人教版-数学-九年级上册-圆 重难点突破
九年级数学上人教版《圆》教案
《圆》教案
一、教学目标
(一)知识与技能
了解圆的有关基本概念，掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系，并能运用这些性质进行简单的计算。
(二)过程与方法
通过观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和推理能力，同时培养学生的观察力和动手操作能力。
(三)情感态度和价值观
让学生在学习过程中感受圆在生活中的广泛应用，体会数学的价值，同时培养学生的合作精神和独立思考的习惯。
二、教学重难点
(一)教学重点
1.掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的
关系。
2.能运用圆的相关性质进行简单的计算。
(二)教学难点
1.理解垂径定理及其推论。
2.理解弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系。
3.能运用圆的相关性质解决实际问题。
三、教学准备
教师准备多媒体课件、圆规、直尺等教学工具；学生准备圆规、直尺等学习工具。
四、教学过程
(一)导入新课
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。
(二)学习新课
1.了解圆的基本概念
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。
推荐人教版九年级数学上册：期末难点突破 突破三 隐圆切线问题
第1.题图CAr第6题图rD 突破三隐圆隐切线问翹1.如图，•某数学兴趣小组利用树影测量树高，已测出A B的影长A C为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角，因水土流失，此时树沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，•.树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，则树影的最大长度为（C）A.9米B.3#米C.6V^米D.6米.：• • #解：以A为圆心，AJ3为半径画圆，有且只有一条光线和0A相切，切点为£，切线与地面交于F，易求AF=6W.2.如图，©0为AABC的外接圆，ZACB = 75°，ZBAC=45°, ©O的半径为若点P与点C的距离为1，则AARP的面积S的取值范围为（A ）■A.1<S<2+V3 B.1<S<1+A/3 C..V3-1<S<73+1D..*V3+1<S<^3+2 解：以C为圆心，1为半径作0C，作CLLLAB于D，CD交©C于E，DC的延长线交0C于F，过£：、F作OC的两条切线，则P 在E时S最小，P在F时D最大••'3.如图，点C是00上一点，00的半径为2居，D、£:分别是弦A C、B C上一动点，且C D = O E = V2 ,则A B的最大值为（A）.A.2^6B.2衣.C.2^2••D.4^2解：以O为圆心，OD为半径作圆，当D、E为切点时，ZACB最大，此时AB最大.4.如图，P为的0O内的一个定点，A为00上的一个动点，射线4P、A O分别与0O交于B、C两点.若0O的半径长为3, O P=V3f则弦的最大值为（A）..A. 2^3 . B, 3. ' C. V6 D. 3V2.5.当你站在博物馆的展览厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点\?距地• •面2. 5米，最低点Q距地面2米，观赏者的眼睛E距地面1.6米，当视角ZPEQ最大时_，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（B ）米•^ 'A. 1B. 0.6C. 0.5D. 0. 4解：过E作直线Z//地面，则过P、Q两点的圆与直线Z切于E时，ZPEQ最大6-如图，中，ZC=90°9ZABC= 30°9AJ3=6,点 D 在边上，点£：是BC 边上一点（不与点重合），且DA = DE，则AD的取值范围是2<AD<3•【解析】以D为圆心，DA为半径作©D,当©D与BC相切于E时，AD最小为2,当©D过B时，AD最大为3，因£：不与S重合，.\AD<39故2<AD<3.。
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.1圆》这一节的内容，主要介绍了圆的定义、圆心、半径等基本概念，以及圆的性质。
这是学生学习圆相关知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆这一概念，学生可能在生活中有所接触，但对其精确的数学定义和性质可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实例中抽象出圆的数学定义，进一步理解和掌握圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义、圆心、半径等基本概念，掌握圆的性质，能够运用圆的知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.重点：圆的定义、圆心、半径等基本概念，圆的性质。
2.难点：圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究，合作学习。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的空间想象能力和理解能力。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的圆的实例，引导学生思考圆的数学定义，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍圆的定义、圆心、半径等基本概念，引导学生理解圆的性质。
3.实例分析：通过几何画板展示圆的性质，引导学生观察、实验、推理，加深对圆的理解。
4.小组讨论：让学生分组讨论圆的性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
5.总结提升：对圆的性质进行总结，引导学生掌握圆的知识。
6.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习 ：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。
点与圆 直线与圆 圆与圆重难点创新设计
圆，直线与圆，圆与圆的位置关系重难点创新教学今天我将对人教版初中数学九年级上册第二十四章第二节点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系进行重难点创新教学的说明。
以下几个方面将是我重点阐述的对象：一、教学结构体系；二、课堂教学引入；三、课程内容（突破重难点）创新；四、资源运用与教学设计评价。
一、教学结构体系本节内容是基于学生对圆的有关概念和性质有了一定了解后，接着研究点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系。
本节中直线与圆的位置关系是中心内容，切线的判定定理、性质定理、切线长定理等则是研究直线与圆的有关问题时常用的定理，是本节的重点内容。
另外，切线的判定定理和性质定理的题设和结论容易混淆，证明性质定理又要用到反证法，因此这两个定理的教学是本节的难点，同时也是本章的难点。
我安排这节内容为六课时：1、点与圆的位置关系；2、直线与圆的位置关系；3、切线的性质；4、切线长定理以及内切圆；5、切线的判定；6、圆与圆的位置关系。
这和教材上的安排是有一定的区别的，我对教材的整合是基于学生对于研究几何的一个思维方式都是先定义，再性质，后判定，因此把教材上的判定与性质的位置交换了一下，这样在课堂上可以起到帮助学生构建研究几何图形的思维模式的作用。
二、课堂教学引入-重难点创新有了章节整体规划，接着就是每课时课堂规划，我将重点对切线性质这节课作阐述。
首先是切线性质教学引入，我利用多媒体出示一个生活情景：圣诞节来临，圣诞老人来到孤儿院，带来巧克力口味曲奇饼干作为圣诞礼物，有两种形状，一种是空心圆环状，一种是实心圆形状，小朋友们犹豫了：“哪种形状饼干的面积大呢？”圣诞老人看着小朋友们争执不下就说：“我来想想办法。
”他随即拿起身边一根细线，摆在圆环饼干内侧，然后与圆形饼干一比较，随即告诉小朋友两种饼干大小相等。
