离散数学自学考试真题附答案打印版

全国2002年4月
离散数学试题
课程代码：02324
一、单项选择题(本大题共15小题，每
小题1分，共15分)在每小题列出的
四个选项中只有一个选项是符合
题目要求的，请将正确选项前的
字母填在题后的括号内。

1.一个连通的无向图G，如果它的所有
结点的度数都是偶数，那么它具有
一条( )
A. 汉密尔顿回路
B.欧拉回路
C. 汉密尔顿通路
D.初级回路
2.设G是连通简单平面图，G中有11
个顶点5个面，则G中的边是
( )
A.10
B.12
C.16
D.14
3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a
∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是
( )
A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D.(b∨c)∧(a∨c)
4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则
G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G
的子群是()
A.<{1}, ·>
B.〈{-1}, ·〉
C.〈{i}, ·〉
D.
〈{-i},·〉
5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集
为P(A),+、-、/为数的加、减、除
运算，∩为集合的交运算，下列系
统中是代数系统的有()
A〈.Z，+，/〉 B.
〈Z，/〉
C〈.Z，-，/〉 D.
〈P(A)，∩〉
6.下列各代数系统中不含有零元素
的是() A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数
的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩
阵集合，*是矩阵乘法运算
C.〈Z，Z是整数集，定义为
x xy=xy, x,y∈Z
D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法
运算
7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关
系图如下：
R具有的性质是
A.自反性
B.对称性
C.传递性
D.反自反性
8.设A={a,b,c} ，A 上二元关系
R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则
关系R的对称闭包S(R)是( )
A.R∪IA
B.R
C.R∪{〈c,a〉}
D.R ∩IA
9.设X={a,b,c},Ix 是X上恒等关系，
要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，
〈c,a〉，
〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R
应取( )
A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝
B.{〈c,b〉，〈b,a〉}
C.{ 〈c,a 〉，〈b,a 〉}
D.{〈a,c〉，〈c,b〉}
10.下列式子正确的是()
A. ∈
B.
C.{ }
D.{ }∈
11.设解释R如下：论域D为实数集，
a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y. 下列
公式在R下为真的是( )
A.( x)( y)( z)(A(x,y)) →
A(f(x,z),f(y,z))
B.( x)A(f(a,x),a)
C.( x)( y)（A(f(x,y),x))
D.( x)( y)(A(x,y) →A(f(x,a),a))
12.设B是不含变元x的公式，谓词公
式(x)(A(x)→B)等价于()
A.( x)A(x)→B
B.( x)A(x)→B
C.A(x)→B
D.( x)A(x)→( x)B
13. 谓词公式( x)(P(x,y)) →
(z)Q(x,z)∧(y)R(x,y)中变元x()
A.是自由变元但不是约束变元
B.既不是自由变元又不是约束变元
C.既是自由
变元又是
约束变元
D.是约束变
元但不是
自由变元
14.若P：他
聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，
但不用功”，可符号化为()
A.P∨Q
B.P∧┐Q
C.P→┐Q
D.P ∨┐Q
15.以下命题公式中，为永假式的是
( )
A.p→(p∨q∨r)
B.(p→┐p)→┐p
C.┐(q→q)∧p
D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
二、填空题(每空1分，共20分)
16.在一棵根树中，仅有一个结点的
入度为______，称为树根，其余
结点的入度均为______。

17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，
〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵
MR中m24=______,m34=______。

18.设〈s,*〉是群，则那么s中除
______
外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉
有零元，则|s|=______。

19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则
〈P(A)，〉是格，若 x,y∈P(A),
则x,y最大下界是______，最小上
界是______。

20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意
两个不同的x1和x2，它们的象y1和
y2也不同，我们说f是______函数，
如果ranf=Y，则称f是______函数。

21.设R为非空集合A上的等价关系，
.. ..
其等价类记为〔x〕R。

x,y∈A，若
〈x,y〉∈R，则
〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式( x)( y)(A(x) ∧
B(y)) ( x)A(x) ∧( y)B(y) 成
立的条件是______不含有y，______
不含有x。

23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，
则命题“所有的人都是要死的”可
符号化为( x)______,其中量词
( x)的辖域是______。

24.若H1∧H2∧⋯∧Hn是______，则称
H1,H2,⋯Hn是相容的，若H1∧H2∧⋯
∧H n是______，则称H1,H2,⋯Hn是
不相容的。

25.判断一个语句是否为命题，首先要
看它是否为，然后再看
它是否具有唯一的。

三、计算题 (共30分)
26.(4 分)设有向图G=(V,E)如下图所
示，试用邻接矩阵方法求长度为2的
路的总数和回路总数。

27.(5) 设A={a,b},P(A) 是A的幂集，
是对称差运算，可以验证<P(A)，>
是群。

设n是正整数，求
({a }-
1{b}{a}) n
{a
} -n{b}n{a}n
28.(6
分)设
A={1,2,3,4,5},A 上偏序
关系
R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，
〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪
IA;
(1)作出偏序关系R的哈斯图
(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最
小元，极大、极小元，上界，下确
界，下界，下确界。

