高等数学证明题

1. 证明：函数)4)(3)(2()(---=x x x x f 在区间)4,2(内至少存在一点ξ，使0)(=''ξf 。

证明：)(x f 在]3,2[上连续，在)3,2(内可导，且0)3()2(==f f ，由罗尔定理，至少存在一

点)3,2(1

∈ξ，使0)(1='ξf ，同理，至少存在一点)4,3(2∈ξ，使得0)(2='ξf ；)(x f '在

],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点)4,2(),(21⊂∈ξξξ，

使得

0)(=''ξf 。

2. 设f 为[,]a b 上的二阶可导函数，()()0f a f b ==, 并存在一点(,)c a b ∈，使得()0f c >. 证

明至少存在一点(,)a b ξ

∈，使得''()0f ξ>. (10分)

证明：考虑区间[,]a c ，则f

在[,]a c 满足Lagrange 中值定理的条件，则存在1(,)a c ξ∈，使得

1()()

'()0f c f a f c a

ξ-=

>-. (3分)

同理可证存在2(,)c b ξ∈, 使得

2()()

'()0f b f c f b c

ξ-=

<-. (5分)

再考虑区间12[,]ξξ, 由条件可知导函数'()f x 在12[,]ξξ上满足

Lagrange 中值定理的条件，则存在

12(,)ξξξ∈，

使得

2121

()()

''()0f f f ξξξξξ-=

>-. 得证.

3. 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可导,且

0)(≤'x f ⎰-=

x

a

dt t f a x x F )(1)(

证明在],[b a 内有0)(≤'x F

证明在],[b a 内有0)

(≤'x F

])()()[()

(1

)(2⎰---=

'x a dt t f x f a x a x x F (2分) =

)]()()()[()(1

2

ξf a x x f a x a x ---- ]),[],[(b a x a ⊂∈ξ(2分)

=

)(ηξ

f a

x x '-- ]),[),((b a x ⊂∈ξη

0)(≤'∴x F (2分)

4. 证明:当0>x 时,x x x arctan )1ln()1(>++

令

x x x x f arctan )1ln()1()(-++=

当0>x 时,011

1)1ln()(2

>+-

++='x

x x f 所以

)(x f 在 ),0(+∞ 上单调增 (3分) 又0)0(=f (

0)(>∴x f 即当0>x 时,x x x arctan )1ln()1(>++(3分)

5. 证明：当1x >时，13x

>-

。

答案：证：令1()3f x x ⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

，则

'

2211

()(1)f x x

x =

-=，

因为()f x 在[)1,+∞连续，并且在()1,+∞内'

()0f x >，因此()f x 在

[)1,+∞上单调增加，从而当1x >时，()f x (1)0f >=。这就得到

1

3x

>-

(1)x >。 6. 应用函数的单调性证明不等式：2

ln(1),0.2

x x x x +>-> (8分) 证明: 令

2

()ln(1),2

x f x x x =+-+ (2分)

则

()f x 在∞[0,+)上连续，在∞(0,+)上可导，且

2

(0)0,'()0,0.1x f f x x x

==>>+ 所以

()f x 在∞[0,+)严格单调递增，故()(0)0,0.f x f x >=> (7分). 即 2

ln(1),0.2

x x x x +>-> (8分)

7. 证明： 设01

32210=+++++

n a

a a a n ，证明函数f （x ）=n n x a x a a +++ 10在（0，1）内至少有一个零点。（6分） 证明：法一利用定积分： 假设函数f （x ）=n n x a x a a +++ 10

在（0，1）上没有零点

则因f （x ）在[0，1]上连续，姑f （x ）恒为正或负 ————（1分） 从而由定积分性质得：

⎰

=1

)(dx x f 01]1

32[132210++++++

n n x n a

x a x a x a

=132210

+++++

n a

a a a n

————（4分）

为正或为负，这与假设矛盾。

所以函数f （x ）在（0，1）上至少有一个零点。# ——（1分） 法二利用罗尔定理

设

F （x ）=

1322101

32++++++

n n x n a

x a x a x a ，则

=

)('x F f （x ）

=n n x a x a a +++ 10

——（2分）

显然F （x ）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F （0）=F （1）=0 故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点ξ，使0)('=ξF ———（3分）

即

0)(=ξf 。因此，函数f （x ）在（0，1）上至少有一个零点。# ———（1分）

8. 证明：已知)

x (f

2

a )x (=ϕ，且

a

ln )x (f 1)x (f =

'，证明)x (2)x (ϕ=ϕ' 证明：)x (ϕ'=)x (f )x (f 2a ln a )

x (f

2

'⋅----------------------4分

=2)x (ϕa

ln )x (f 1)

x (f a ln ⋅----------------------3分 =)x (2ϕ---------------------------3分

9. 若nx n

a x a x a x f n sin 2sin 2sin )(2

1+++

= ， 求证：存在),0(π∈c ，使得 0cos 2cos cos 21=+++nc a c a c a n

证：因为

)(x f 在],[b a 上连续，在(a,b)内可导，且

nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21'+++= （2分）, )(0)0(πf f ==（3分）所以，由Rolle

中值定理得到: f

‘

(x)在

)

,(b a 内至少有一个零点（4分），即至少存在一点c

)

,0(π∈, 使得

0cos 2cos cos 21=+++nc a c a c a n

10. 证明:|||sin sin |y x y x -≤-

证：由微分中值定理得到：ξcos )(sin

sin y x y x -=-, ξ在x 与y 之间（3分）