你能说出圣诞老人这么斩钉截铁的理由吗？学生思维随着情景充满疑惑立马调动起他们思考的兴趣，想一探究竟，随即带领他们进入课堂新知的学习。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案) 点和圆的位置关系教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）学生交流，回答问题.教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）学生答：教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：边结论.读作“等价于”.⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.出示课件7,8：例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）学生独立思考后，师生共同解答.解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内;AC=5>r，故C点在⊙A外.⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D探究二过不共线三点作圆教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）出示课件14：例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）学生动手探究，交流，在教师指导下作图.作法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.巩固练习：（出示课件16）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．学生独立思考后口答：∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.探究三三角形的外接圆及外心已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.2.三角形的外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）学生动手探究，作图，交流后，教师总结.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．学生独立思考后师生共同解答.解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝因此圆的半径为3．点A的坐标(0),∴△AOB外接圆的面积是9π.教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习：（出示课件23）如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径AM==线段DM所以点D在圆M内.出示课件24：例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．学生独立思考后师生共同解答.解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC.则OD ＝5cm ，112cm 2BD BC ==在Rt △OBD 中,13cm OB ==，即△ABC 的外接圆的半径为13cm.巩固练习：（出示课件25）在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm学生思考后口答：A探究四 反证法教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.如图，假设过同一条直线l 上三点A 、B 、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l 1上，又在线段BC 的垂直平分线l 2上，即点P 为l 1与l 2的交点.而l 1⊥l ，l 2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．教师归纳：（出示课件27）1.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．2.反证法的一般步骤⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.出示课件28：例求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.师生共同解答.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°学生口答：D（三）课堂练习（出示课件30-36）1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣，则△ABC的外接圆半径=______．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=______.7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．参考答案：1.2582.3.解:如图所示.4.上；外；上5.B6.57.70°8.B9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材95页练习2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.。
圆中垂径定理综合应用(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)
专题4.1圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】【题型1直接运用勾股定理求线段】1．（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．2．（2023•安徽模拟）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，则DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四边形OHEF为正方形，∴OE＝EH＝2．故选：A．3．（2022秋•泉港区期末）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长为（）A．2B．3C．4D．8【答案】D【解答】解：连接OA，∵OC为弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故选：D．4．（2021秋•澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：B．5．（2021秋•新昌县校级期中）如图，⊙O的半径为4，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四边形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故选：A．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故选：C．7．（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，∵AB过A，∴MB＝NB，∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），故选：D．【题型2勾股定理与方程综合求线段】8．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4.2C．5.8D．6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．9．（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5B．6C．4D．2【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于点E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5．故选：A．10．（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【答案】AB的长．【解答】解：连接OB，OD，则：，∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的长．11．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD 的面积．【答案】．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．【题型3垂径定理在实际中应用】12．（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．米C．3米D．米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即点C到弦AB所在直线的距离是米，故选：D．13．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．3B．4C．D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故选：A．14．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，设OC是x米，则OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故选：B．15．