数学建模插值方法

f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
x4 f ( x4 ) f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x , x , x , x ] f [ x , x , x , x , x ]
例2:已知
x y
1 0
2 -5
3 -6
4 3
( x0 , y0 ) = ( 2, 0) , ( x1 , y1 ) = ( 4, 3) , ( x2 , y2 ) = ( 6, 5) , ( x3 , y3 ) = (8, 4) , ( x4 , y4 ) = (10,1) ,
(x − 4)(x − 6)(x −8)(x −10) 1 l0 (x) = = (x − 4)(x − 6)(x −8)(x −10) (2 − 4)(2 − 6)(2 −8)(2 −10) 384
a0 , a1 , a2 ,L an
为待定系数.利用插值条件 为待定系数 利用插值条件 Pn ( xi ) = yi 组 Aa = b ,其中
,我们得到一个线性代数方程
1 x0 1 x1 A= M M 1 xn
L x0 n a0 a L x1n , a = 1, L M M L xn n an
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解:
xi f ( xi )
1 2 3 4 0 -5 -6 3
一阶差商
二阶差商
三阶差商
-5 -1 9
2 5
1
由上述差商表对角线上取得的值
f ( x0 ) = 0, f [ x0 , x1, x2 ] = 2,
则牛顿三次插值多项式为
f [ x0 , x1 ] = −5, f [ x0 , x1, x2 , x3 ] = 1,
2
2
x − x1 ' x − x0 ' + ( x − x0 ) x − x y0 + ( x − x1 ) x − x y1 0 1 1 0
2
2
*多项式插值的问题
前面介绍了构造插值公式的方法， 前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它 们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时， 们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总 的绝对值小一些， 希望插值公式余项 R(x) 的绝对值小一些，即使得 逼近的精度好。从表达式看， 逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插值多项式 的次数便可达到目的，但实际上并非如此。 的次数便可达到目的，但实际上并非如此。
(2) Newton插值公式 插值公式
由差商定义 ∀x ∈ [a, b]
f ( x) = f ( x0 ) + f [ x, x0 ]( x − x0 )
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + f [ x, x0 , x1 ]( x − x1 ) LL
f [x, x0 ,Lxn−1] = f [x0 , x1,Lxn ] + f [x, x0 , x1,Lxn ](x − xn )
二、存在性与唯一性
定理1 设 x0 , x1 L x n 为给定的彼此互异的 n + 1 个插值 定理 节点， 节点，则存在唯一的次数不超过 n 的多项式 Pn (x) ，满足 条件
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, L n .
证明: 证明
设
Pn = a0 + a1 x + a2 x 2 +L an x n , 其中
y0 y b = 1 M yn
观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A 观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A 的行列式 为 Det ( A) =
0≤ j < i ≤ n
∏
由定理中条件,插值结点为彼此互异的, ( xi − x j ) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行
把以上各式由后向前代入,可得 把以上各式由后向前代入 可得
Nn (x) = f (x0) + f [x0, x1](x − x0) +L+ f [x0, x1,Lxn ](x − x0)L(x − xn−1) Rn (x) = f (x) − Nn (x) = f [x, x0 , x1,Lxn ](x − x0 )L(x − xn )
差商表
xk f ( xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x −10) 1 l3 (x) = = − (x − 2)(x − 4)(x − 6)(x −10) (8 − 2)(8 − 4)(8 − 6)(8 −10) 96
(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) 1 l4 (x) = = (x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8) (10 − 2)(10 − 4)(10 − 6)(10 − 8) 384
′ 易证 ωn +1 ( xi ) = ( xi − x0 ) K ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) L ( xi − xn ) ,
从而Lagrange插值多项式可表示为 从而Lagrange插值多项式可表示为 Lagrange
ωn +1 ( x) Pn ( x) = ∑ yi ′ ( x − xi )ωn +1 ( xi ) i =0
∑
i=0
y i li ( x )
( x − x0 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn ) , i = 0,1,L n ( xi − x0 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L ( xi − xn )
引入记号 ωn +1 ( xi ) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn ) ,
于是有
P4 ( x) = y0 l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2 l2 ( x) + y3l3 ( x) + y4 l4 ( x)
1 3 = (x − 4)(x −6)(x −8)(x −10) − (x − 2)(x −6)(x −8)(x −10) 384 96 5 4 + (x − 2)(x − 4)(x −8)(x −10) − (x − 2)(x − 4)(x −6)(x −10) 64 96 1 + (x − 2)(x − 4)(x −6)(x −8) 384
