专题2.6 中心天体质量密度的计算问题(解析版)

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专题2.6 中心天体质量密度的计算问题

【专题诠释】

中心天体质量和密度常用的估算方法

【高考领航】

【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止

向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）

A ．M 与N 的密度相等

B ．Q 的质量是P 的3倍

C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍

D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC

【解析】A 、由a –x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg kx ma -=，变形式为：k a g x m =-

，该图象的斜率为k

m

-，纵轴截距为重力加速度g 。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：0033

1

M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：2Mm G m g R '='，即该星球的质量2gR M G

=。又因为：3

43R M πρ=，联立得34g RG ρπ=。故两星球的

密度之比为：

1:1N

M M N N M

R g g R ρρ=⋅=，故A 正确；B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg kx =，即：kx

m g

=

；结合a –x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：00122P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比为：16

p N P Q Q M x g m m x g =⋅=，故B 错误；C 、物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a =0）时，它们的动能最大；根据22v ax =，结合a –x 图象面积的物理意义可知：物体P 的最大速度满足2

00001

2332

P v a x a x =⋅

⋅⋅=，物体Q 的最大速度满足：2002Q

v a x =，则两物体的最大动能之比：

2

22

212412

Q Q

kQ Q Q kP

P P P P m v E m v

E m v m v ==⋅=，C 正确；D 、物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a =0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为0x 和02x ，即物体P 所在弹簧最大压缩量为20x ，物体Q 所在弹簧最大压缩量为40x ，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误；故本题选AC 。

【2019·浙江选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直 线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受 到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速 度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。 则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）

A ．F v t ∆∆，

2v R G

B ．F v t ∆∆，32πv T

G C ．F t v ∆∆，

2v R G D ．F t v ∆∆，

32πv T

G

【答案】D

【解析】直线推进时，根据动量定理可得F t m v ∆=∆，解得飞船的质量为F t

m v

∆=

∆，绕孤立星球运动时，根据公式2224Mm G m r r T π=，又22Mm v G m r r =，解得32v T

M G

π=，D 正确。

【2018·新课标全国II 卷】2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”， 其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11

226.6710N m /kg -⨯⋅。

以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约（ ） A ．93510kg /m ⨯

B ．123510kg /m ⨯

C ．153510kg /m ⨯

D ．183510kg /m ⨯

【答案】C

【解析】在天体中万有引力提供向心力，即2

22πGMm m R R T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，天体的密度公式34π3M M V R ρ==，结合这两个公式求解。设脉冲星值量为M ，密度为ρ，根据天体运动规律知：2

2

2πGMm m R R T ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

，34π3

M M

V R ρ=

=

，代入可得：153510kg /m ρ≈⨯，故C 正确；故选C 。 【技巧方法】

应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”

(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．

(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等． 【最新考向解码】

【例1】(2019·辽宁辽阳高三上学期期末)2018年7月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号甲运载火箭，成功发射北斗卫星导航系统的第32颗卫星。作为北斗二号卫星的“替补”星，这名北斗“队员”将驰骋天疆，全力维护北斗卫星导航系统的连续稳定运行。若这颗卫星在轨运行的周期为T ，轨道半径为r ，地球的半径为R ，则地球表面的重力加速度为( )

A.4π2r 3T 2R 2

B.4π2r 3T 2R

C.4π2r 3T 2r

D.4π2r 3T 2r 2 【答案】 A

【解析】 根据万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2，根据G Mm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2＝4π2r 3

T 2R 2，A

正确，B 、C 、D 错误。

【例2】(2019·福建三明高三上学期期末)2019年1月3日上午，嫦娥四号顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。地球和月球的半径之比为R R 0＝a ，表面重力加速度之比为g

g 0＝b ，

则地球和月球的密度之比为( )

A.a b

B.b

a C. a

b D. b a

【答案】 B

【解析】 根据GMm R 2＝mg 以及M ＝ρ·43πR 3，联立解得ρ＝3g 4πGR ，可得ρρ0＝g g 0·R 0R ＝b

a ，B 正确。

【微专题精练】

1.为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A 在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v ， 周期为T ；卫星B 绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n 倍．万有引力常量为G ，则下列计算不正确