长江水质的评估

承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 刘诗朗
2. 肖仁波
3. 姜汉燚
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李琦玮（教练组）
日期：2011年 08月 20日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
长江水质量化评价及预测分析
一、摘要
本文分析评价了长江近年的水质情况，通过专家针对长江沿线17个观测站进行为期28个月的水质检测，最终确定出长江主要污染源，
针对模型一，模糊综合评价模型来评价长江水质。

由所给17个观测站28个月的水质数据，分别求出每个观测站水质处于各类污染的隶属度，建立单因子模糊评判矩阵，结合评价指标的权系数向量，求出反映17个观测站水质状况的模糊综合评判矩阵，并进行归一化处理。

求解得长江全流域1类水质断面占17.65% ，2类水质断面47.06%，3类水质断面23.53%，4类水质断面5.88%，5类水质断面5.88%，并得到各断面的水质情况。

针对模型二，改进稳态一维对流扩散水质模型，分别求出长江干流上六个江段高锰酸盐CODMn和氨氮N
3的污染量。

再结合支流的地理位置及支流观
NH
测站的污染浓度数据，分析相关图象，得出长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐和氨氮的污染源均主要分布在：湖北宜昌至湖南岳阳江段沿岸、重庆朱沱至湖北宜昌江段沿岸，以及岷江流域的四川乐山地区。

最后对模型也进行了适当的评价和提出合理的改进，祝愿我们的长江水质早日恢复生态、恢复绿色。

关键词：模糊评判矩阵归一化处理稳态一维对流扩散水质模型隶属度权重
二、问题的重述
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，以引起了政府部门和专家们的高度重视。

现已知长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据、干流上7个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）以及“2004
1995年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。

一般说来，江河自~
身对污染物都有一定的自然净化能力，反映这种能力的指标称为降解系数。

根据检测，主要污染物高锰酸钾盐指数和氨氮的降解系数可以考虑取2.0（单位：/1）。

给出国际）
天
GB《地表水环境质量标准》中的4个主要项目标（2002
3838
准限值（见附表），其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

现在我们就针对以下两个问题进行探讨与分析：
（1）对长江近两年多的水质情况做定量综合评价，并分析各地区水质污染状况。

（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸钾盐指数和氨氮的污染源主要在那些地区？
三、模型假设与符号说明
1.模型假设：
①长江干流的自然净化能力近似均匀，在任何情况下都保持恒定2.0。

②假设水质污染只考虑高锰酸钾盐指数和氨氮的污染源。

③假设长江降解系数为常数，与长江自身水质无关。

④长江各观测河段的水流水质状态稳定。

2.符号说明：
表3-1：符号说明
符号说明单位
Q水流量s
m/3
mg/
C污染物浓度L
W污染指标权重——
u 水流速 s m / x 河道长度 km
t
时间 s
k
降解系数 2.0 k
1/天
四、模型分析
水质的评价与预测的难点在于某观测点的水质状况一直处于动态变化之中，且在一定程度上受到上游水质的影响。

针对问题一，长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测情况是一个模糊概念，在进行长江水质综合评价时很难给出确切的表达，可以考虑利用模糊理论进行水质评价。

模糊综合评价就是由给出的评价标准和实测值，经过模糊变换，对待评价对象给出总的评价的一种方法。

建模时需要找出影响水质的各主要因素，确定评价因子集、评价集、隶属函数，然后通过计算各因素的权重和隶属度，得到综合隶属度，确定水质级别。

我们也可以通过图像更直观说明长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的情况。

表4-1：长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据分析
表4-2：重庆朱沱2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-3：湖北宜昌南京关2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-4：湖南岳阳城陵2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-5：江西九江河西水厂2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-6：安徽安庆皖河口2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-7：江西南京林山2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-8：四川乐山岷江大桥2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-9：四川宜宾姜沟2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-10：四川泸州沱江二桥2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-11：湖北丹江胡家岭2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-12：湖南长沙新港2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-13：湖南岳阳岳阳楼2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-14：湖北武汉宗关2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-15：江西南昌2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-16：江西九江蛤蟆石2003年6月-2005年9月水质污染情况
表4-17：江苏扬州三江营2003年6月-2005年9
月水质污染情况
针对问题二，要研究分析长江干流近一年多高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源地区，可考虑分两步的策略——
第一步：确定七个观测站之间受污染最严重的江段。

