离散数学集合论
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Th3.2 对任意集合A, A 。
证明： 是由全体对象组成集合， 所以任给A,必有A 。
Th3.3设A, B,C为任意集合，若A B, B C,则A C。
证明：任意x A,由A B,可得x B，又由B C,可得x C, 所以A C得证。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
Th3.4 对任意集合A, A。（即空集是任何集合的子集）
2007年6月
楚雄师范学院计科系
B 外延性定理：集合 A 和集合 相等当且仅当它们具有相同的元素。
即A=B当且仅当对任意元素x，若x A,则必有x B； 反之，若x B,则必有x A。
定义3.2 集合A称为集合B子集，记A B,要求对任给x A, 一定有x B。
集合A不是集合B的子集，记A B,要求找到x A但x B。
楚雄师范学院计科系
例4 A {x x是偶数} B {x x是为整数} C {x x是八进制的一位数} {0，1，2，3，4，5，6，7} D {x x 4且x为奇数} {3， 2，1，0，1，2，3}
（3）归纳法
2007年6月
楚雄师范学院计科系
（3）归纳法 1. 基础
2007年6月
楚雄师范学院计科系
定义3.1 空集
全集 有限集 无限集 有限集的基数：有限集中成员的个数
如集合A的基数记为 A
常见集合的字母表示： N, I, I ,Q, R,C Nn {0，1，2，3，L ，n 1}, Nn是前n个自然数的集合。
例5、对例1中（1）-（6）进行分析区分有限集和无限集。
例6、区分两个集合，及{}。
（5）方程x(x2 2x 1) 0的所有根组成的集合。
（6）方程x2 2x 1 0的根的集合。
在实数集上
在复数集上{ -1+ 3i ,-1- 3i }
2
2
（7）好书全体。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
通常用大写字母A, B,C表示集合，用小写字母a,b, c表示集合中 的元素。
集合与元素之间关系有且仅有两种，a A及a A。两者必居其 一，这是集合论对其元素的确定性要求。
例如：1，1，1，1 1，1
Th3.1 对给定集合A, B, A B当且仅当A B且B A。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
证明：（1）必要性：已知A B, 欲证A B且B A。已知A B,由外延性 公理，得它们有相同元素，从而可知A B且B A；
（2）充分性：已知A B且B A，可知集合A和B有相同的元素， 又由外延性公理得已知A B。
本章只讨论集合论中的基本概念和集合运算，不涉及公理化集合论和 抽象集合论体系。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
§3.1 集合的概念及表示
集合是由确定的，互相识别的，并且作整体识别的一些对象组成总体， 组成集合的对象，称为集合的成员或元素。
例1 （1）北洋大学全体学生。 （2）全体正整数。 （3）本书中所有汉字。 （4）获1998年诺贝尔文学奖的作家。
离散数学
第三章 集 合 论
2007年6月
楚雄师范学院计科系
第三章 集 合 论
§3.1 集合的概念及表示 § 3.2 并 、交 、差 、补运算 §３.3 序偶与笛卡尔积 §3.4包含排斥原理
2007年6月
楚雄师范学院计科系
集 合 论：
集合论是一门研究数学基础的学科，其理论产生于16世纪，当时只是 为了微积分的需要。人们对数集进行了研究，19世纪以来，康托尔（德国 数学家）对任意元素的集合进行了系统的研究，人们称康托尔开创的集合 理论为朴素集合论，因为他没有对集合论作完全公理化描述，而导致了理 论的不一致，从而产生悖论，为弥补朴素集合论的不足，本世纪出现各种 公理化集合论体系，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，在此 基础上集合论与逻辑学相融合并迅速发展，逐步形成了公理集合论和抽象 集合论。
例：A={a,b,c},
(A)=,{a},{b},{c},{a,b},{a, c},{b, c},{a,b, c}
2007年6月
楚雄师范学院计科系
Baidu Nhomakorabea
§ 3.2 集合运算
并 、交 、差 、补运算
定义3.5 A、B为任意集合
1、A B x x A或x B 2、A B x x A且x B
A B ，则称A与B不相交，此时A与B没有共同元素。
例如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9
（b）例举够多的元素，以反映 A 中成员特征。
A L ,-3,-2,-1,1,2,3L B L , 4, 2, 0, 2, 4L （2）描述法：将 A 中元素的特征用一个性质来描述。
A {x P(x)} P(x) : 表示x满足性质P。
2007年6月
例7 A a,b,c，则A的子集为： ,a ,b ,c ,a, b ,a, c ,b, c ,a, b, c。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
定义3.3 集合A是集合B的真子集，A B。即首先A B且 存在x B但x A。
定义3.4 给定集合A，由A的所有子集为元素组成的集合
称为集合A的幂集。记为 A。
证明：（反证法）假设 A，于是应有元素x ，但x A， 而x 与中没有任何元素相矛盾，因此 A。
Th3.5 空集是唯一的。
证明：（反证法）设有空集1，2，则根据定理4，应有1 2和 2 1，从而由Th1知1 2。
Th3.6 A n,那么A的子集个数为2n。
证明：1 Cn1 Cn2 L Cnn1 Cnn (11)n 2n
注1、集合中元素必须各不相同，否侧被视为同一元素，集合中 的元素之间顺序没有规定。
注2、集合中元素因条件不同而有所变化，如（6）。 注3、集合中的元素可以是集合。
例2 、解放军理工大学的所有球队的集合。
例3、 a，b，c，b
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集合的表示
（1）例举法
（a）将 A 中元素一一例举（对有限集而言）
3、A B x x A且x B 4、A U A x x U且x A
例6、U=0，1，2，3，4，L ，9，A 2, 4, B 4,5, 6, 7
计算： A B，A B，A B，B A，U -A,U B, A。
证明： 是由全体对象组成集合， 所以任给A,必有A 。