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．16．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O 是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴，设半径为r，则OD＝r﹣10，在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣10）2+302＝r2，解得r＝50m，答：这段弯路的半径为50m．17．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】（1）下水管半径为0.5米；（2）水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，则CD＝0.1米，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3米，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴OB2＝（OB﹣0.1）2+0.09，∴BO＝0.5，即下水管半径为0.5米；（2）如图，过点O作OH⊥MN于H，∴NH＝MH，∵水位又被抬升0.7米，∴OH＝0.1+0.7﹣0.5＝0.3米，∴NH＝＝＝0.4米，∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．18．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．19．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB＝60米，MP＝18米，OP⊥AB，∴AM＝AB＝30（米），OM＝OP﹣MP＝（x﹣18）米，在Rt△OAM中，由勾股定理得OA2＝AM2+OM2，∴x2＝302+（x﹣18）2，∴x＝34（米）．当PN＝4时，∵PN＝4，OP＝x，∴ON＝34﹣4＝30（米），设A′N＝y米，在Rt△OA′N中，∵OA′＝34，A′N＝y，ON＝30，∴342＝y2+302，∴y＝16或y＝﹣16（舍去），∴A′N＝16，∴A′B′＝16×2＝32（米）＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．【答案】（1）圆的圆心如图所示；（2）13．【解答】解：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；（2）连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD＝（r﹣8）cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝24cm，∴AD＝12cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得：r＝13．21．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．22．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？”（注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺＝10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．）【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥CE，∴AD＝BD，∵AB＝10，∴AD＝5，在Rt△AOE中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，∴CD＝2A0＝26；即直径为26寸．23．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．24．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直径AB＝26m，∴OD＝，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD＝5：24，∴OE：ED＝5：12，∴设OE＝5x，ED＝12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．25．（2022秋•东台市期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。
定弦定角(隐圆压轴四)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》人教版
专题4.7定弦定角解题技巧：构造隐圆定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【典例1】如图，已知矩形ABCD．（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求；（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．【变式1-1】（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P 在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．【变式1-2】如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠F AD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．【变式1-3】（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABM＝60°，∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A 运动，∴BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∴∠ABP+∠CBN＝60°，∴∠ABP+∠BAM＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，∴点P在弧AB上运动，∴当＝时，△P AB的面积最大，最大值＝×2×1＝，故选：D．【变式1-4】（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）A．B．2C．D．【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴OC＝OB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值为4﹣4，故选：D【变式1-5】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+【答案】D【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．4﹣3【答案】A【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°∵BC＝4，∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，设圆心为O，连接BO、CO、DO，则△BCO为等腰直角三角形，∴CO＝4，∠BCO＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACO＝90°，∴AO＝＝＝5，∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），∴线段AD的长的最小值为1，故选：A．【变式2-1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【答案】2﹣2【解答】解：连接AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2【答案】A【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四边形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故选：A．【变式2-2】（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．【答案】1【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，∴OP＝1，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥1，∴PC的最小值为1．【变式2-3】【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．【答案】【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由见解析；（2）2；【问题拓展】．