污染物在河流中符合一级反应动力学，可以建立稳定一维均匀河流水质模型，分别求出长江干流上六个江段高锰酸盐和氨氮的污染量（包含了该江段支流所汇入的污染、该江段沿岸产生的污染、上游污染经自然净化后剩余的污染）；
第二步：对于上一步中求得的污染严重的江段，进一步缩小范围确定主要污染源地区。

再结合支流、湖泊的地理位置及支流观测站的污染浓度数据，作出相关图象，进行分析。

表4-18： 长江干流七个受污染最严重的测站近一年多高锰酸盐指数和氨氮的情况
四川攀枝花水质柱形图
1234567
2003年6月2003年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月
时间
检测含量
CODMn NH3-N
四川朱沱水质柱形图
0123452003年
6月20
03年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月时间
检测含量
CODMn NH3-N
湖北宜昌南津关水质柱形图
12345672003年6月2003年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月
时间
检测含量CODMn NH3-N
湖南岳阳城陵矶水质柱形图
12345672003年6月2003年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月
时间
检测含量CODMn NH3-N
江西九江河西水厂水质柱形图
00.511.522.533.52003年6月20
03年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月时间
检测含量
CODMn NH3-N
安徽安庆皖河口水质柱形图
1234562003年6月2003年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月
时间
检测含量
CODMn NH3-N
江苏南京林山水质柱形图
0.511.522.533.542003年6月2003年8月2003年10月2003年12月2004年2月2004年4月2004年6月2004年8月2004年10月2004年12月2005年2月2005年4月2005年6月2005年8月
时间
检测含量CODMn NH3-N
五、模型的建立及求解
针对问题一，水质污染情况是一个模糊概念，在进行长江水质综合评价时很难给出确切的表达，可以考虑利用模糊理论进行水质评价[1]。

模糊综合评价是由给出的评价标准和实测值,经过模糊变换,对待评价对象给出总的评价的一种方法。

水质污染程度是一个模糊概念，在进行评价时很难给出确切的表达，应用模糊理论处理问题，评价结果比较合理、更加接近客观实际。

下面建立模糊综合评价模型来解决两年多的水质综合评价问题。

1. 建立模糊评判矩阵
记模糊评判矩阵为n m ij r R ⨯=)(，其中)(x a r ij ij =表示在第i 个观测站测得的处于第j 级污染程度的隶属度，隶属度是通过对隶属函数的计算来确定的，隶属函数一般采用“降半梯形”的函数。

由于劣V 类污染物指标较极端，我们根据标准将水质分成5级。

以溶解氧）（DO 为例，即溶解氧应有对应于5个级别的隶属函数。

以DO 的监测值为自变量x ,对第j 级别的隶属度为（水质标准见附录5）。

⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-<=5.7,15.76,5.1).6(6,0)(1x x x x DO
μ ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<--<<-=5.7,5,05.76,5.1/)5.7(65,5)(2x x x x x x x DO
μ ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<--<<-=6,3,065),6(53,2/)3()(3x x x x x x x DO
μ ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<--≤<-=5,2,053,2/)5(32,2)(4x x x x x x x DO
μ ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<--≤=3,032),3(2,1)(5x x x x x DO
μ , 将各监测断面的监测数据代入前面确定的隶属函数中，就可以计算其隶属度，进而建立每个断面的单因子模糊评价矩阵。

2. 确定评价指标的权系数向量
当对多个（m 个）目标进行综合模糊评价时，还要对各个目标分别加权。

权重是衡量因子集中某一因子对水质污染程度影响相对大小的量,权重系数越大,则该因子对水质的影响程度越大。

设第i 个目标权系数为W i ，则可得权系数向量
),....,,(21n W W W A =，满足
0,11
≥=∑=i m
i i
W W。

这里仅需要考虑
N NH CODMn DO -3,、这三种污染物对水质的影响，对它们赋予不同的权重W i 。

我们以污染物的超标情况决定权重，各因素的监测值相对于水质标准的超标越大,对污染的贡献越大,从而权重越大，可用下面的公式求权重系数：
①对于CODMn 和N NH -3指标：
i l =
i
i
S C ②对于DO 指标，因为于DO 与其它因素性质相反,实测DO 浓度大,说明水质污染不严重,水质好。

