第10讲 数列与数表-完整版

第10讲数列与数表
内容概述
通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。

注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．
典型例题
兴趣篇
1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：
(l)第10组中三个数的和；
(2)前10组中所有数的和．
答案：(1) 33 (2) 195
解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．
(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．
所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．
(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．
2．请观察下列数列的规律：
1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：
(1)这个数列一共有多少项？
(2)这个数列所有数的总和是多少？
答案:(1)67项(2) 1783
解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等
差数列．
(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．
(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.
等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．
综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.
3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：
(l)第100项是多少？
(2)前100项的和是多少？
答案:(1)8 (2) 975
解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…
可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98
项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：
所以数列的第100项是8．
(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.
4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．
答案:105
解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，
这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：
每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于
所以“？”就是105.
5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？
答案:(1)第25行，第6列(2) 79
解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．
可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．
(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：
所以100在第25行，第6列．
(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，
第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．
第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：
所以第20行第3列的数就是79.
6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：
(1) 100在第几行第几列？
(2)第5行第20列的数是多少？
答案:(1)第1行，第25列(2) 81
解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．
(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所
以100就是第25列第1行上的数．
(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列
最后一个数在第1衍．
因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.
方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．
第4列第5行是17，4×4+1=17.
第6列第5行是25，6×4+1=25．
于是第20列第5行是20×4+1=81．
7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第
1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：
(1) 100在第几行第几列？
(2)第20行第2列的数是多少？
答案:(1)第15行，第2列(2) 138
解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．
(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．
所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．
因此100在第15行，第2列．
(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．
所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.
8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：
(l)第10行左起3个数是多少？
(2) 99在第几行左起第几个数？
答案:(1)167(2)第8行左起第1个数
解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.
(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.
9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？
(2)第25行左起第5个数是多少？
答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321
解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．
(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．
(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向
左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.
10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：
(1)1997; (2)2016; (3)2349.
如果可以，请写出方框中最大的数．
答案:只有2349是可以的，最大的数为269
解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．
1997÷9=221……8（不符合题意）；
2016÷9=224（暂时符合题意）；
2349÷9=261（暂时符合题意）．
又由于每行都是7个数，而
224÷7=32, 261÷7=37……2.
于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．
因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．
拓展篇
1．请观察下列数列的规律：
1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0
请问：(l)这个数列中有多少项是2？
(2)这个数列所有项的总和是多少？
答案:(l) 26项(2) 2652
解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．
(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．
(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.
所以数列的所有项之和为2550+102=2652.
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：
(1)第20组中三个数的和；
(2)前20组中所有数的和．
答案:(1) 120 (2) 1260
解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．
(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．
3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：
(1)第100组内的两数之和是多少？
(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？
答案:(l) 23 (2) 11次
解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组
都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，
2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，
所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：
观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几
大组就有几个括号，
在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．
(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在
第14大组．
前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中
的第9个．
根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．
(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．
因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．
综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．
方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：
也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．
4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？
答案:257；2510
解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：
3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…
容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．
50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．
连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：
和最大就是60×4+17=257.
500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：
这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.
5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，
3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？
答案:射线OF上；237
解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：
可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同
一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．
(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．
(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.
6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：
(1) 123应该排在第几列？
(2)第2行第20列的数是多少？
答案:(1)第24列(2) 101
解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从
上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．
(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．
由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．
(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．
方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.
7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：
(1) 500在第几行第几列？
(2)第100行第2列是多少？
答案: (l)第111行，第5列(2) 448
解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．
由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，
所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．
(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.
方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.
450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.
8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？
答案:9
解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．
在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，
因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．
由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．
于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．
9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．
公元纪年则是国际通行的纪年方式．
图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年
是干支纪年的什么年？
(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？
(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年
解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．
(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．
因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．
由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．
又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．
(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．
由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，
10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：
(1) 246在第几行第几列？
(2)第14行第13列的数是多少？
(3)所有阴影方格中数的总和是多少？
答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020
解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．
(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．
(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．
因为第1个数是1，所以第273个数就是273.