【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值为；【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝AC，∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，∴MN最大值为，故答案为：．【变式2-4】（灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是．（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2；（2）如图2中，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）如图3中，∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时P A+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴P A+PG的最小值为4，【变式2-5】（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O 于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为．【答案】1【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，∴∠BMC＝90°，∵BM＝CM，∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝5，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．故答案为：1．【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP 交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．6B．9C．6D．9【答案】B【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，∵OA＝OB＝6，AB＝6，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，∴△ABC的最大面积为9．故选：B．【变式3-1】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，作△ABC的外接圆D，当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故选：D【变式3-2】如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．【答案】9+9【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，则BH＝HC，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，故答案为：9+9．【变式3-3】问题提出（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）9；（3）存在，MC的长度为8米或12米．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BD＝1，∴AD＝＝，∴△ABC的面积为×2×＝，故答案为：；（2）作△ABC的外接圆⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝6，∴点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面积为×6×3＝9；（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵10＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝＝2米，∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的长度为8米或12米．【变式3-4】（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．（2）如图2，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，请你求出四边形ABCD的面积．问题解决：（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC ＝60°，DB＝4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，画法：以AB为直径画圆O，当点C位于半圆的中点时，直角△ABC的面积最大；（2）如图2，连接AC，过C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝1，HC＝＝，∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2＝52+（）2＝28，＝AB•CH＝×4×＝2，∴S△ABC∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，＝AC2＝×28＝7，∴S△ADC＝S△ABC+S△ACD＝2+7＝9；∴S四边形ABCD（3）能，如图3，连接AC，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，则BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，∴△HDB是等边三角形，＝S△ABD+S△BCD∴S四边形ABCD﹣S△ABH，＝S△BDH∵BD＝4，是定值，是定值，∴S△BDH∴当△ABH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，∴∠BAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAD＝360°﹣225°＝135°，∵BH＝BD＝4，∴点A在定圆⊙O（△ABH的外接圆）上运动，当O、A、D共线时，△ABH 的面积最大，此时，OD⊥BH，设OA交BH于K，则HK＝KB＝2，∵AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABH＝22.5°，在HK上取一点F，使FH＝AF，则△AKF是等腰直角三角形，设AK＝FK＝x，则AF＝FH＝x，∴2＝x+x，∴x＝2﹣2，∴△ABH面积的最大值＝×4×＝4﹣4，∴四边形ABCD的面积的最小值＝×42﹣（4﹣4）＝4﹣4+4．【变式3-5】已知直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴下点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a+4）2＝0．（1）如图，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：EO平分∠AEG．（2）如图，若点C在第一象限，且BE⊥AC丁点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1中，取AB的中点K，连接KE，OK．∵AC⊥BE，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵AK＝KB，∴KE＝KB＝KA＝KO，∴A，B，E，O四点共圆，∵|a+b|+（a+4）2＝0．又∵|a+b|≥0，（a+4）2≥0，∴a＝﹣4，b＝4，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∴∠AEO＝∠ABO＝45°，∴∠AEO＝∠OEG＝45°，∴OE平分∠AEG．（2）解：结论：△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°．理由：如图2中，∵∠AEG＝90°，∴∠EAG＝90°，∵∠BOG＝90°，∴∠EAG+∠AGE＝90°，∠OBG+∠OGB＝90°，∴∠CAO＝∠DBO，∴OA＝OB，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形．。
新人教版九年级数学上册第24章圆重难点题型(举一反三)(含解析版)
