Ch8.3 正态总体方差的假设检验

F0.025 (5, 8) = 4.82, F0.975 (5, 8) = 0.148,
0.345 sx = 0.9644, 取统计量 F = 2 = 0.357 sy
2
0.148 < F < 4.82, 故接受 H 0 , 认为σ x 2 = σ y 2 .
分别用两个不同的计算机系统检索10个资料 个资料, 例5 分别用两个不同的计算机系统检索 个资料 测得平均检索时间及方差(单位 单位:秒 如下 如下: 测得平均检索时间及方差 单位 秒)如下
2 χ 12−α / 2 ( n − 1) = χ 0.975 (14) = 5.629, 查表得
2 2 χ α / 2 ( n − 1) = χ 0.025 (14) = 26.119,
于是
( n − 1) s 2
σ 02
14 × 0.056 = = 34.844 > 26.119, 0.0225
2 2 0
σ
2 为已知常数。 0 为已知常数。
由于 s 是
2
σ
2
的无偏估计， 的无偏估计，当 H0 为真时 ，比值
2 一般来说应在1附近摆动 附近摆动，而不应过分大于1 σ0 一般来说应在 附近摆动，而不应过分大于
s
2
或过分小于1。 为真时, 或过分小于 。由于当 H0为真时
χ2 = 我们取
(n −1)s2
(n −1)s2 2 ~ χ (n −1). 2 σ0
σ
2 0
作为检验统计量， 作为检验统计量，如上所说
知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式： 知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：
χ =
2
(n −1)s2
σ
2 0
≤ k1 或 χ =
2
(n −1)s2
σ
2 0
≥ σ
故接受 H 0 ,
认为σ x = σ y .
2 2
再验证 µ x = µ y ,
假设 H 0 : µ x = µ y , H 1 : µ x ≠ µ y .
X −Y , 取统计量 t = 1 1 Sw + n1 n2
其中S
2 w
(n1 −1)S + (n2 −1)S = . n1 + n2 − 2
2 1 2 2
2 σ0
2
2 ≥ χα (n −1) 2
上述检验法为
χ 检验法。关于方差 σ 2的单边检 检验法。
2
验法得拒绝域已在附表中给出。 验法得拒绝域已在附表中给出。
某厂生产的某种型号的电池, 例1 某厂生产的某种型号的电池 其寿命长期以 来服从方差σ 2 =5000 (小时2) 的正态分布 现有一 小时 的正态分布, 批这种电池, 从它生产情况来看, 批这种电池 从它生产情况来看 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池 只电池, 所变化 现随机的取 只电池 测出其寿命的样本 方差 s 2 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 小时 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化? 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化
S12 S 2 2 2 2 ≤ Pσ 2 ≤σ 2 2 ≥ k , ( 因为 σ 1 σ 2 ≤ 1) 2 1 2 σ 1 σ 2
要使 P{ H 0 为真 , 拒绝 H 0 } ≤ α ,
S12 S22 只需令 P 2≤σ 2 2 ≥ k = α. 2 σ1 2 σ1 σ2
2 2 2
机器B生产的管子的内径分别服 立，且设由机器A,机器 生产的管子的内径分别服 且设由机器 机器 从正态分布
N(µ1,σ ) , N(µ2 ,σ ) ，这里 2 均未知。作假设检验:(取 µi ,σi (i =1,2) 均未知。作假设检验 取 α = 0.1)
2 1
2 2
H0 :σ ≤ σ , H1 :σ > σ .
根据第六章§ 定理四 定理四知 根据第六章§2定理四知 第六章
S1 S 2
2
2 2
σ1 σ 2
2
~ F ( n1 − 1, n2 − 1).
即k = Fα (n1 −1, n2 −1).
s1 检验问题的拒绝域为 F = 2 ≥ Fα ( n1 − 1, n2 − 1). s2
上述检验法称为 F 检验法 检验法.