所以DO 的权重赋值取i i S C / 的倒数，即
i
i
i C S I =
其中，i l （3,2,1=i ）表示第i 种污染物的权重；i C 表示第i 种污染物的浓度实测均值；i S 为第i 种污染物的六个级别浓度标准限值的均值。

为了进行模糊复合运算，还必须对各因子权重进行归一化处理,即:
∑==
3
1
i i
i
i I
I W
根据各观测站中三种污染因素的实测浓度i C 和平均浓度i S ，得到了因素权重分配集X 的归一处理化结果（程序见附录3）,如下表：
表5-1： 三种因素权重的的归一化结果
观测站 溶解氧DO
高锰酸盐指数
CODMn
氨氮
N NH -3
1
0.5035
0.3223
0.1741
2 0.4650 0.250
3 0.2846 3 0.461
4 0.3244 0.2142 4 0.3942 0.372
5 0.2333 5 0.5561 0.3011 0.1428
6 0.5251 0.2898 0.1851
7 0.6066 0.2734 0.1200
8 0.344
9 0.2890 0.3661 9 0.3994 0.2820 0.3187 10 0.3558 0.2345 0.4096 11 0.5887 0.3072 0.1041 12 0.3504 0.1780 0.4716 13 0.3752 0.3761 0.2486 14 0.4971 0.3526 0.1505 15 0.1463 0.0557 0.7980 16 0.4312 0.3670 0.2018 17
0.4567
0.3229
0.2204
3.求模糊综合评判矩阵B
利用矩阵的模糊乘法得到模糊综合评判矩阵B ：
),,,(),,,(2121222
211121121n
mn
m m n n m b b b r r r r r r r r r W W W R A B
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋯=⋅=
经过归一化处理后得：
),...,
,
(
1
1
2
1
1
1∑∑∑====m
i i
n
m
i i m
i i b
b b b b b B
同理可以得出剩余16个观测站水质数据经归一化处理后所得的模糊综合评判矩阵172B B -,见下表：
表5-2： 17个观测站的归一化处理结果
1类2类3类 4 5所属类别四川攀枝花（干流）0.3803 0.2438 0.2438 0.1317 0 1
重庆朱沱（干流）0.4496 0.2752 0.2752 0 0 1
湖北宜昌（干流）0.3699 0.3699 0.2601 0 0 2
湖南岳阳（干流）0.3395 0.3395 0.3209 0 0 2
江西九江（干流）0.5000 0.5000 0 0 0 2
安徽安庆（干流）0.4061 0.4061 0.1878 0 0 2
江苏南京（干流）0.4447 0.4947 0.0606 0 0 2
四川乐山（支流）0.1120 0.2149 0.2234 0.2254 0.2244 4
四川宜宾（支流）0.2429 0.2429 0.1938 0.1938 0.1265 2
四川泸州（支流）0.2070 0.2090 0.1953 0.1807 0.2080 2
湖北丹江口（支流）0.6571 0.3429 0 0 0 1
湖南长沙（支流）0.2131 0.2131 0.2869 0.2869 0 3
湖南岳阳（支流）0.2714 0.2720 0.2720 0.1846 0 3
湖北武汉（支流）0.3049 0.3049 0.3049 0.0853 0 3
江西南昌（支流）0.0917 0.0917 0.1872 0.1293 0.5001 5
江西九江（支流）0.2701 0.2701 0.2299 0.2299 0 2
江苏扬州（支流）0.3071 0.3071 0.3071 0.0787 0 3 注：类别中的1—5级分别表示水质标准中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ类
4. 评价结果
图5-1：长江全流域水质比例
表5-3：长江全流域水质
1类 2类 3类 4类 5类 水质比例
17.65%
47.06%
23.53%
5.88%
5.88%
针对问题二，我们可以根据附件1的数据了解长江干流近一年多主要污染物高锰酸钾盐指数和氨氮的污染源含量的多少。