29.(6 分)求┐(P→Q) (P→┐Q)的主
合取范式并给出所有使命题为真
的赋值。

30.(5分)设带权无向图G如下，求G的
最小生成树T及T的权总和，要求写
出解的过程。

31.(4 分)求公式┐((x)F(x,y)→
( y)G(x,y))∨(
x)H(x
) 的前束范
式。

四、证明题(共20 分)
32.(6 分)设T是非平凡的无向树，T中
度数最大的顶点
有2个，它们的度
数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2
片树叶。

33.(8 分)设A是非空集合，F是所有从
A到A的双射函数的集
合，是函数
复合运算。

证明：〈F, 〉是群。

34.(6 分)在个体域 D={a1,a2,⋯，an}中
证明等价式：
( x)(A(x) →B(x)) ( x)A(x)
→(x)B(x)
五、应用题(共15分)
35.(9 分)如果他是计算机系本科生或
者是计算机系研究生，那么他一定
学过DELPHI语言而且学过C++语言。

只要他学过DELPHI语言或者
C++语言，那么他就会编程序。

因此
如果他是计算机系本科生，那么
他就会编程序。

请用命题逻辑推
理方法，证明该推理的有效结论。

36.(6 分)一次学术会议的理事会共有
20个人参加，他们之间有的相互
认识但有的相互不认识。

但对任
意两
个人，他们各自认识的人的数目之
和不小于20。

问能否把这20个人排
在圆桌旁，使得任意一个人认识其
旁边的两个人?根据是什么?
答案：
一、单项选择题(本大题共15小题，每
小题1分，共15分)
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D 8.C 9.D
10.B 11.A
12.A 13.C 14.B
15.C
二、填空题
16.0 1
17.1 0
18.单位元1
19.x∩y x ∪y
20.入射
21.［x］R=［y］R
22.A(x) B(y)
23.(M(x)→D(x)) M(x) →
D(x)
24.可满足式永假式(或矛盾
式)
25.陈述句真值
三、计算
题
1 1 0 0
1 0 1 0
26.M=
0 1 1
1
0 0 1 1
2 1 1 0
M2=2 1 1 1
2 1 2 1
1 0 1 1
.. ..
4 4 4
M ij218, M ij2 6 i1 j1 i1
G中长度为2的路总数为18，长度为
2的回路总数为6。

27.当n是偶数时，x∈P(A),x n=
当n是奇数时，x∈P(A),x n=x
于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝
｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n
= (｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝
n=
当n是奇数时，
(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝
n｛a｝n
=｛a｝-1｛b｝｛a｝(｛a｝-1)n｛b｝
n｛a｝n
=｛a｝-1｛b｝｛a｝｛a｝-1｛b｝｛a｝=
28.(1) 偏序关系R的哈斯图为
(2)B 的最大元：无，最小元：无；
极大元：2，5，极小元：1，3
下界：4，下确界4；
上界：无，上确界：无
29.原式
(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)
→┐(P→Q))
((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P →┐Q)∨┐(P→Q))
(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))
(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))
(P∧Q)∨(P∧┐Q)
P∧(Q∨┐Q)
P∨(Q∧┐Q)
(P∨Q)∧(P∨┐Q)
命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1
30.令e1=(v1,v3),e 2=(v4,v
6)
e
3=(
v
2,
v5), e
4=(v3,v6
)
e
5=(
v
2,
v3), e
6=(v
1
,v2
)
e
7=(
v
1,
v4), e
8=(v
4
,v3
)
e =(v
,
v
5
), e 1
=(v
,
v )
9 3 5 6
令ai为
ei
上的权，
则
a
1<a2<a3<a4<a5=a6=a7=a8<a9=a1
取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的
e3∈
T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，
T 的总权和=1+2+3+4+5=15
31. 原式┐( x1F(x1,y) →
y1G(x,y1))∨x2H(x2) ( 换名)
┐x1 y1(F(x1,y) →
G(x,y1))∨x2H(x2)
x1 y1┐(F(x1,y1)→
G(x,y1))∨x2H(x2)
x1 y1 x2(┐(F(x1,y1)→
G(x,y1))∨H(x2)
四、证明题
32.设T中有x片树叶，y个分支点。

于
是T中有x+y个顶点，有x+y-1条边，
由握手定理知T中所有顶点的度数之
的
xy
d(v i)=2(x+y-1) 。

i 1
又树叶的度为1，任一分支点的度
大于等于2
且度最大的顶点必是分支点，于是
xy
d(vi) ≥
i1
x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4
从而2(x+y-1) ≥x+2y+2k-4
x≥2k-2
33.从定义出发证明：由于集合A是非
空的，故显然
从A到A的双射函数
总是存在的，
如A上恒等函数，因
此F非空
(1)f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故 f g也是A到A 的双射函数，从而集合F关于运算
是封闭的。

