第2章-旋转质量陀螺仪及其力学分析
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dH 0 dt
2014-1-23
ω H M
4
一 自由陀螺仪的基本特性
0 ωz ω y ωz 0 ωx ωy 0 M x ωx 0 M y 0 H M z
Hω y M x Hω M x y 0 M z
H ( cos sin ) J x M x J y z
H M J y x
设： M x C D
则：
2014-1-23
D C H J y
24
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
2014-1-23
27
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
H K C
稳态时：
H K C
速度陀螺（角速度陀螺，或速率陀螺）
2014-1-23
28
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（3）仅有阻尼时的运动规律
D H J
(1) 只考虑转子列写欧拉方程
将上述两式代入欧拉动力学方程第3式可得：
d J cos M sin )] J cy cos [ J cz ( cx z dt
J cx J cy
d sin )] M z [ J cz ( dt
2
(s)
H
+ + +
(s)
1/Js2
Ds
C
2014-1-23
31
5.单自由度陀螺的方框图与传递函数
（2）传递函数
( s) K G(s) 1 2 2 ( s) s s 1 2 0 0
2014-1-23
32
三 双自自由度陀螺仪运动方程与动力学分析
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
由
dH x H z y H y z M x dt
) [ H ( J J )( cos sin )]( cos sin ) x ( J e J bx )( z bz z y y z ( J e J by )( y cos z sin )( z cos y sin ) M x
2014-1-23
21
3.单自由度陀螺的运动方程 (3) 组件
组件的角动量
H B Hb Hc
)i ( J J )( cos sin ) j H B ( J e J bx )( x e by y z [ J z ( J z J bz )( z cos y sin )]k
2．外力矩作用下单自由度陀螺的进动
My
ω
2014-1-23
力矩沿y轴方向时：绕框架轴进动。
17
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
3.单自由度陀螺的运动方程
单自由度陀螺的运动方程式是指陀螺组件的运动方程式。
y
yb
zb H
xb
2014-1-23
18
3.单自由度陀螺的运动方程 （1） 框架
框架相对基座的角速度在框架坐标系中可以表示为：
2014-1-23 20
3.单自由度陀螺的运动方程 （2） 转子
转子相对惯性空间的角速度：
)i ( cos sin ) j ( cos sin )k c ( x y z z y
转子角动量在框架坐标系中表示为：
)i J ( cos sin ) j J ( cos sin )k H c J e (x e y z z z y
6
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
2014-1-23
7
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
2014-1-23
8
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
织女星 北极星
(1)
2014-1-23
37
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(2) 考虑转子、内环列写欧拉动力学方程
内环的角动量
J bx cos H b J by J bz sin
转子和内环的角动量
( J cx J bx ) cos H1 ( J cy J by ) J ( sin ) J sin bz cz
) bx ( x by y cos z sin
bz z cos y sin
框架角动量在框架坐标系中表示为：
)i J ( cos sin ) j J ( cos sin )k H b J bx ( x by y z bz z y
i br
基座相对惯性空间的角速度在框架坐标系中可表示为：
be x i ( y cos z sin ) j ( z cos y sin )k
2014-1-23 19
3.单自由度陀螺的运动方程
框架相对于惯性空间的角速度：
)i ( cos sin ) j ( cos sin )k b ( x y z z y
设陀螺的角动量
H J z
22
2014-1-23
3.单自由度陀螺的运动方程
) H Bx ( J e J bx )( x H By ( J e J by )( y cos z sin ) H Bz H ( J z J bz )( z cos y sin )
坐标系：
2014-1-23
OXYZ
固定坐标系
Oxyz
动坐标系
33
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
二自由度陀螺的广义坐标：
转子轴绕外环轴的转角 转子轴绕内环轴的转角
欧拉方程：
dH x dt dH y dt dH z dt 0 z y H x M x 0 x H y M y z H M y x 0 z z
F
F
2014-1-23
14
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
1．单自由度陀螺感受转动的特性
ω
F
A
y
My
ω
F
A
2014-1-23
15
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
2．外力矩作用下单自由度陀螺的进动
2014-1-23
力矩沿x轴方向时且基座绕y轴无转动时： 与普通的刚体相同。
16
Fra Baidu bibliotek
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
§2.1 旋转质量陀螺仪的一般原理
一
自由陀螺仪的基本特性
简化模型
H J x x i J y y j J z z k
z x
z y
H J z z k Hk
2014-1-23 3
一 自由陀螺仪的基本特性
简化模型
di H M dt
dH ω H M dt
2014-1-23
23
3.单自由度陀螺的运动方程
整理：
H ( cos sin ) ( J J ) x ( J e J bx ) y z e be ( J z J bz J e J by )( y cos z sin )(z cos y sin ) M x
H 1 0t 2 1 e sin( 1 0 t ) 2 C 1
2 0
C J
D D 2 J 0 2 JC
arctan 1 2 /
有稳定值的衰减震荡运动
2014-1-23 26
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
2014-1-23 12
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
陀螺动力稳定效应对内框架无效！
2014-1-23 13