(3)把数表旋转180。

，得到图1．把旋转后得到的数表和原来的数表重叠在一起，相互重叠的两个方格里面的数相加的结果都是401.两个数表中阴影部分的总和应该是一个数表里面阴影部分和的2倍，如图2
在图2中每行有2个方格涂上了阴影，一共20行，就有40个方格涂上了阴影，401×40就是图2阴影部分的和．于是一个数表里面阴影部分的和就401×40÷2=8020．
11．如图10 -14所示，将1～400这400个自然数填入图中的小三角形中，每个小三角形内均填有一个数．“1”所处的位置为第1行；“2、3、4”所处的位置为第2行“…．请问：
(1)第15行正中间的数是多少？
(2)第12行中所有白三角形内的数之和是多少？
(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比白三角形内的各数之和大多少？
答案:(l) 211 (2) 1463 (3) 176
解析:(l)方法一：前面几行正中间的数分别是3，7，13，21，…．容易看出来，它们每相邻两个型间的差是2，4，6，8，…
按照这个规律写下去：1，3，7，13，21，31，43，57,73, 91, 111, 133, 157, 183, 211.第15行正中间的数是211.
方法二：仍然是直接看前几行正中间的数：1，3，7，13, 21, …
可以发现：第1行正中间的数是1，1×1-0 =1；
第2行正中间的数是3，2×2-1—3；
第3行正中间的数是7，3×3-2=7；
第4行正中间的数是13，4×4-3=13；
第5行正中间的数是21，SX5-4= 21；
类似地，第15行正中间的数是15×15-14=211.
方法三：第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数……
这是一个首项为1、公差为2的等差数列．
第14行有1+(：4 -1)×2=27个数，那么前14行一共有(1+27)×14÷2=196个数．
第15行有27+2=29个数，第15行正中间的数是这一行左起第15个数，所以第15行正中间的数就是196 +15=211.
(2)第11行有l+(ll-1)×2=21个数．前11行一共有(1+21)×11÷2=121个数．
所以第12行第一个数就是122，这个数在阴影三角形中，于是第一个白三角形中的数是123.
第12行有21+2=23个数．其中白三角形有(23-1)÷2=11(个)．
第12行中所有白三角形内的数之和是一个等差数列的和，它的首项是123，公差是2，项数是11，末项是123+(11-1)×2=143.
等差数列的和是(123+143)×11÷2=1463.
(3)很显然，阴影三角形部分的和比白三角形部分要大，所以一定是月阴影三角形中的数减白三角形中的数，注意观察每一个白三角形，右面和它相邻的阴影三角形中的数都比白三角形中的数大1．把它们每两个组成一个“菱形组”，例如：
那么每个这样的菱形里面的差都是l．剩下没有组成菱形的阳影三角形郡在每一横行的最左边，分别是1，2，5，10, 17, …
第1行没有“菱形组”，第2行有1个“菱形组”，第3行有2个“菱形组”，第4行有3个“菱形组”……第8行有7个“菱形组”．
所以前8行“菱形组”里阴影三角形内各数之和比白三角形内各数之和大：1+2+3+ (7)
每行最左面一个数不在“菱形组”里面，按规律列举出前8行最左面的数：1，2，5，10，17，26，37, 50．
所以，阴影三角形内的各数之和减去白三角形内的各数之和为
(1+2+3+…+7)+(1+2+5+10+17+26+37+50)=28+148=176.
12．如图10 -15，把从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1) 150在第几行第几列？
(2)第5行第10列的数是多少？
答案:(l)第6行，第13列(2) 86
解析:观察发现，第一列的每个数都是完全平方数，从上至下依次是：1 2，22，32，…，从左上方的1开始，每增加一层数字，就使数表变成一个更大的正方形（如图所示，数表上方的数字代表层数）例如1本身是第1层，是1×1的正方形，它加上第2层的2、3、4构成一个2×2的正方形，再加上第3层的5、6、7、8、9构成一个3×3的正方形．
在21～22之间的数都在第2层上．在22至23之间的数都在第3层上……每一层中的数都是先由上向下排列，至斜线处拐弯，再从右向左排列．
(1)因为212=144小于150，213=169大于150，因此150位于第13层，
前12层共有212=144个数字，而150-144=6，因此150是第13层的第6个数字，因此150位于第6行，第13列．
(2)第5行第10列的数是第10层的第5个．因为第9层最左端的数是81，所以第5行第10列的数是86.