(2)f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有 f (g h)=(f g) h故运算是可结合的。

(3)A 上的恒等函数 IA也是A到A的
双射函数即IA∈F,且f∈F有
IAf=f IA=f,故IA是〈F，〉中的
幺元
(4)f∈F,因为f是双射函数，故
其逆函数是存在的，也是A到A的
双射函数，且有f f-1=f
-
1 A
f=I ,
因此f-1是f的逆元
由此上知〈F，〉是群
34.证明(
x)(A(x
) →B(x))
x(┐A(x)∨B(x))
(┐A(a)∨B(a ))∨(┐A(a)∨
1 1 2
B(a2))∨⋯∨(┐A(an)∨B(an)))
(┐A(a)∨A(a )∨⋯∨┐A(a)
1 2 n
∨(B(a1)∨B(a2)∨⋯∨(B(an))
┐(A(a1)∧A(a2)∧⋯∧A(an))∨
(┐B(a1)∨B(a2)∨⋯∨(B(an))
┐( x)A(x) ∨( x)B(x)
( x)A(x)→( x)B(x)
五、应用题
35.令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生
r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r ∨s)
→t
结论：p→t
证
①p P( 附加前提)
②p∨q T ①I
.. ..
③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)
④r∧s T ②③I
⑤r T ④I
⑥r∨s T ⑤I
⑦(r∨s)→tP( 前提引入)
⑧t T ⑤⑥I
36.可以把这20个人排在圆桌旁，使得
任一人认识其旁边的两个人。

根据：构造无向简单图G=<V,E>,其
中V={v1,v2,⋯，V20}是以20个人为
顶点的集合，E中的边是若任两个人
vi和vj相互认识则在vi与vj之间
连一条边。

Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人
的数目，由题意知vi,vj∈V有
d(vi)+d(vj)20,于是G中存在汉密
尔顿回路。

设C=Vi1Vi2⋯Vi20Vi1是G中一条
汉
密尔顿回路，按这条回路的顺序
按其排座位即符合要求。

全国2004年4月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
第一部分选择题（共15分）一、单项选择题（本大题共15小题，
每小题1分，共15分）
1．下列是两个命题变
元p，q的小项是（）
A．p∧┐p∧q
B．┐p∨q
C．┐p∧q
D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了， q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）
A．p→┐q
B．p∨┐q
C．p∧q
D．p∧┐q 3．下列语句中是命题的只有（）D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
A．1+1=10 10．设*是集合A上的二元运算，称Z B．x+y=10 是A上关于运算*的零元，若（）C．sinx+siny<0 A．x A,有x*Z=Z*x=Z
D．xmod3=2 B．Z A，且x A有x*Z=Z*x=Z
4．下列等值式不正确的是（）C．Z A，且x A有x*Z=Z*x=x A．┐(x)A(x)┐A D．Z A，且x A有x*Z=Z*x=Z
B．(
x)(B→A(x)
) B→( x)A(x) 11．在自然数集N上，下列定义的运算C．(
x)(A(x
) ∧B(x)) ( x)A(x) ∧中不可结合的只有（）
(
x)B(x
) A．a*b=min(a,b)
D ．(
x)
( y)(A(x) →B．a*b=a+b
B(y)) (x)A(x) →( y)B(y) C．a*b=GCD(a,b)(a,b 的最大公约数) 5．谓词公式( x)P(x,y) ∧D．a*b=a(modb)
( x)(Q(x,z)→( x)(y)R(x,y,z)12．设R为实数集，R+={x|x ∈R∧x>0}，中量
词x的辖域是（）*是数的乘法运算，<R+，*>是一个
A ．(
x)Q(x,z
) →
群，则下列集合关于数的乘法运
算
( x)(
y)R(x,y,z
)) 构成该群的子群的是（）B．Q(x,z
)→( y)R(x,y,z)A．{R+中的有理数}
C．Q(x,z
)→(
x)
( y)R(x,y,z) B．{R+中的无理数}
D．Q(x,z
)C．{R+中的自然数}
6．设R为实数集，函数f：R→R，
f(x)=2x，D．{1，2，3}
则f是（）13．设<A,*,>是环，则下列正确的是A．满射函数（）
B．入射函数A．<A, >是交换群
C．双射函数B．<A,*>是加法群
D．非入射非满射C．对*是可分配的
7．设A={a,b,c,d} ，A上的等价关系D．*对是可分配的R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>} ∪
14．下列各图不是欧拉图的
是（）IA，则对应于R的A的划分是（）
A．{{a},{b,c},{d}}
B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}}
D．{{a,b},{c,
d}} 15．设G是连通平面图，G中有6 个顶8．设A={?}，B=P(P(A))，以下正确点8条边，则G的面的数目是（）的式子是（）A．2个面
A．{?,{?}}∈B B．3个面
B．{{?,?}}∈B C．4个面
C．{{?},{{ ?}}} ∈B D．5个面
D ．{? ,{{?}}}∈B
9．设X ，Y ，Z 是集合，一是集合相对 第二部分
非选择题（共85分） 补运算，下列等式不正确的是（ ）
二、填空题（本大题共 10小题，每空 A ．(X-Y)-Z=X- (Y ∩Z)
1
分，共20 分） B ．(X-Y)-Z=(X- Z)- Y
16．一公式
为 之充分必要条件是
C ．(X-Y)-Z=(X- Z)- (Y-Z) 其析取范式之每一析取项中均
必
.. ..
同时包含一命题变元及其否定；一仅当G是，并且所有结点的度
数
中的整除关系，求集合
D={2,3,4,6}
公式为之充分必要条件是都是。