专题04 圆章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 圆的相关概念】【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.【例1】（2019•邗江区校级一模）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．36°B．30°C．18°D．24°【变式1-1】（2019•陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10°B．15°C．20°D．25°【变式1-2】（2019秋•萧山区期中）如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°【变式1-3】（2018秋•瑞安市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO ＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°【考点2 垂径定理求线段】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．【例2】（2019•柯桥区模拟）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式2-1】（2019•渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【变式2-2】（2019•庐阳区二模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC 于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（）A．B．C．D．3cm【变式2-3】（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4【考点3 圆周角定理】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)圆的有关性质(解析版)
圆的有关性质考点一圆的基本概念考点二利用垂径定理求值考点三垂径定理的实际应用考点四垂径定理的推论考点五圆周角概念辨析考点六同弧或等弧所对的圆周角相等考点七直径所对的圆周角是直角考点八90°的圆周角所对的弦是直径考点九圆内接四边形对角互补考点一圆的基本概念例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（）A．半圆是弧B．过圆心的线段是直径C．弦是直径D．长度相等的两条弧是等弧【答案】A【解析】【分析】利用圆的有关定义分别判断即可．【详解】解：A、半圆是弧正确符合题意；B、过圆心的弦是直径故原命题错误不符合题意；C、直径是弦但弦不一定是直径故原命题错误不符合题意；D、在同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧故原命题错误不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了圆的认识解题的关键是了解圆的有关定义及性质．【变式训练】1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦经过圆心的弦叫直径圆上任意两点间的部分叫圆弧简称弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧每条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．【详解】解：直径是圆中最长的弦说法正确符合题意；经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆不符合题意；圆有无数条对称轴符合题意；没有强调是在同圆或等圆中不符合题意；正确的说法有2个故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的认识关键是掌握直径、弧的定义注意在同圆或等圆中优弧的长度一定大于劣弧的长度．2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧故不一定相等则⑤不正确．综上所述正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．考点二利用垂径定理求值例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图⊙O的直径CD=20 AB是⊙O的弦AB⊥CD垂足为M OM：OC=3：5 则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．【答案】C【解析】【分析】连接OA先计算OM=3310655OC=⨯=根据垂径定理得到直角三角形AOM利用勾股定理计算AM根据垂径定理得到AB=2AM判断选择即可．【详解】连接OA∵⊙O的直径CD=20 AB⊥CD OM：OC=3：5∴AO=OC=10 OM=3310655OC=⨯=AM=MB∴AM∴AB=2AM=16故选C．【点睛】本题考查了圆的垂径定理勾股定理熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·三模）已知O的直径10cmCD=AB是O的弦AB CD⊥垂足为M且8cmAB=则AC的长为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】【分析】先画好一个圆标上直径CD已知AB的长为8cm可知分为两种情况第一种情况AB与OD相交第二种情况AB与OC相交利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；【详解】连接AC AO∵圆O的直径CD=10cm AB⊥CD AB=8cm∴AM=12AB=12×8=4cm OD=OC=5cm当C点位置如图1所示时∵OA=5cm AM=4cm CD⊥AB∴OM=cm∴CM=OC+OM=5+3=8cm∴AC=；当C点位置如图2所示时同理可得OM=3cm∵OC=5cm∴MC=5−3=2cm在Rt△AMC中AC．故选C．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理根据题意正确画出图形进行分类讨论熟练运用垂径定理是解决本题的关键．2．（2022·湖南长沙·一模）如图在直径为10cm的⊙O中AB=8cm弦OC⊥AB于点C则OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理可将AC的长求出再根据勾股定理可将OC求出．【详解】解：如图连结OA则由垂径定理可得：OC ⊥AB 且AC =BC =12AB =4cm 在Rt △ACO 中 AC =4 OA =5由勾股定理可得OC cm故答案为3．【点睛】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．考点三 垂径定理的实际应用例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后 截面如图所示 若水面宽48cm AB = 水的最大深度为16cm 则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【答案】D【解析】【分析】 如图 记圆柱形容器的截面圆心为O 过O 作⊥OD AB 于D 交圆于C 设圆的半径为r 而16,CD ,16,OB r OD r 再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：如图 记圆柱形容器的截面圆心为O 过O 作⊥OD AB 于D 交圆于C则124,2AD BD AB设圆的半径为r而16,CD,16,OB r OD r2221624,r r解得：26.r圆柱形容器的截面直径为52cm．故选D【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块其中一块如图所示测得弦AB长20厘米弓形高CD为2厘米则镜面半径为____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圆O的半径为OB=r则OC=r-2 根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2进而求出半径．【详解】解：如图由题意得OD垂直平分AB∴BC=10cm令圆O的半径为OB=r则OC=r-2在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2∴（r-2）2+102=r2解得r=26．故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1 水车又称孔明车是我国最古老的农业灌溉工具是珍贵的历史文化遗产．如图2 圆心O在水面上方且O被水面截得的弦AB长为8米半径为5米则圆心O到水面AB的距离为_______米．【答案】3【解析】【分析】AB=4（米）然后在Rt△AOD中由勾股定理过O作OD⊥AB于D连接OA由垂径定理得AD=BD=12求出OD的长即可．【详解】解：过O作OD⊥AB于D连接OA如图所示：AB=4（米）则AD=BD=12在Rt△AOD中由勾股定理得：OD3=（米）即圆心O到水面AB的距离为3米故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．考点四垂径定理的推论例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦所以D选项为真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的这样的真命题叫做定理也考查了垂径定理的性质．