Th3.3设A, B,C为任意集合，若A B, B C,则A C。
证明：任意x A,由A B,可得x B，又由B C,可得x C, 所以A C得证。
2007年6月
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Th3.4 对任意集合A, A。（即空集是任何集合的子集）
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B 外延性定理：集合 A 和集合 相等当且仅当它们具有相同的元素。
即A=B当且仅当对任意元素x，若x A,则必有x B； 反之，若x B,则必有x A。
定义3.2 集合A称为集合B子集，记A B,要求对任给x A, 一定有x B。
集合A不是集合B的子集，记A B,要求找到x A但x B。
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例4 A {x x是偶数} B {x x是为整数} C {x x是八进制的一位数} {0，1，2，3，4，5，6，7} D {x x 4且x为奇数} {3， 2，1，0，1，2，3}
（3）归纳法
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（3）归纳法 1. 基础
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定义3.1 空集
全集 有限集 无限集 有限集的基数：有限集中成员的个数
如集合A的基数记为 A
常见集合的字母表示： N, I, I ,Q, R,C Nn {0，1，2，3，L ，n 1}, Nn是前n个自然数的集合。
例5、对例1中（1）-（6）进行分析区分有限集和无限集。
例6、区分两个集合，及{}。
（5）方程x(x2 2x 1) 0的所有根组成的集合。
（6）方程x2 2x 1 0的根的集合。
在实数集上
在复数集上{ -1+ 3i ,-1- 3i }
2
2
（7）好书全体。
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通常用大写字母A, B,C表示集合，用小写字母a,b, c表示集合中 的元素。
集合与元素之间关系有且仅有两种，a A及a A。两者必居其 一，这是集合论对其元素的确定性要求。
例如：1，1，1，1 1，1
Th3.1 对给定集合A, B, A B当且仅当A B且B A。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
证明：（1）必要性：已知A B, 欲证A B且B A。已知A B,由外延性 公理，得它们有相同元素，从而可知A B且B A；
（2）充分性：已知A B且B A，可知集合A和B有相同的元素， 又由外延性公理得已知A B。
本章只讨论集合论中的基本概念和集合运算，不涉及公理化集合论和 抽象集合论体系。
2007年6月
楚雄师范学院计科系
§3.1 集合的概念及表示
集合是由确定的，互相识别的，并且作整体识别的一些对象组成总体， 组成集合的对象，称为集合的成员或元素。
例1 （1）北洋大学全体学生。 （2）全体正整数。 （3）本书中所有汉字。 （4）获1998年诺贝尔文学奖的作家。
离散数学
第三章 集 合 论
2007年6月
楚雄师范学院计科系
第三章 集 合 论
§3.1 集合的概念及表示 § 3.2 并 、交 、差 、补运算 §３.3 序偶与笛卡尔积 §3.4包含排斥原理
2007年6月
楚雄师范学院计科系
集 合 论：
集合论是一门研究数学基础的学科，其理论产生于16世纪，当时只是 为了微积分的需要。人们对数集进行了研究，19世纪以来，康托尔（德国 数学家）对任意元素的集合进行了系统的研究，人们称康托尔开创的集合 理论为朴素集合论，因为他没有对集合论作完全公理化描述，而导致了理 论的不一致，从而产生悖论，为弥补朴素集合论的不足，本世纪出现各种 公理化集合论体系，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，在此 基础上集合论与逻辑学相融合并迅速发展，逐步形成了公理集合论和抽象 集合论。
例：A={a,b,c},
(A)=,{a},{b},{c},{a,b},{a, c},{b, c},{a,b, c}
2007年6月
楚雄师范学院计科系
Baidu Nhomakorabea
§ 3.2 集合运算
并 、交 、差 、补运算
定义3.5 A、B为任意集合
1、A B x x A或x B 2、A B x x A且x B
A B ，则称A与B不相交，此时A与B没有共同元素。
例如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9
（b）例举够多的元素，以反映 A 中成员特征。
A L ,-3,-2,-1,1,2,3L B L , 4, 2, 0, 2, 4L （2）描述法：将 A 中元素的特征用一个性质来描述。
A {x P(x)} P(x) : 表示x满足性质P。
2007年6月
例7 A a,b,c，则A的子集为： ,a ,b ,c ,a, b ,a, c ,b, c ,a, b, c。
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楚雄师范学院计科系
定义3.3 集合A是集合B的真子集，A B。即首先A B且 存在x B但x A。
定义3.4 给定集合A，由A的所有子集为元素组成的集合
称为集合A的幂集。记为 A。
证明：（反证法）假设 A，于是应有元素x ，但x A， 而x 与中没有任何元素相矛盾，因此 A。
Th3.5 空集是唯一的。
证明：（反证法）设有空集1，2，则根据定理4，应有1 2和 2 1，从而由Th1知1 2。
Th3.6 A n,那么A的子集个数为2n。
证明：1 Cn1 Cn2 L Cnn1 Cnn (11)n 2n
注1、集合中元素必须各不相同，否侧被视为同一元素，集合中 的元素之间顺序没有规定。
注2、集合中元素因条件不同而有所变化，如（6）。 注3、集合中的元素可以是集合。
例2 、解放军理工大学的所有球队的集合。
例3、 a，b，c，b
2007年6月
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集合的表示
（1）例举法
（a）将 A 中元素一一例举（对有限集而言）
3、A B x x A且x B 4、A U A x x U且x A
例6、U=0，1，2，3，4，L ，9，A 2, 4, B 4,5, 6, 7
计算： A B，A B，A B，B A，U -A,U B, A。