;X轴 n: n
ny oy ay py o T o= = 61= a ⋅ a o= 1 a o ⋅ p 1 ⋅ T n a = z z z z 0 0 0 1
0 − sψ cψ 0
0 0 0 1
(3-5)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 由于上述绕Z轴的旋转,使末端执行器的姿态出现变化, 若要执行器姿态不变,则需将其绕执行器Z轴反向旋转.
cα − s α s α cα Cyl ( z , α , r ) = 0 0 0 0 1 0 0 rc α 0 1 0 rs α = 0 0 1 z 0 0 0 1 0 rcα c ( −α ) 0 rs α s ( −α ) 1 z 0 0 1 0 − s ( −α ) 0 0 c ( −α ) 0 0 0 1 0 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 二、中间连杆的描述 • 中间连杆i和i-1由关节i 相连，因此关节轴线 有两条公法线与其垂 直，每条共发现代表 一条连杆. 公法线a i − 1代表连杆i-1
Robotics运动学 运动学
• 公法线之间的距离d i 为这两条连杆之间的 θ 偏置，i 称为这两个连 杆之间的夹角，两参 数都带正负号。
n = o×a
x
x
x
x
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 2.用旋转系列表示运动姿态 欧拉角:绕Z轴转φ,再绕新Y轴转θ,绕最新Z轴转ψ.
Eulerφ,θ ,ψ ) = Rot(z,φ)Rot( y,θ )Rot(z,ψ ) ( cφ − sφ sφ cφ 0 0 0 0 0 0 cθ 0 0 0 1 0− sθ 0 1 0 0 sθ 0cψ − sψ 1 0 0sψ cψ 0 cθ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
机器人运动学
Kinematics of Robotics
3.1 机器人运动方程的表示
(姿态和方向角\位置和坐标\连杆变换矩阵) 姿态和方向角\位置和坐标\连杆变换矩阵)
3.2 机械手运动方程的求解
(欧拉变换解/滚仰偏变换解/球面变换解) 欧拉变换解/滚仰偏变换解/球面变换解)
PUMA560机器人运动方程 3.3 PUMA560机器人运动方程
(3-3)
注意:坐标变换是右乘.即后面的变 换乘在右边.(绕新轴转,连乘)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 3.用滚\仰\偏转表示运动姿态 RPY (φ ,θ ,ψ ) = Rot ( z , φ ) Rot ( y ,θ ) Rot ( x,ψ ) 横滚:绕Z轴转φ, cφ − sφ 0 0 cθ 0 sθ 0 1 0 s φ cφ 0 0 0 1 0 0 0 cψ 俯仰:绕Y轴转θ, 0 0 1 0 − sθ 0 cθ 0 0 sψ 偏转:绕X轴转ψ. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 注意:左乘.
(3-10)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 由于上述两个旋转,使执行器姿态发生变化.为保持姿 态,执行器要绕其自身Y和Z轴反向旋转.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans (0,0, r ) Rot ( y A ,− β ) Rot ( z A ,−α ) 1 0 = 0 0 0 0 rcαsβ 1 0 rsαsβ 0 1 rcβ 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 连杆变换和运动学方程 连杆坐标系{} 相对于{i -1}的变换 i −1T 称为连杆变换，且 i i 与连杆四个参数有关，可以看做坐标系 {} 是坐标系 {i -1} i 经过以下四个子变换得到的 （1）绕 x i −1 轴转 ∂ 角； 1 (2)沿 x i −轴移动 a ； (3)绕 z i 轴转 θ i ； (4)沿 z i 轴移动 d i ；
(3-10)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 表示物体的位置:笛卡尔坐标、柱面坐标、球面坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 沿X平移r,绕Z轴转α,沿Z轴平移z.