13．如图10 - 16，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1) 200排在第几行第几列？
(2)第18行第22列的数是多少？
答案:(1)第10行，第11列(2) 759
解析:这些自然数按照从右上到左下的斜线排列，每条斜线上出现的数的个
数依次为：1个，2个，3个，…，并且在同一条斜线上，自右上向左下从小到大排列，如图所示：
每条斜线上的数的行数和列数的和都是相同的，例如：第5条斜线上有5个数，每个数的行数与列数的和都是6．也就是说：某个数所在的行数十列数一斜线数+1.这样我们就找到了怎样从“第几条斜线第几个”转化成“第几行第几列”的方法．
(1)因为1+2+3+…+19=190小于200，而1+2+3+-+20=210大于200，因此200位于第20条斜线上，并且是第200-190=10个数．
所以200位于第10行，第20-9=Il列．
（2）因一个数所在的行数与列数之和再减去1，恰好为它所在拘斜线数．因此第18行第22列的数一定位于第39条斜线上，而行数恰好就是它在这条斜线上的第几个．
第18行第22列的数位于第39条斜线上，是第18个，因此它是1+2+3+…+38+18=759.
14．如图10 -17所示，把自然数按规律排列起来，如果用“土”字形阴影覆盖出8个数并求和，则和为798.那么这8个数中最大的数是多少？（“土”字不能旋转或翻转）
答案:112
解析:在如图1所示的“土”字形里，用①～⑧分别代表八个空格．
8个数中，空格①里的数最小，空格⑧里的数最大．在数表中任意找几个“土”字形，试试看用空格⑧中的数减去空格①中的数，得到什么结果？发现在所有“土”字形中，这两个数的差都是28．
再试试用其他空格中的数减去空格①中的数，发现：空格②中的数与空格①中的数始终相差8，空格③中的数与空格①中的数始终相差9……所以只要当“土”字形中的一个数字知道了，则其他数字也就知道了．
如果拿两个“土”字形比较，它们之间空格①中的数相差多少，那么其他空格中的数也要相差多少．如图2与图3所示的两个“土”字形，它们之间空格①中的数相差8-2=6，那么其他空格中的数必然也都相差6．既然每个数都相差6，那么这两个“土”字形中8个数的和就相差6×8=48．
现已知某个“土”字形中8个数之和是798．任意两个“土”字形中8个数之和的差，等于对应位置内数的差的8倍，尊任取一个“土”字形，比如取图2的“土”字形，计算它的8个数之和是2+ 10+11+12+20+28+29+30=142，与798相差798-142=656.则相应位置的数应相差656÷8=82.
所以8个数之和为798的“土”字形中，最大的数是30+82=112．
超越篇
1．下面的数组是按一定顺序排列的：
(1,1),(1,2).(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),…．
请问：(1)第70个括号内的数分别是多少？
(2)前50个括号内各数之和是多少？
答案:(l)(4，9)(2) 385
解析:第1个括号里里两数的和为2；第2、3个括号里两数的和均为3；第3、4、5个括号里两数的和均为4……可以按照每个括号内两数的和把这些括号分成大组．比如，第3大组中有3个括号：(1，3)，(2，2)，(3，1)，每个括号里面两数和都是4，每个括号里的第一个数是按照从小到大的顺序排列的：1，2，3．
按照每个括号内两数的和分成大组，如图：
(1)前11个大组里有1+2+3+…+11=66个括号，而前12个大组里有1+2+3+…+12=78个括号，所以第70个括号应该是第12大组的第70-66=4。