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
当基座绕垂直于自转轴的 方向转动时，轴承带动自 转轴改变方向，强迫转子 进动。强迫进动所产生的 陀螺力矩，将引起自转轴 两端轴承的附加压力，压 力过大时，造成转轴弯曲 或轴承损坏。
转子的角动量
2014-1-23
35
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程 动坐标系的转动角速度：
β ωα
cos ω sin
2014-1-23
36
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
2014-1-23
34
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程 转子有三个自由度，其角速度：
β ωc α
J cx cos H c J cy J ( sin ) cz
H J
H J
dtdt K dtdt
0 0 0 0
t
t
t
t
输出转角与输出转角速度的二次积分成正比（二次积分陀螺 ）
2014-1-23
30
5.单自由度陀螺的方框图与传递函数
（1）方框图
D C H J
Js ( s) Ds ( s) C ( s) H ( s)
J T D
T 0
H T D
H t D
t
H [t T (1 e t / T )] D
H K D
K dt
0
陀螺的输出转角与输入转角速度的积分成正比（积分陀螺）
2014-1-23 29
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（4）无约束时的运动规律
第二章
旋转质量陀螺仪及其力学分析
2014-1-23
1
§2.1 旋转质量陀螺仪的一般原理 一 自由陀螺仪的基本特性
简化模型：
（1）转子绕自转轴匀速自转； （2）自转角动量远大于非自转 角速度产生的角动量； （3）转子的质心与支承框架的 中心重合； （4）陀螺系统的各个部件都是 刚性的。
2014-1-23 2
Hω y M x Hω x M y
2014-1-23
Mx ωy H
ωx My H
5
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性
（Spin Precession）
陀螺转子轴在外 力矩作用下，绕 与外力矩相垂直 的方向的转动运 动，称为陀螺的 “进动运动” 。
2014-1-23
2014-1-23
9
2014-1-23
10
一 自由陀螺仪的基本特性
2．自由陀螺仪的稳定性（spin stabilization）
M 0
di H 0 dt
H const
自由陀螺仪的定轴性实质上是指陀螺仪具有巨大的 抗干扰的能力。
2014-1-23 11
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应 陀螺外环同时受到外力矩和 陀螺力矩作用，二者大小相 等，方向相反，使外环处于 平衡状态，相对惯性空间方 位稳定。 陀螺力矩所产生的这种外环稳定效应，称为陀螺动力 稳定效应，简称陀螺动力效应。
（1）仅有弹性约束时的运动规律
C H J
2 2 0 0 H C
C J
1 2 C J
0
f0
H (1 cos 0 t ) C
2014-1-23
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4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
D C H J
2014-1-23
ω H M
4
一 自由陀螺仪的基本特性
0 ωz ω y ωz 0 ωx ωy 0 M x ωx 0 M y 0 H M z
Hω y M x Hω M x y 0 M z
H ( cos sin ) J x M x J y z
H M J y x
设： M x C D
则：
2014-1-23
D C H J y
24
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
2014-1-23
27
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
H K C
稳态时：
H K C
速度陀螺（角速度陀螺，或速率陀螺）
2014-1-23
28
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（3）仅有阻尼时的运动规律
D H J
(1) 只考虑转子列写欧拉方程
将上述两式代入欧拉动力学方程第3式可得：
d J cos M sin )] J cy cos [ J cz ( cx z dt
J cx J cy
d sin )] M z [ J cz ( dt
2
(s)
H
+ + +
(s)
1/Js2
Ds
C
2014-1-23
31
5.单自由度陀螺的方框图与传递函数
（2）传递函数
( s) K G(s) 1 2 2 ( s) s s 1 2 0 0
2014-1-23
32
三 双自自由度陀螺仪运动方程与动力学分析
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
由
dH x H z y H y z M x dt
) [ H ( J J )( cos sin )]( cos sin ) x ( J e J bx )( z bz z y y z ( J e J by )( y cos z sin )( z cos y sin ) M x
2014-1-23
21
3.单自由度陀螺的运动方程 (3) 组件
组件的角动量
H B Hb Hc
)i ( J J )( cos sin ) j H B ( J e J bx )( x e by y z [ J z ( J z J bz )( z cos y sin )]k
2．外力矩作用下单自由度陀螺的进动
My
ω
2014-1-23
力矩沿y轴方向时：绕框架轴进动。
17
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
3.单自由度陀螺的运动方程
单自由度陀螺的运动方程式是指陀螺组件的运动方程式。
y
yb
zb H
xb
2014-1-23
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3.单自由度陀螺的运动方程 （1） 框架
框架相对基座的角速度在框架坐标系中可以表示为：
2014-1-23 20
3.单自由度陀螺的运动方程 （2） 转子
转子相对惯性空间的角速度：
)i ( cos sin ) j ( cos sin )k c ( x y z z y
转子角动量在框架坐标系中表示为：
)i J ( cos sin ) j J ( cos sin )k H c J e (x e y z z z y
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一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
2014-1-23
7
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
2014-1-23
8
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性（Spin Precession）
织女星 北极星
(1)
2014-1-23
37