的极大元，极小元，最大元，最小
其合取范式之每一合取项中均必25．在下图中，结点v2的度数是，元，最小上界和最大下界。

同时包含一命题变元及其否定。

结点
v5 的度数是。

17．前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)⋯四、证明题（本大题
共3小题，第32~33
(QnVn)A，其中Qi(1≤i ≤n) 小题每小
题6分，第34小题8分，共
为，A为的谓词公式。

20分）
18．设论域是{a,b,c} ，则( x)S(x)32．（6分）用等值演算法证
明((q ∧s)
等价于命题公式；( x)S(x) →r)∧(s→(p∨r)) (s∧(p→q))→等价于命题公式。

r
19．设R为A上的关系，则R的自反闭33．（6分）设n阶无向树G=<V，E>中
包r(R)= ，对称闭包三、计算题（本大题
共6小题，第26 有m条边，证明m=n- 1。

s(R)= 。

—27小题每小题4分，第28、30 34．（8 分）设
20．某集合A上的二元关系R具有对称小题每小题5分，第29、31小题P={?,{1},{1,2},{1,2
,3}} ，是集合
性，反对称性，自反性和传递性，每小题6分，共30分）P上的包含关系。

此关系R是，其关系矩阵26．（4分）求出从
A={1,2}到B={x,y} （1）证明：<P，>是偏序集。

是。

的所有函数，并指出哪些是双射
函（2）在（1）的基础上证明<P，>
21．设<S,≤>是一个偏序集，如果S中数，哪些是满射函
数。

是全序集
的任意两个元素都有27．（4分）如果论域是集
合{a,b,c} ，
五、应用题（本大题
共2小题，第35
和，则称S关于≤构成一个试消去给定公式中的量词：小题9分，第36小题6分，共15分）格。

(y)(x)(x y 0)。

35．（9分）在谓词逻辑中构造下面推22．设Z是整数集，在Z上定义二元运28．（5分）设A={a,b,c} ，P（A）是理的证明：每个在学校读书的人都
算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是A的幂集，是集合对称差运
算。

获得知识。

所以如果没有人获得知
数的加法和乘法，则代数系统已知<P(A), >是群。

在群识就没有人在学校读书。

（个体域：
<Z,*>的幺元是，零元<P(A),>中，①找出其幺元。

②所有人的集合）
是。

找出任一元素的逆
元。

③求元素x
36．（6分）设有
a,b,c,d,e,f,g 等七
23．如下平面图有2个面R和R，其使满足{a} x={b}。

个人，已知a会讲英语；b会讲英
1 2
中deg(R1)= ，deg(R2)= 。

29．（6分）用等值演算法求公式┐(p语、汉语；c会讲英、俄语；d会
→q)(p→┐q)的主合取范式
讲日、汉语；e会讲德语、俄语；
f会讲法语、日语；g会讲法语、
30．（5分）画出5个具有5个结点5 德语。

试用图论方法安排园桌座
条边的非同构的无向连通简单图。

位，使每人都能与其身边的人交
31．（6分）在偏序集<Z,≤>中，其中谈。

24．无向图G具有一条欧拉回路，当且Z={1,2,3,4,6,8,12,1
4} ，≤是Z
.. ..
全国2005年4月高等教育自学考试
离散数学试题课程代
码：02324
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一
个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列各图是平面图的是()
2.设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是)
．
A.若G是树，则其边数等于n-1
B.
若G是欧拉图，则G中必有割边
C.若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点
D.若G中任意一对顶点的度数之和
大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路3.格L是分配格的充要条件是L不含与
．
下面哪一个选项同构的子格( )
．
A.链
B.钻石格
C.五角格
D.五角格与钻石格
4.设<G,*>是有限循环群，则下列说法不正确的是( )
．
A.<G,*>的生成元是唯一的
B.有限循环群中的运算*适合交换律
C.G中存在一元素a，使G中任一元素都由a的幂组成
D.设a是<G,*>的生成元，则对任一正
-i j
整数i，存在正整数j使a=a
5.在实数集合R上，下列定义的运算
中是可结合的只有()
A.a*b=a+2b
B.a*b=a+b-2ab
C.a*b=a-b+2ab
D.a*b=a-b-2ab
6.设群G=<A,*>中,A的元素个数大于
1，若元素a∈A的逆元素为b∈A，则
a*b的运算结果是()
A.a
B.b
C.G中零元素
D.G中幺元
7.非空集合A上的二元关系R若是自反
和对称的，则R是()
A.偏序关系
B.等价关系
C.相容关系
D.拟序关系
8.下面的图是A=｛1,2,3｝上关系R的
关系图G(R),从G(R)可判断R所具有的
性质是()
1。