Cyl ( z , α , r ) = Trans ( 0,0, z ) Rot ( z , α )Trans ( r ,0,0 ) 1 0 = 0 0 cα sα = 0 0 0 1 0 0 cα − s α 0 sα cα z 0 0 0 0 1 0 0 − s α 0 rc α 0 rs α cα 0 1 z 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 r 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 三、连杆坐标系 为了确定机器人个连杆之间相对运动关系，在 各连杆上固接一个坐标系。与基座固接的 {0} 与 i 连杆i固接的坐标系为 {i}
中间连杆 坐标系 {i-1} z轴 zi −1 与 关节i-1共线，指向任 意 。坐标系 {i-1}的x轴 的 xi −1 与连杆i-1的公垂 线重合，由关节i-1指 向1
di
• 首末连杆 ∂ 对于运动链两端，按习惯约定： 对于运动链两端，按习惯约定：0 = ∂ 6 = 0；a 0 = a6 = 0
Robotics运动学 运动学
d1 θ1 d 6 θ 6 规定如下：
若关节1为转动关节，则 θ1 是可变的，称为关 节变量，规定 θ1 = 0为连杆1的零位，习惯约定 d1 = 0 若关节1为移动关节，则 d 1 是可变的，称为关 节变量，规定d 1 = 0 为连杆1的零位，习惯约定 θ1 = 0 上述约定方法同样可以应用于关节6
(绕原坐标系运动,左乘) (3-7)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans ( 0 , 0 , r ) cα sα = 0 0 cα cβ sα cβ = − sβ 0 − sα cα 0 cβ 0 sβ 0 0 1 0 0 1 0 − sβ 0 cβ 0 0 1 0 0 0 − s α c α c β rc α s β cα sα sβ rs α s β 0 cβ rc β 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
Robotics运动学 运动学
如果连杆长度 a i = 0 取 ± z i × z i +1 当两轴相交是，远点取 在交点上，当两轴平 行时，原点取在 d i = 0
首末连杆 基与基座固接，任 意，但约定，当第 一个关节变量为零 { 时，0}与 {1} 规定隐 含了 a i = 0 ∂ i = 0 当 为转关节时 d i = 0 移动 θ1 = 0
3.4 机器人的雅可比公式
(微分运动/雅可比矩阵/计算实例) 微分运动/雅可比矩阵/计算实例)
Robotics 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.0 A矩阵和T矩阵 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成. 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换. A1表示第一连杆对基坐标的位姿 T 2 = A1 A2 A2表示第二连杆对第一连杆位姿 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 则第二连杆对基坐标的位姿为
Robotics运动学 运动学
α • 每个连杆可以通过四个参数来描述， i −1 ai −1 来描 述连杆i-1本身的特征， d i θ i来描述连杆i-1和连 杆i之间的关系。对于旋转关节I,仅 θ i 是关节变量， di 其他变量为常数，对于移动关节， 是变量，其 他三个参数固定不变。6关节机器人，用18个参 数可以表示运动学中得固定部分，用6个关节变 量来描述运动学中得变动部分。
(3-8)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans ( 0 , 0 , r ) cα sα = 0 0 cα cβ sα cβ = − sβ 0 − sα cα 0 cβ 0 sβ 0 0 1 0 0 1 0 − sβ 0 cβ 0 0 1 0 0 0 − s α c α c β rc α s β cα sα sβ rs α s β 0 cβ rc β 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
(3-11)
Robotics运动学 运动学
• 连杆参数和连杆坐标系
Hale Waihona Puke Robotics运动学 运动学
• 操作臂通常有转动关节和移动关节组成， 每个关节有一个自由度，因此，6自由度的 操作臂由六个连杆和六个关节组成。基座 为连杆0，不包含在6个连杆之内，连杆1与 基座通过关节1链接。PUMA由六个连杆和 六个关节组成，手爪与连杆6固定连接，基 座固定不动。
• 以下用 q i 表示第i个变量
0 n
称为手臂变换矩阵，它是n个关节变量 q1q 2 L q n 相对于基系的描述，根据各关节位置传感器的输出， 得到各关节变量的值，即可求出。该公司称为运动 方程。它表示末端连杆的位姿（n,o,a,p)与关节变量
T = T TL
0 1 1 2
i −1 i −1
因为这些变换都是相对新系，按照从左到右得
Robotics运动学 运动学
i −1 i
T = Rot( x, ∂i−1 )Trans x, ai−1 )Rot( z,θi )Trans z, di ) ( (
对于转动关节i，转换矩阵是 i 的函数， 对于移动关节i，转换矩阵是
θ
Robotics运动学 运动学
Robotics运动学 运动学
• 一、连杆描述 • 连杆i-1是由关节轴线i-1和i的公法线长度 a i −1 （连杆 1 ∂ 长度）和夹角 ∂ i−（连杆扭角）所确定的。i−1 指向规 i-1 i 定从轴线i-1绕公垂线至轴线i。两轴线平行时 ∂ ii−1 = 0 − a i− • 两个轴线相交时， 1 = 0 ，这时 a i −1 指向不确定。 例如，下图为XHK5140换刀机械手的连杆，关节1 的轴线与正方体的对角线重合，关节2的轴线与正 方体的一个棱重合，正方体的边长为L，求连杆长 度和扭角。
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 1.运动方向 接近矢量a:夹持器进入物体的方向;Z轴 a 方向矢量o: o:指尖互相指向;Y轴 o: 法线矢量n: o a p n:指尖互相指向;X轴 n: n
ny oy ay py o T o= = 61= a ⋅ a o= 1 a o ⋅ p 1 ⋅ T n a = z z z z 0 0 0 1
0 − sψ cψ 0
0 0 0 1
(3-5)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 由于上述绕Z轴的旋转,使末端执行器的姿态出现变化, 若要执行器姿态不变,则需将其绕执行器Z轴反向旋转.
cα − s α s α cα Cyl ( z , α , r ) = 0 0 0 0 1 0 0 rc α 0 1 0 rs α = 0 0 1 z 0 0 0 1 0 rcα c ( −α ) 0 rs α s ( −α ) 1 z 0 0 1 0 − s ( −α ) 0 0 c ( −α ) 0 0 0 1 0 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 二、中间连杆的描述 • 中间连杆i和i-1由关节i 相连，因此关节轴线 有两条公法线与其垂 直，每条共发现代表 一条连杆. 公法线a i − 1代表连杆i-1
Robotics运动学 运动学
• 公法线之间的距离d i 为这两条连杆之间的 θ 偏置，i 称为这两个连 杆之间的夹角，两参 数都带正负号。
n = o×a
x
x
x
x
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 2.用旋转系列表示运动姿态 欧拉角:绕Z轴转φ,再绕新Y轴转θ,绕最新Z轴转ψ.
