基于分形几何的分形图绘制与分析

基于分形几何的分形图绘制与分析

摘要:基于分形几何的分形图绘制方法源于L系统、迭代函数系统IFS、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上,重点对IFS参数进行实验分析,IFS吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。

关键词:分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变

1 分形几何学

现代数学的一个新的分支——它是由美籍法国数学家曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)1973年在法兰西学院讲课时,首次提出了分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。

2 分形的定义

目前分形还没有最终的科学定义,曼德勃罗曾经为分形下过两个定义。

4.2 基于IFS迭代函数系统的分形图绘制

迭代函数系统(Iteration Function System,简称IFS)是分形几何学的重要分支,它也是分形图像中最富生命力并具有广阔应用前景的领域之一。IFS是M.F.Barnsley于1985年发展的一个分形构形系统。IFS 的理论包括以下几方面的内容:压缩映射、度量空间、不变紧缩集的存在以及测度理论等。迭代函数系统在一大类物体的建模问题中具有很大的优势,特别是对自然景物的计算机模拟生成优势更为明显。实际上,只需给出几个仿射变换的系数,就可基本确定一个物体的迭代函数系统。正因为如此,IFS在图形学中有着广泛的应用。其中,可视化技术的研究由2D分形对象拓广到3DFractal;由IFS研究的自相似的分形图扩大了其应用范围,IFS变换不必仅限于仿射变换;在用IFS建摸的研究中,实现了对原图形的几何变换,将IFS中的线形变换推广到非线形变换;对自然景物计算机生成问题的探讨,其建摸方法亦由二维推广到三维。如图2基于IFS迭代函数系统所绘制的三维树叶分形图。

另外,由于IFS代码可以描述形态各异的对象,这就意味着可以用极少量的数据,就可描述复杂的图像图形,因而IFS具有很强的图形数据压缩能力。

4.3 基于IFS迭代参数渐变的分形图绘制与分析

用IFS(Interated Function Systerm)产生分形图。

以表1中的参数为迭代码可以产生Sirpinski三角形。

只改动参数d4=0.3,则可以生成图3(b)示Sirpinski三角形。

以表2中的参数为迭代码可以产生一个树叶。

把树叶迭代码与Sirpinski三角形迭代码之间缩小差距,缩小比例为0.25、0.75,可以看到逐渐向三角形过渡。

4.4 基于复动力系统的分形图绘制

复动力系统的分形集合主要包括Mandelbrot集和Julia集。Mandelbrot集是分形中最著名的分形集合,它是分形创始人Mandelbrot在非线性领域中作出的杰出贡献。Julia集是在21世纪初法国数学家G.Julia和P.Fatou分别研究过的一种多项式和有理函数的迭代,当时由于缺乏相应的图形工具而使研究中断,直到计算机图形学的出现才使其重获生机。Mandelbrot集和Julia集都是通过在复平面中G(Z)=Z2+C的反复迭代而得到的点的序列,其中C和Z均为复数。由Julia集与Mandelbrot集呈现在人们面前的美妙图象令艺术家们叹为观止,将这种艺术图形用于纺织印染、广告印刷、工业设计、邮票制作、服装设计及计算机教学等方面,其经济效益和社会效益均具有广阔的应用前景。

5 结语

分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。分形图形绘制的方法有L系统、迭代函数系统IFS、复动力系统等。IFS 吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。

参考文献

[2] 刘甲.IFS交互式参数控制算法研究与应用[J].信息技术与信息化,2011.

[3] 李常.一种基于广义M—J集的安全底纹设计方法[J].计算机应用与软件,201.