研究机器A和机器 和机器B生产的钢管的内径 例6 研究机器 和机器 生产的钢管的内径 ， 生产的管子18 随机抽取机器 A 生产的管子 只，测得样本方差
s = 0.34(mm )；抽取机器 生产的管子 只， 抽取机器B生产的管子 生产的管子13只
2 1 2
测得样本方差
s = 0.29(mm )。设两样本相互独
2 0
≤ k1 或 χ =
2
(n −1)s
2
σ
2 0
≥ k2
值由下式确定： 此处的 k1, k2 值由下式确定： P{拒绝 H0 H0为真 拒绝 为真} ＝ P 2 {( σ
0
(n −1)s2
σ
2 0
≤ k1) U(
(n −1)s2
σ
2 0
≥ k2} = α
为计算方便起见， 为计算方便起见，习惯上取
2 1 2 2 2 1 2 2
解： 此处
n1 =18, n2 =13, F (18 −1,13−1) = F0.1(17,12) =1.96 α
拒绝域为
现在
s ≥1.96. s
2 1 2 2
s = 0.34, s = 0.29, s s =1.17 <1.96
2 1 2 2 2 1 2 2
故接受
H0 .
x = 3.097, y = 3.179, s x = 2.67, s y = 1.21, 假定检索时间服从正态分布 检索时间服从正态分布, 假定检索时间服从正态分布 问这两系统检索资 料有无明显差别? (α = 0.05) 料有无明显差别
2 2
解 根据题中条件 首先应检验方差的齐性 根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.
要检验假设 H 0 : σ = 0.15, H 1 : σ ≠ 0.15,
即 H 0 : σ 2 = 0.0225, H 1 : σ 2 ≠ 0.0225,
n = 15,
因为
x = 10.48, α = 0.05, s 2 = 0.056,
2
( n − 1) s 2
σ0
14 × 0.056 = = 34.844, 0.0225
所以拒绝 H 0 ,
认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化. 认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ ) 的情况
2 1 2 2
设 X 1 , X 2 ,L, X n 为来自正态总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 ,
2
Y1 ,Y2 ,L,Yn 为来自正态总体 N ( µ 2 ,σ 2 ) 的样本 ,
(α = 0.02) 解 要检验假设 H 0 : σ 2 = 5000, H 1 : σ 2 ≠ 5000, 2 n = 26, α = 0.02, σ 0 = 5000,
2 2 χ α / 2 ( n − 1) = χ 0.01 ( 25) = 44.314,
2 χ 12−α / 2 ( n − 1) = χ 0.99 ( 25) = 11.524,
P 2 {( σ
0
(n −1)s2
σ
2 0
≤ k1)} = , 2
2
α
P 2 {( σ
0
(n −1)s2
σ
2
2 0
≥ k2} =
α
2
（3.1） ）
故得
k1 = χ
2 1−α
(n −1), k2 = χα (n −1)
2
于是得拒绝域为
(n −1)s2
2 σ0
≤χ
2 1−α
(n −1) 或
2
(n −1)s
2
两台车床加工同一零件, 分别取6件和 件和9件测 例4 两台车床加工同一零件 分别取 件和 件测 2 2 量直径, 量直径 得: s x = 0.345, s y = 0.357. 假定零件直径 服从正态分布, 服从正态分布 能否据此断定 σ x 2 = σ y 2 . (α = 0.05) 解 本题为方差齐性检验: 本题为方差齐性检验 2 2 2 2 H 0 : σ x = σ y , H1 : σ x ≠ σ y .
假设 H 0 : σ x = σ y , H 1 : σ x ≠ σ y .
2 2 2 2
F0.025 (9, 9) = 4.03, F0.975 (9, 9) = 0.248,
sx 2.67 取统计量 F = 2 = = 2.12, 1.21 sy
2
0.248 < F = 2.12 < 4.03,
2 1 2 2 2
当 H 1 为真时, E ( S12 ) = σ 12 > σ 2 2 = E ( S 2 2 ),
S1 当 H 1 为真时, 观察值 2 有偏大的趋势, S2 2 s1 故拒绝域的形式为 2 ≥ k, s2
此处 k 的值由下式确定 :
2
S12 P { H 0 为真 , 拒绝 H 0 } = Pσ 2 ≤σ 2 2 ≥ k 1 2 S2
拒绝域为: 拒绝域为
( n − 1) s
2
σ0
2
≤ 11.524, 或
( n − 1) s
2
σ0
2
≥ 44.314 .
因为
( n − 1) s 2
σ0
2
25 × 9200 = = 46 > 44.314 , 5000