2。

3 。

A.自反，对称，传递
B.反自反，非对称
C.反自反，对称，非传递
D.反自反，对称，反对称，传递
9.设A=｛1，2，3｝，B=｛a,b｝，下列
二元关系R为A到B的函数的是
( )
A.R=｛<1,a>,<2,a>,<3,a> ｝
B.R=｛<1,a>,<2,b> ｝
C.R=｛<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a> ｝
D.R=｛<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a> ｝
10.设φ为空集，P(x)是集合x的幂集，
下列论断不正确的是( )
．
A.φ∈P(φ), φP(φ)
B.{φ}∈P（φ），{φ} P（φ）
C.φ∈P（P（φ）），φP（P（φ））
D.{φ}∈P（P（φ））,{φ}P（P（φ））
11.利用谓词的约束变元改名规则和
自由变元代入规则，可将如下公式：
改写成()
A.
( z)(p(z,y) ( y)Q(z,y)) ( s)R(z,s)
B.
( z)(p(z,y) ( s)Q(x,s)) ( y)R(z,y)
C.
( x)(p(x,m) ( y)Q(x,y))( m)R(m,m
D.
( x)(p(y,y) ( y)Q(x,y)) ( s)R(y,s)
12.设论域为整数集，下列谓词公式
中真值为假的是()
A.(x)(y)(xy0)
B. ( x)( y)(x y 1)
C. ( y)( x)(x y x)
D. ( x)( y)(
z)(
x yz)
13.在命题演算中，语句为真为假的
一种性质称为()
A.真值
B.陈述句
C.命题
D.谓词
14.设P：明天天晴；q：我去爬山；那么
“除非明天天晴，否则我不去爬山。

”可
符号化为()
A.p q
B. p q
C. p q
D. p q
15.下列命题公式是永真式的是
( )
A.(p p) q
B.(pq)q
C.(pq)q
D.(p p) (p p)
.. ..
请在每小题的空格中填上正确答案。

错小题8分，第32小题9分，共49 填、不填均无分。

分)
16.一棵有6个叶结点的完全二叉树，26
. 用等值演算法，求P∨(Q∧R)的主
有_____个内点；而若一棵树有2个结析取范式，并按P，Q，R顺序，写成编点度数为2，一个结点度数为3，3 个码形式。

结点度数
为4，其余是叶结点，则该树27
. 设A={1,2,3} ，给定A上二元关系
有_____个叶结点。

R={<1,1>,<1,2>,<2,3>
} ，求r(R),s(R)
17.在一棵根树中，有且只有一个结点和t(R)。

的入度为_____，其余所有结点的入度28
. 求公式
均为_____。

(x)(f(x)(y)G(x,y,z)) (z)H(x,y,z) 18.设<S,≤>是格，其中一个命题P是的前束范式。

a≤(a∨b) ∧(a∨c),则P的对偶命题29
.
对如下有向
图D，求D中长度为4
是a_____(a∧b)_____(a∧c)。

的路有多少条?其中回路有多少条?
19.设Z是整数集，+是整数加法运算，
则<Z,+>是群，其幺元是_____，对任一
整数i,其逆元
是_____。

20.当f:X→Y是_____函数时，f有逆函
数，且f-1。

f=_____。

21
. 设30.设
A={a,abc,bc,bcd,bd} ，定义A
E={1,2,3,4,5,6},A={1,4},B={1,2
,3} 上二元关系R={<x,y>|x,y ∈A 且字符,C={2,4}
, 则(～A∩～B)∩C=_____,幂串x包含于字符串y中}，即R=IA∪
集P((～A∩～B)∩C)=_____。

{<a,abc>,<bc,abc>,<bc,bcd>} ，可以22
. 设论域D={a,b}, 则验证R是A上偏序关系。

( x)P(x
) _____,( x)( y)Q(x,y ①作出R的哈斯图
) _____。

②向R中最少添加几个序偶可使之成23
. 使公式为等价关系?求出该等价关系所确定的
( x)( y)(A(x
)B(y)) (( x)A( 集合A的划分。

x)∨(y)B(y)) 成立的条件是_____不31.某科研所要从3个项目A、B、C中
含有y，_____不含有x。

选择1～2个项目上马，由于某种原因，24
. 由命题变元及其否定所组成的有限立项时要满足以下条件：
个析取式的合取式称为_____，由命题(1)若A上，则C也要上；
变元及其否定所组成的有限个合取
式(2)若B上，则C不能上；
的析取式称为_____。