Eulerφ,θ ,ψ ) = Rot(z,φ)Rot( y,θ )Rot(z,ψ ) ( cφ − sφ sφ cφ 0 0 0 0 0 0 cθ 0 0 0 1 0− sθ 0 1 0 0 sθ 0cψ − sψ 1 0 0sψ cψ 0 cθ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
机器人运动学
Kinematics of Robotics
3.1 机器人运动方程的表示
(姿态和方向角\位置和坐标\连杆变换矩阵) 姿态和方向角\位置和坐标\连杆变换矩阵)
3.2 机械手运动方程的求解
(欧拉变换解/滚仰偏变换解/球面变换解) 欧拉变换解/滚仰偏变换解/球面变换解)
PUMA560机器人运动方程 3.3 PUMA560机器人运动方程
(3-3)
注意:坐标变换是右乘.即后面的变 换乘在右边.(绕新轴转,连乘)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 3.用滚\仰\偏转表示运动姿态 RPY (φ ,θ ,ψ ) = Rot ( z , φ ) Rot ( y ,θ ) Rot ( x,ψ ) 横滚:绕Z轴转φ, cφ − sφ 0 0 cθ 0 sθ 0 1 0 s φ cφ 0 0 0 1 0 0 0 cψ 俯仰:绕Y轴转θ, 0 0 1 0 − sθ 0 cθ 0 0 sψ 偏转:绕X轴转ψ. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 注意:左乘.
(3-10)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 由于上述两个旋转,使执行器姿态发生变化.为保持姿 态,执行器要绕其自身Y和Z轴反向旋转.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans (0,0, r ) Rot ( y A ,− β ) Rot ( z A ,−α ) 1 0 = 0 0 0 0 rcαsβ 1 0 rsαsβ 0 1 rcβ 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 连杆变换和运动学方程 连杆坐标系{} 相对于{i -1}的变换 i −1T 称为连杆变换，且 i i 与连杆四个参数有关，可以看做坐标系 {} 是坐标系 {i -1} i 经过以下四个子变换得到的 （1）绕 x i −1 轴转 ∂ 角； 1 (2)沿 x i −轴移动 a ； (3)绕 z i 轴转 θ i ； (4)沿 z i 轴移动 d i ；
(3-10)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 表示物体的位置:笛卡尔坐标、柱面坐标、球面坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 沿X平移r,绕Z轴转α,沿Z轴平移z.
Cyl ( z , α , r ) = Trans ( 0,0, z ) Rot ( z , α )Trans ( r ,0,0 ) 1 0 = 0 0 cα sα = 0 0 0 1 0 0 cα − s α 0 sα cα z 0 0 0 0 1 0 0 − s α 0 rc α 0 rs α cα 0 1 z 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 r 0 0 1
Robotics运动学 运动学
• 三、连杆坐标系 为了确定机器人个连杆之间相对运动关系，在 各连杆上固接一个坐标系。与基座固接的 {0} 与 i 连杆i固接的坐标系为 {i}
中间连杆 坐标系 {i-1} z轴 zi −1 与 关节i-1共线，指向任 意 。坐标系 {i-1}的x轴 的 xi −1 与连杆i-1的公垂 线重合，由关节i-1指 向1
di
• 首末连杆 ∂ 对于运动链两端，按习惯约定： 对于运动链两端，按习惯约定：0 = ∂ 6 = 0；a 0 = a6 = 0
Robotics运动学 运动学
d1 θ1 d 6 θ 6 规定如下：
若关节1为转动关节，则 θ1 是可变的，称为关 节变量，规定 θ1 = 0为连杆1的零位，习惯约定 d1 = 0 若关节1为移动关节，则 d 1 是可变的，称为关 节变量，规定d 1 = 0 为连杆1的零位，习惯约定 θ1 = 0 上述约定方法同样可以应用于关节6
(绕原坐标系运动,左乘) (3-7)
Robotics运动学 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Sph (α , β , r ) = Rot ( z , α ) Rot ( y , β )Trans ( 0 , 0 , r ) cα sα = 0 0 cα cβ sα cβ = − sβ 0 − sα cα 0 cβ 0 sβ 0 0 1 0 0 1 0 − sβ 0 cβ 0 0 1 0 0 0 − s α c α c β rc α s β cα sα sβ rs α s β 0 cβ rc β 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
Robotics运动学 运动学
如果连杆长度 a i = 0 取 ± z i × z i +1 当两轴相交是，远点取 在交点上，当两轴平 行时，原点取在 d i = 0
首末连杆 基与基座固接，任 意，但约定，当第 一个关节变量为零 { 时，0}与 {1} 规定隐 含了 a i = 0 ∂ i = 0 当 为转关节时 d i = 0 移动 θ1 = 0