6
5
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 缺点 当增加或减少插值节点时 基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用 构造 不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法 插值法 （1）差商定义 ）
定义 称 f [ xi , x j ] =
f ( xi ) − f ( x j ) xi − x j
五、 Hermite插值多项式 插值多项式
给定的是节点上的函数值和导数值 问题： 问题：已知
f ( xi ) = yi
f ′( xi ) = yi′
i = 0,1
求3次多项式 H 3 ( x) ，使得 次多项式
H ( xi ) = yi
H ′( xi ) = yi′
i = 0,1
x − x0 x − x1 x − x1 x − x0 H 3 ( x ) = 1 + 2 x − x y0 + 1 + 2 x − x x − x y1 x1 − x0 0 1 0 1 1 0
function yi=lagrcz(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); for s=1:m yi(s)=0; for i=1:n w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n if (j~=i) w(i)=(xi(s)-x(j))*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j))*dw(i); end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); end end
, i ≠ j 为 f ( x) 在 xi , x j
两点处的一阶差商 Baidu Nhomakorabea点处的一阶差商. 一阶差商
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] = x0 − x2
二阶差商
f [ x0 , x1 L xn −1 ] − f [ x1 , x2 ,L xn ] n 阶差商 f [ x0 , x1 ,L xn ] = x0 − xn
插值部分
一、问题提出
为给定的节点， 设 x0 , x1 L xn 为给定的节点，yi = f ( xi ) ，i = 0,1, L n 为相应的函数值， 为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) = yi，
i = 0,1, L n .
这类问题称为插值问题。 称为被插值函数 P 被插值函数， 这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数， n ( x) 称 插值问题 插值函数， 称为插值节点 为插值函数， x0 , x1 L xn 称为插值节点
n
（2）插值误差估计 ）
定理2 上连续， 内存在, 定理 设 f ( n ) ( x) 在 [a, b] 上连续， ( n+1) ( x) 在 (a, b) 内存在 f 节点 a ≤ x0 < x1 < L < x n ≤ b ， n (x) 是拉格朗日插值多项 P 式，则对任意 ∀x ∈ [ a, b] , 插值余项
插值与拟合
前言
函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的 函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算 多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只 能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的 函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个 想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的 近似 。 如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之 为插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单 的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)! 其中 ξ ∈ ( a, b) 且依赖于 x .
例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多 项式。 解：用4次插值多项式对5个点插值
N n ( x) = 0 − 5( x − 1) + 2( x − 1)( x − 2)
+ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)
= x3 − 4 x 2 + 3
function yi=newtcz(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); nt=zeros(n,n); nt(:,1)=y'; for i=2:n for j=i:n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-(i-1))); end End for i=1:n nt(i,i) End for i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1 t=t*(xi(i)-x(s)); end yi(i)=yi(i)+t*nt(j,j); end end
(x − 2)(x − 6)(x − 8)(x −10) 1 l1(x) = = − (x − 2)(x − 6)(x − 8)(x −10) (4 − 2)(4 − 6)(4 − 8)(4 −10) 96 (x − 2)(x − 4)(x − 8)(x −10) 1 l2 (x) = = (x − 2)(x − 4)(x − 8)(x −10) (6 − 2)(6 − 4)(6 − 8)(6 −10) 64
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 存在唯一解. 列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa = b 存在唯一解. Cramer
三、Lagrange插值法 插值法
插值多项式可以表示为 （1）Lagrange插值多项式可以表示为 ） 插值
n
Pn ( x ) =
li ( x) =