(3)若C不上，则A或B可以上。

25
28小题每小题5分，第27、31小题每小题7 分，第29、30小题每
是两城市间的矩离，为了保卫油管不受破坏，在每段油管间派一连士兵看守，为保证每个城市石油的正常供应最少
需多少连士兵看守 ?输油管道总长度越短，士兵越好防守。

求他们看守管道的最短的总长度。

(要求写出求解过程 ) 四、证明题(本大题共2小题，每小题
8分，共16分)
33.证明( x) (P(x) →Q(x)) ├( x)P(x)→( x)Q(x)
34.证明当每个结点的度数大于等于 3 时，不存在有7条边的连通简单平面图。

.. ..
全国2006年4月高等教育自 D ．既不是自由变元，又不是约束变
元
学考试
6．设A={1，2，3}，A 上二元关系S={<1，
离散数学试题
1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，
课程代码：02324 则S 是（
）
一、单项选择题（本大题共 15小题，
A ．自反关系
每小题1分，共15分）
C ．对称关系
在每小题列出的四个备选项中只有 7．设集合X 为人的全体，在X 上定义
一个是符合题目要求的，请将其代 关系R 、S 为R={<a ，b|a ，b ∈X ∧
码填写在题后的括号内。

错选、多 a 是b 的父亲}，S={<a ，b>|a ，b
选或未选均无分。

∈X ∧a 是b 的母亲}，那么关系
1．下列命题公式为重言式的是 {<a ，b>|a ，b ∈x ∧a 是b 的祖母}
（ ）
的表达式为（ ）
A ．p →(p ∨q)
B ．(p ∨┐p)→q
A ．RS
C ．q ∧┐q
D ．p →┐q 2．下列语句中不是命题的只有 C ．SR
8．设A 是正整数集，R={(x ，y)|x ，y
．．
（ ）
∈A ∧x+3y=12}，则R ∩({2，3，
A ．这个语句是假的。

B ．1+1=1.0
）
4，6}×{2，3，4，6})=（
C ．飞碟来自地球外的星球。

D ．凡石头都可练成
金。

/
A ．O
3．设p ：我很累，q ：我去学习，命题： B ．{<3，3>}
“除非我很累，否则我就去学习”
C ．{<3，3>，<6，2>}
的符号化正确的是
（ ）
D ．{<3，3>，<6，2>，<9，1>}
A ．┐p ∧q
9．下列式子不正确的是
（
） B ．┐p →q A ．(A-B)-C=(A-C)-B
C ．┐p →┐q C ．(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
D ．p →┐q 10．下列命题正确的是（
）
4．下列等价式正确的是
（
）
A ．{l ，2} {{1，2}，{l ，2，3}，1}
C ．┐( x)A (x)┐A
D
．
( x)(A(x ) B(x)) ( x)A(x)( x)
5．在公式中变元 y 是（ ） A ．自由变元
B ．约束变元
(x)(y)(P(x,y) Q(z)) ( y)P(y,z) C ．既是自由变元，又是约束变元
实数加法，a*b=a+2b。

D．<Mn(R)，+，*>，其中Mn(R)为实数
集n×n阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。

12．B．下反列自整反数关集系对于整除关系都构成偏
D．序传集递，关而系能构成格的是（）A．{l，2，3，4，5}
B．{1，2，3，6，12}C．{2，3，7}
D．{l，2，3，7}
13．结点数为奇数且所有结点的度数也
为奇数的连通图必定是（）
-1
A．B欧．拉R图S
-1
B．D汉．密R尔S顿图
C．非平面图
D．不存在的
14．无向图G是欧拉图当且仅当G是连
通的且（）
A．G中各顶点的度数均相等
B．G中各顶点的度数之和为偶数
C．G中各顶点的度数均为偶数
D．G中各顶点的度数均为奇数
15．B．平面(A图-B)-(C=A如下-(B)的∪三个C)面的次数分别D．是A（-(B∪C)=(A）-B)∪C A．11，3，4 B．11，3，5
C．12，3，6 D．10，4，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
16．
求
一个
公式的主析取或主合取范式的方法，有
_______法和______法。

17．给定谓词合式公式A，其中一部分
.. ..
公 式形 式为( x )B(x)或 点 邻 分）
( x)B(x) ，则量词 ， 后面所 接，则 31．设M 是偶数集，＋和·是数的加、
跟的x 称为_____，而称B 为相应 该 图 乘运算，证明<M ，＋，·>是一个
环。

量词的____。

称 为 32．设R 是集合X 上的二元关系，证明
18．设X ，U ，V ，Y 都是实数集，f1：X
_____
R 是X 上传递关系当且仅当
→U ，且fl(x)→e x
；f 2：U →V ，且
_________，如果V 有n 个结点， RRR 。

f (u)＝u(1+u)；f ：V →Y ，且 那么它还是 ______________度正 33．设G 是简单平面图，G 有n 个顶点 2 3
f (v)=cos v 。