由问题模型分析和上表展现出7个测段污染最严重的情况，我们可以在污染源地区的确定分两步走：
1．确定七个观测站之间受污染最严重的江段 ① 稳态一维河流水质模型
由于江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，所以污染物在江河中迁移时，随着迁移距离的增大，浓度会不断下降。

其次水流速度对污染物的浓度也有明显的影响。

例如：水流速度很大时，许多污染物到下游时还不及降解，浓度变化缓慢。

基于上述分析，可利用污染物质在河流中运动变化的基本模型——“稳态一维对流扩散模型” [2]：
2122s s x
c
E x c u t c ++∂∂=∂∂+∂∂（1） 其中，c 为整个断面的平均浓度
u 为流速，
E 为离散系数
x 为河道长度
t 为时间
21s s 、分别反映内部降解变化和外部影响
由于长江水流状态一般为稳定、均匀流动状态，与江长相比，水面宽度很小，可认为污染物浓度在横断面上分布比较均匀，即对同一地点进行水质采样在无外界环境的影响下，可认为污染物浓度不随时间变化。

其次，因为长江水流状态稳定、均匀，可认为污染物浓度随迁移距离线性变化，且不受外部影响。

1s 与江水
的自然降解和污染物浓度有关。

所以一维对流扩散的水质模型可简化得到这里的稳定一维河流水质模型：
kc dx
dc
u
-=（2） 其中x 为河段长度 u 为河段平均流速 c 为污染物浓度 k 为降解解数 对（2）式分离变量积分得：
u
x k
e
c c -=0 （3）
其中0c 为初始位置的污染物浓度。

② 利用（3）式，建立反映六江段污染物总量的模型
考查干流上相邻两点间的污染情况，即在考虑自然降解的情况下这段流域上支流和干流的污染状况。

干流上各江段污染物总量可以表达为：
1
,)
()1()()()1()1(++--++-=i i i i u x x k
i i i i i e
C Q C Q L （4）
其中，)1()1(++i i C Q 表示干流上第1+i 个观察站（地区）的污染量，Q 表示水流量，C 为污染物浓度。

1
,)
()1()()(++--i i i i u x x k
i i e
C Q 表示干流第i 个观察站（地区）的污染经过自然降解到下一
个观测站（地区）时的剩余污染量。

由于所给数据为13个月的各观测点（干流上）的离散数据，考虑用13个月的污染物总合来表征各江段的污染状况。

利用（4）式分别对高锰酸盐指数和氨氮进行计算，结果：
表5-5： 长江六个江段的污染总量（单位：万吨）
江段 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7
CODMn 109.5481 118.8481 155.0080 100.6016 56.5220 105.8197 江段 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 NH3-N
9.5109
10.7537
15.0006
8.6236
4.0140
0.5338
由上表的数据可知：对于高锰酸盐）
（n CODM 和氨氮）（N NH -3两种污染，湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶江段的污染最严重，其次为重庆朱沱至湖北宜昌南津关，和四川攀枝花重庆朱沱。

2．缩小范围确定污染源
上文已经确定了长江上高锰酸盐）
（n CODM 和氨氮）（N NH -3两种污染最严重的江段。

为了确定具体的污染源地区，我们采用作图法： ① 两湖区进出口处污染比较
n CODM 浓度比较：
图5-2：两湖进出口n CODM 污染浓度比较
结论：
a. 洞庭湖出口处n CODM 浓度增大，从Ⅱ类水变成了Ⅲ类水。

但比照《地表水
环境质量标准》）（20023833-GB 可知，其仍属于可饮用水范围。

可见洞庭湖
湖畔工厂对洞庭湖水质中的n CODM 指标有清度污染。

由上文结果可分析得知——污染最严重的湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶江段的n CODM 主要污染源为该江段沿岸地区，而不是洞庭湖。

b. 鄱阳湖出入口的水质按照国家质量标准，均属于Ⅱ类，为可饮用水。

即鄱阳
湖湖畔基本无n CODM 污染。

NH3-N 浓度比较:
图5-3：两湖进出口N NH -3污染浓度比较
结论：
a. 洞庭湖出口处N NH -3浓度减小，从Ⅲ类水变成了Ⅱ类水。

但比照《地表水
环境质量标准》）（20023833-GB 可知，其仍属于可饮用水范围。

可见洞庭湖
湖畔工厂对洞庭湖水质基本没有N NH -3污染，湖水湖畔入口流域的N NH -3污染起到了净化作用。

由上文结果可分析得知——污染最严重的湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶江段的N NH -3主要污染源仍为该江段沿岸地区，而不是洞庭湖。