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(2) 考虑转子、内环列写欧拉动力学方程
内环的角动量
J bx cos H b J by J bz sin
转子和内环的角动量
( J cx J bx ) cos H1 ( J cy J by ) J ( sin ) J sin bz cz
) bx ( x by y cos z sin
bz z cos y sin
框架角动量在框架坐标系中表示为：
)i J ( cos sin ) j J ( cos sin )k H b J bx ( x by y z bz z y
i br
基座相对惯性空间的角速度在框架坐标系中可表示为：
be x i ( y cos z sin ) j ( z cos y sin )k
2014-1-23 19
3.单自由度陀螺的运动方程
框架相对于惯性空间的角速度：
)i ( cos sin ) j ( cos sin )k b ( x y z z y
设陀螺的角动量
H J z
22
2014-1-23
3.单自由度陀螺的运动方程
) H Bx ( J e J bx )( x H By ( J e J by )( y cos z sin ) H Bz H ( J z J bz )( z cos y sin )
坐标系：
2014-1-23
OXYZ
固定坐标系
Oxyz
动坐标系
33
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
二自由度陀螺的广义坐标：
转子轴绕外环轴的转角 转子轴绕内环轴的转角
欧拉方程：
dH x dt dH y dt dH z dt 0 z y H x M x 0 x H y M y z H M y x 0 z z
F
F
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二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
1．单自由度陀螺感受转动的特性
ω
F
A
y
My
ω
F
A
2014-1-23
15
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
2．外力矩作用下单自由度陀螺的进动
2014-1-23
力矩沿x轴方向时且基座绕y轴无转动时： 与普通的刚体相同。
16
Fra Baidu bibliotek
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
§2.1 旋转质量陀螺仪的一般原理
一
自由陀螺仪的基本特性
简化模型
H J x x i J y y j J z z k
z x
z y
H J z z k Hk
2014-1-23 3
一 自由陀螺仪的基本特性
简化模型
di H M dt
dH ω H M dt
2014-1-23
23
3.单自由度陀螺的运动方程
整理：
H ( cos sin ) ( J J ) x ( J e J bx ) y z e be ( J z J bz J e J by )( y cos z sin )(z cos y sin ) M x
H 1 0t 2 1 e sin( 1 0 t ) 2 C 1
2 0
C J
D D 2 J 0 2 JC
arctan 1 2 /
有稳定值的衰减震荡运动
2014-1-23 26
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
2014-1-23 12
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
陀螺动力稳定效应对内框架无效！
2014-1-23 13
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
当基座绕垂直于自转轴的 方向转动时，轴承带动自 转轴改变方向，强迫转子 进动。强迫进动所产生的 陀螺力矩，将引起自转轴 两端轴承的附加压力，压 力过大时，造成转轴弯曲 或轴承损坏。
转子的角动量
2014-1-23
35
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程 动坐标系的转动角速度：
β ωα
cos ω sin
2014-1-23
36
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
2014-1-23
34
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程 转子有三个自由度，其角速度：
β ωc α
J cx cos H c J cy J ( sin ) cz
H J
H J
dtdt K dtdt
0 0 0 0
t
t
t
t
输出转角与输出转角速度的二次积分成正比（二次积分陀螺 ）
2014-1-23
30
5.单自由度陀螺的方框图与传递函数
（1）方框图
D C H J
Js ( s) Ds ( s) C ( s) H ( s)
J T D
T 0
H T D
H t D
t
H [t T (1 e t / T )] D
H K D
K dt
0
陀螺的输出转角与输入转角速度的积分成正比（积分陀螺）
2014-1-23 29
4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（4）无约束时的运动规律
第二章
旋转质量陀螺仪及其力学分析
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1
§2.1 旋转质量陀螺仪的一般原理 一 自由陀螺仪的基本特性
简化模型：
（1）转子绕自转轴匀速自转； （2）自转角动量远大于非自转 角速度产生的角动量； （3）转子的质心与支承框架的 中心重合； （4）陀螺系统的各个部件都是 刚性的。
2014-1-23 2
Hω y M x Hω x M y
2014-1-23
Mx ωy H
ωx My H
5
一 自由陀螺仪的基本特性
1．自由陀螺仪的进动性
（Spin Precession）
陀螺转子轴在外 力矩作用下，绕 与外力矩相垂直 的方向的转动运 动，称为陀螺的 “进动运动” 。
2014-1-23
2014-1-23
9
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10
一 自由陀螺仪的基本特性
2．自由陀螺仪的稳定性（spin stabilization）
M 0
di H 0 dt
H const
自由陀螺仪的定轴性实质上是指陀螺仪具有巨大的 抗干扰的能力。
2014-1-23 11
一 自由陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应 陀螺外环同时受到外力矩和 陀螺力矩作用，二者大小相 等，方向相反，使外环处于 平衡状态，相对惯性空间方 位稳定。 陀螺力矩所产生的这种外环稳定效应，称为陀螺动力 稳定效应，简称陀螺动力效应。
（1）仅有弹性约束时的运动规律
C H J
2 2 0 0 H C
C J
1 2 C J
0
f0
H (1 cos 0 t ) C
2014-1-23
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4.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（2）有阻尼和弹性约束时的运动规律
D C H J