那么f 3 f 2 f 1的定义 则图。

m 条边，且m<30，证明G 中存在一
3
域是_______，而复合函数 项点v ，
d （v ）≤4。

(f
3 f2f1)(x)=______ 。

五、应用题（本大题共 2小题，第34
19．集合 X={a ，b ，c ，d}上二元关系
R={<a ，b>，<a ，c>，<a ，d>，<b ，c>，<b ，d>，<e ，d>}，则R 的自反闭包r(R)=_________，对称闭
包 s(R)=______________。

20．已知G=<{l ，-1，i ，-i} ，·>(其
中i= 1，是数的乘法)是群，则
-l 的阶是____；i 的阶是_______。

21．对代数系统<S ，*>，其中*是S 上的二元运算，若a ，b ∈S ，且对任 意 的x ∈S ，都有a*x=x*a=x ， b*x=x*b=b ，则称a 为运算“*”的 ____，称 b 为运算“*”的
_______。

22．设<S ，*>是群，则<S ，*>满足结合律和________；若｜S ｜>l ，S 中
不可能有______________。

23．写出如右有向图的一条初级回路：
________，其长度是_______。

24．一个______且________的无向图称
为树。

25．在简单无向图 G=<V ，E>中，如果V
中的每个结点都与其余的所有结
题6分，第35题9分，共15分）
34．判断下面推理是否正确， 并证明你
三、计算题(本大题共 5小题，第26、 的结论。

27题各5分，第28、29题各6分， 如果小王今天家里有事， 则他不会
第30题8分，共 30分)
来开会。

如果小张今天看到小王， 26．若集合
A={a ，{b ，c}} 的幂集为 则小王今天来开会了。

小张今天看 P(A)，集合
B={O ，{O}} 的幂集为 到小王。

所以小王今天家里没事。

/
/ P(B)，
35．有6个村庄V ，i=l ，2，⋯，6欲
i
求P(A)∩P(B)。

修建道路使村村可通。

现已有修建
27．构造命题公式(p →(q ∧r)) →┐p 方案如下带权无向图所示， 其中边 的真值表。

表示道路，边上的数字表示修建该 28．求图G ＝<V ，E>的可达矩阵，其中 道路所需费用，问应选择修建哪些 V ＝
｛v1,v2,v3,v4｝
道路可使得任二个村庄之间是可 E ＝｛(v,v),(v ,
v 3 ),(v ,v), 通的且总的修建费用最低 ?要求写
1 2 2 2 4
(v ,v ),(v 3 ,v ),(v ,v 1 ),(
v ,v )｝ 出求解过程，画出符合要求的最低 3 2 4 3 4 1
29．求下列公式的主析取范式和主合取 费用的道路网络图并计算其费用。

范式：（P ∧Q ）∨（┐P ∧R ）
30．设A ＝｛2，3，4，6，8，12，24｝，
R 为A 上整除关系，试画 <A ，R>的
哈斯图，并求A 中的最大元，最小
元，极大元，极小元。

四、证明题（本大题共 3小题，第 31、
.. ..
全国2007年4月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
一、单项选择题（本大题共15小题，
每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代
码填写在题后的括号内。

错选、多
选或未选均无分。

1．下列命题公式中不．是重言式的是
（）B．x y(x·y≠0)
A．p→(q→r)B ．p→(q→p) C．x y(x·y=y2)
C．p→(p→p) D．y x(x·y=x2)
D．(p→(q→r))(q→(p→r))4．关于谓词公式（x）(y)(P(x,y) 2．下列语句中为命题的是
（）∧Q(y,z))∧(x)p(x,y), 下面的描A．这朵花是谁的？
述中错误的是（）
．．
B．这朵花真美丽啊！A．（x）的辖域是（y）（P（x,y）∧C．这朵花是你的吗？Q(y,z)）
D．这朵花是他的。

B．z是该谓词公式的约束变
元
3．设个体域是整数集，则下列命题的C．（x）的辖域是P（x,y）真值为真的是（）
D．x是该谓词公式的约束变
元
，与公
等价的命题公式是（）A．A（a）∧A（b）
B．A（a）→A（b）10．设有代数系统G=〈A，*〉，其中A 二、填空题（本大题共10小题，每小是所有命题公式的集合，*为命题公题2分，共20分）
式的合取运算，则G的幺元是
C．A（a）∨A（b）
D．A（b）→A（a）
6．集合A={1，2，3}上的下列关系矩阵中符合等价关系条件的是
（）
1 0 1 1 0 1
A．0 1 0 B．0 1 0
0 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 0
C．0 1 1 D．1 1 0
1 0 1 1 1 1
7．设A={?}，B=P（P（A）），以下不
．正确的式子是（）A．{{? }，{{? }} ，{? ，{? }}} 包含于B
（）
A．矛盾式B．重言式
C．可满足式 D．公式p∧q
11．在实数集合R上，下列定义的运算
中不可结合的是（）
．
A．a*b=a+b+2ab
C．a*b=a+b+ab
12．下列集合关于所给定的运算成为群
的是（）
A．已给实数a的正整数次幂的全体，
且a{0，1，-1}，关于数的乘法
B．所有非负整数的集合，关于数的
加
法
C．所有正有理数的集合，关于数的乘
法
16．不能再分解的命题称为
____________，至少包含一个联结
词的命题称为____________。