b. 鄱阳湖对上游N NH -3污染的净化作用更加明显。

分析可知鄱阳湖入口——江西南昌滁槎河段为N NH -3的主要污染源。

② 岷江流域两观测点污染比较
n CODM 浓度比较：
图5-4：四川乐山与四川宜宾n CODM 污染浓度比较
结论：近一年中，四川乐山的n CODM 污染浓度普遍高于四川宜宾，其中第1、11月属于污染状态。

N NH -3浓度比较：
图5-5：四川乐山与四川宜宾N NH -3污染浓度比较
注：“交汇前”指四川乐山观测站，“交汇后”指四川宜宾观测站
结论：近一年中，四川乐山的N NH -3污染浓度普遍高于四川宜宾，且第1、4、10、11月这四个月份均属于污染状态。

综上所述：长江干流近一年多高锰酸盐)(n CODM 和氨氮)3(N NH -的主要污染源是：湖北宜昌至湖南岳阳江段沿岸、岷江流域的四川乐山地区、重庆朱沱至湖北宜昌江段沿岸。

六、模型的验证
针对模型一，在糊评价矩阵中将各监测断面的监测数据代入前面确定的隶属函数中，就可以计算其隶属度，进而建立每个断面的单因子模糊评价矩阵。

通过用MATLAB 软件操作进行归一化处理，显示结果正确。

针对模型二，稳态一维河流水质模型。

我们将求解的结果u x k e
c c -=0代入简化模型kc dx dc u -=中，得到结果正确 七、模型的误差分析
综合水质标识指数较为完整的标识了总体水质类别，水质情况，它急能定量评价，也能定性评价；即不会因为个别水质指标较差就否定整体水质，又能对河流整体水质作出合理评价；既可以在同一类别中比较水质优劣，也可以比较不同劣类水的污染严重程度。

此模型，对于不太离散的问题情况分析较为精确，但对于离散的问题，使用该模型时，就会出现失真的情况。

八、模型的评价及改进方法
优点：
1．为了对长江近两年多的水质情况进行定量的综合评价，运用模糊综合评价模型，针对主要影响水污染的三个指标（溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮），对两年来17个观测站（地区）的水污染状况进行了定量分析。

由于水质污染程度是一个模糊的概念，用隶属度来划分分段界限比较合适，因此评判
时用了单因数评价矩阵，结果令人满意。

2．长江水质的污染程度日趋严重，为了能有效地治理长江的污水，必须对其主要污染源进行治理。

通过修正稳态一唯对流扩散水质模型，得到在自然降解情况下的任意点的污染物浓度计算公式，由此建立了适合本题的稳态一唯水质模型，得出了六段干流的污染情况。

在此基础上结合图形，进一步确定了污染物的主要污染源。

不足之处及改进方向：
1．建立稳态一唯水质模型时，我们假设了任意观测点的污染物浓度不在断面点处发生对流扩散，即与此观测点时间无关。

模型改进方向：可以考虑时间因素，建立二阶偏微分方程模型。

九、模型推广
本论文叙述看似覆盖面很广.其实最终模型的建立就是一个把面转换成点的过程，通过对长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测和干流上污染最严重的六个江段的水质数据分析，从而说明长江水质严重变坏。

这是一个很典型的生物极端取样法，因此它可以应用于工程试验采样、农作物的生长管理、气象预报等各个局域。

参考文献：
[1] 谢季坚、刘承平，模糊数学方法及其应用，武汉：华中科技大学出版社，2000年。

[2] 徐祖信等，基于数学模型的苏州河上游和支流水质对干流的影响分析，水动力学研究与发展，A辑第19卷第6期，733——743，2004年。

[3] 邓聚龙，灰预测与灰决策，武汉：华中科技大学出版社，2000年。

[4] 郑阿奇，MATLAB实用教程，北京：电子工业出版社，2004年。

附录：。