2.1 单纯形法的矩阵描述

约束条件 BX B + NX N = BX B + N1 X N1 + S 2 X S2
C = (CB , CN ) = (CB , CN 1 , CS 2 ); A = ( B, N ) = ( B, N1 , S 2 )
将（2-2）式移项及整理后：
BX B = b − N 1 X N1 − S 2 X S 2 ; X B = B b − B N 1 X N1 − B S 2 X s 2 ; 目标函数： z = C B B b + ( C N1 − C B B N 1 ) X N1 + (C S 2 − C B B I ) X S 2
线性规划问题可表示为：
目标函数 max z = CB X B + CN X N = CB X B + CN1 X N1 + CS2 X S2 =b 非负条件 XB, XN ≥ 0 (2 − 1) (2 − 2) (3 − 2)
⎛ XB ⎞ ⎛ XB ⎞ ⎜ ⎟ X =⎜ ⎟ = ⎜ X N1 ⎟ ⎝ XN ⎠ ⎜ XS2 ⎟ ⎝ ⎠
换入变量的系数向量
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
矩阵关系式：
⎡0 ⎢ ⎣1 1 0
对应非基变量为松弛变量的单位 列所组成的非基矩阵
B −1 N 1 −1 C N − C B B N1
⎡ −z ⎤ ⎢X ⎥ −1 B I ⎤⎢ B ⎥ −1 ⎥ ⎢ X ⎥ −C B B I ⎦ N1 ⎢ ⎥ ⎢ X S2 ⎥ ⎣ ⎦ (2 − 7)
其中，I 为单位矩阵或单位列
−1 −1 −1 −1 −1 −1
令非基变量=0；由上式得到：
⎛ B b⎞ ⎟; X =⎜ 基可行解 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ −1 目标函数的值 z = C B B b
−1 (1)
X B = B −1b − B −1 N1 X N1 − B −1S 2 X s2 ;
z = CB B −1b + (CN1 − CB B −1 N1 ) X N1 + (CS2 − CB B −1 I ) X S 2
⎡ B −1b ⎤ =⎢ −1 ⎥ ⎣ −C B B b ⎦
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵 检验数
−1
XN
−1
Xs
−1
RHS
−1
B B =1 B N1 BI Bb −1 −1 −1 0 CN −CBB N1 −CBB I −CBB b
1
5. 而 所 有 松 弛 变 量 C S = 0 , 其 系 数 矩 阵 组 成 一 个 单 位 矩 阵 ，
（2）Θ规则表示为：
RHS值 表示选用>0的分量
⎡ ( B −1b ) i ⎤ ( B −1b ) l −1 ( B Pj ) i > 0 ⎥ = −1 θ = min ⎢ −1 ⎢ ( B Pj ) i ⎥ ( B Pj ) l ⎣ ⎦
对偶理论和灵敏度分析
2.1 单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题 : 目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
C 是1×n的行向量；X是n×1的列向量； A是m×n维的系数矩阵；b是m×1的列向量
给这线性规划问题的约约束条件加入松 弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
（1）目标函数Leabharlann Baidu非基变量的系数表示为：
目标函数 z = CB B −1b + (CN1 − CB B −1 N1 ) X N1 + (CS2 − CB B −1 I ) X S 2
1 . ( C N 1 − C B B − 1 N 1 ), 对 应 已 用 的 检 验 数 符 号 c j − z j j = N 1中 列 的 编 号 和 对 应 的 非 基 变 量 的 下 标 2 . ( C S 2 − C B B − 1 I ), 对 应 非 基 变 量 中 松 弛 变 量 在 目 标 函 数 中 系 数 ， 即 检 验 数 ;I为 单 位 矩 阵 或 单 位 列 3 . 因 为 C B − C B B − 1 B = 0, 基 变 量 X B 的 系 数 为 0， 即检验数为0 4 . 因 此 ， 检 验 数 也 可 统 一 表 示 为 ： C -C B B − 1 A 因 此 ， 其 检 验 数 可 表 示 为 -C B B − 1
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量 ⎛ X B1 ⎞ XB = ⎜ ⎟ 可包含原始变量的基变量和松弛变量 ⎜ XS ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ X N1 ⎞ X 非基变量： N = ⎜ ⎟; ⎜ XS ⎟ ⎝ 2⎠
相应有
系数矩阵A = ( B, N ) ; 其中N = ( N1 , S 2 ) ; ⎛ X S1 ⎞ 基变量 松弛变量：X S = ⎜ ⎟→ ⎜ X S ⎟ 非基变量 ⎝ 2⎠
⎛1 ⎜ I =⎜ ⎜0 ⎝
0⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎠
⎛ xs1 ⎞ ⎜ ⎟ xs 2 ⎟ XS = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xsm ⎠
若以Xs为基变量，并标记成XB
• 将系数矩阵（A，I）分为（B，N）两块 (可能的换列)。B是基变量的系数矩阵，N 是非基变量的系数矩阵。 ⎛ XB ⎞ 决策变量分为： X =⎜ ⎜X ⎟ ⎟ ⎝ N⎠ 将目标函数的系数C分为CB，CN ，分别对应 于基变量XB和非基变量XN。 C=（CB, CN）。