17．在命题演算中，五个联结词的含义
是由其____________表唯一确定的
B．，a*b=a+b而不是由其类似的
D．a*b=a-b 语言的含义确定。

18．使公式（x）（ y）（A（x）→B
（y））
（（x）A（x）→（y）B（y））
成立的条件是____________不含有
y，____________不含有x。

19．设A为任意集合，请填入适当的运
算符，使式子A____________A=?；
A____________~A=? 成立。

20．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉
B．{{{? }}} 包含于B
C．{{? ，{? }}} 包括于B
D．{{? }，{{? ，{? }}}} 包含于B 8．设Z是整数集，E={⋯，-4，-2，0，2，4，⋯}，f：Z→E，f（x）=2x，
则f（）
A．仅是满射 B．仅是入射
C．是双射D．无逆函数
9．设A={1，2，3，4，5}，A上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，
-1 -1
的运算结果是（）则S R
A．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉} B．{〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉} C．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉} D．实数集，关于数的除法|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod3)} ，
13．设无向图中有6条边，有一个3度则domR=____________ ，
顶点和一个5度顶点，其余顶点度ranR=____________。

为2，则该图的顶点数是
（）
21．称集合S是给定非空集合A的覆
盖：
A．3 B．4 若S={S1，S2，⋯，Sn}，其中Si A，C．5 D ．6 Si≠? ，i=1，2，⋯，n，且14．下列各图中既是欧拉图，又是汉密____________；进一步若尔顿图的是
（）____________，则S是集合A的划
分。

A．B．C．D．
22．对实数的普通加法和乘法，
____________是加法的幂等元，15．设无向图G的边数为m，结点数为
____________是乘法的幂等元。

n，则G是树等价于（）
23．在代数系统〈A，*〉中，A={a}，* A．G连通且m=n+1
是A上二元运算，则该代数系统的B．G连通且n=m+1
.. ..
24．设〈A，≤〉是偏序集，若A中
____________都有最小上界和
____________则称A关于偏序≤构
成格。

25．若一条路中，所有边均不相同，则此路称作____________；若一条路
1）A={1，2，3，9，12，72}
数集，<，>，＝，≤，≥，≠是
Ｉ
2）A={1，2，3，12，18}
上的二元关系，分别表示小于，
大
2 3 n于、等于、小于等于，大于等
于，
3）A={5，5，5，⋯，5}
4）T=2Z+={2k|k∈Z+}
不等于，那么这些关系会满足什
么
29．求命题公式（p→q）→（q∨p）性质？试填写下表的主析取范式。

中所有的结点均不相同，则称此路
为____________。

三、计算题（本大题
共6小题，第26、
27 小题各4分，第28、29小题各
5分，第30、31 小题各6分，共
30 分）
36．试画出结点数为3的（1）强连通
图；（2）单向连通图；（3）弱连通
图；（4）非连通图。

27．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y〉
∈A∧(y=x+1∨y=x)}，2
S={〈x,y〉|x,y∈A∧（x=y+2）}。

试求RSR
28．在全体正整数集合Z+中规定∩，∪为：对任意的 a,b∈Z+，
a∪b=[a,b]，即求a,b的最小公倍
数；
a∩b=(a,b)，即求a,b的最大公约30．结出命题公式（p∨(p∧q)）∧(( p
∨q)∧q)的二叉树表示。

31．设A={a,b,c,d}, R={〈a,c〉，
〈c,b〉，
〈b,a〉，〈a,d〉}，求R，
r(R),s(R),t(R) 的关系图。

四、证明题（本大题共3小题，第 32、
33小题各6分，第34小题8分，共20
分）
32．设A是非空集合，P（A）是A的幂
集，是集合的包含关系，则〈P
（A），〉是格，证明：〈P（A），〉
是有补格。

33．设〈{a,b},* 〉是半群，其中
a*a=b，
证明：（1）a*b=b*a；（2）b*b=b。

34．若一棵树恰有2个结点的度数为1，
则它必是一条欧拉路。

五、应用题（本大题共2小题，第35小
题6分，第36小题9分，共15分）
35．
a b ，Z是整
数
36．设R= |a,bZ
0 0
集，则：
（1）R对矩阵的加法和乘法构
成一个环；
（2）R中存在元素x是右零因子
但不是左零因子。

数；
则运算∩，∪满足结合律，交换律和吸收律，于是〈Z+，∩，∪〉是一个格。

判断下列集合是否是<Z+，设
I
是
自反反自反对称反对称传
递
<
>
=
∩，∪>的子格？整≤
≥
≠
.. ..
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