【变式训练】1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（）①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；垂直于弦的直径平分弦说法正确；圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故③说法不正确；平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧故④说法不正确；半圆的弧长是圆的弧长的一半不是圆中最长的弧故⑤说法不正确；不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆故⑥说法正确∴不正确的语句有4个故选：B【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理正确理解题意是解题的关键.2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧C．等弧所对的圆心角相等所对的弦相等D．圆是轴对称图形其对称轴是任意一条直径【答案】C【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D 进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等所对的弦相等所以本选项正确；D、圆是轴对称图形其对称轴是任意一条直径所在的直线所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．考点五圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．【详解】解：根据圆周角的定义可知选项A中的角是圆周角．故选：A．【点睛】本题考查圆周角的定义解题的关键是理解圆周角的定义属于中考基础题．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理垂径定理的推论圆心角、弧、弦的关系对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A.同弧或等弧所对的圆周角相等所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧所以B选项错误；C、在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所以C选项错误；D.圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形垂径定理圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【解析】【详解】解： (a )∠1顶点在⊙O 内 两边与圆相交 所以∠1不是圆周角；(b )∠2顶点在圆外 两边与圆相交 所以∠2不是圆周角；(c )图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上 两边均与圆相交 所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d )∠5顶点在圆上 一边与圆相交 另一边与圆不相交 所以∠5不是圆周角；(e )∠6顶点在圆上 两边与圆均不相交 由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【点睛】本题主要考查了圆周角的定义 熟练掌握顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．考点六 同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图 ⊙O 是ABC 的外接圆 AC 是⊙O 的直径 点P 在⊙O 上 若40ACB ∠=︒ 则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【答案】C【解析】【分析】 根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒ BPC A ∠=∠ 然后利用互余计算出∠A 的度数 从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径∴90ABC ∠=︒∴90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴50BPC A ∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理 解题的关键是掌握在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图 ,OA OB 是O 的两条半径 点C 在O 上 若80AOB ∠=︒ 则C ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵,OA OB 是O 的两条半径 点C 在O 上 80AOB ∠=︒∴∠C =12AOB ∠ =40° 故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理 熟知在同圆或者在等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．2．（2022·四川广安·二模）如图 四边形ABCD 的外接圆为⊙O BC ＝CD ∠DAC ＝36° ∠ACD ＝44° 则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°【答案】B【解析】利用圆心角、弧、弦的关系得到DC BC=再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36° ∠ABD＝∠ACD ＝44° 然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．【详解】解：∵BC＝CD∴DC BC=∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是AD∴∠BAC＝∠DAC＝36°∴∠=∠+∠=︒BAD BAC DAC72∵∠ABD＝∠ACD＝44°∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．考点七直径所对的圆周角是直角∥且∠CDE 例题：（2022·广西梧州·二模）如图AB、CD分别是⊙O的直径连接BC、BD如果弦DE AB＝62° 则下列结论错误的是（）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31°C．AC AE=D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可判断A根据圆周角定理可判断B选项根据圆周角与弧的关系可判∠≠∠判断D选项．断C根据CDE CDB解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径90CBD ∴∠=︒∴CB ⊥BD故A 选项正确如图 连接BEDE AB ∥ 且∠CDE ＝62°62BOD CDE ∴∠=∠=︒1312BCD BOD ∴∠=∠=︒OC OB =31CBO BCO ∴∠=∠=︒62AOC ∴∠=︒62CBE CDE ∠=∠=︒31ABC ABE ∴∠=∠=︒∴AC AE =故B C 选项正确31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒59BDC ∴∠=︒62CDE ∠=︒CDE CDB ∴∠≠∠∴BD ≠DE 故D 选项不正确故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 掌握圆周角定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图AB是⊙O的直径C是⊙O上一点D是AB另一侧半圆的中点若CD=BC=4 则⊙O的半径长为（）B．C D．A【答案】A【解析】【分析】连接AD过点B作BE⊥CD于点E证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接AD过点B作BE⊥CD于点E∵AB是⊙O的直径D是AB的中点∴∠ADB=90° AD=DB∴△ADB是等腰直角三角形∴∠A=∠ABD=45°∴∠C=∠A=45°∴△EBC是等腰直角三角形∵BC=4∴EC=EB∵CD=∴DE∴BD在等腰直角△BDA 中 AB∴⊙O故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理 等腰直角三角形的判定和性质 勾股定理等 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图 正方形ABCD 内接于⊙O 边长BC P 为弧AD 上一点且AP =1 则PC =________________．【答案】3【解析】【分析】连接AC 易得AC 为直径 在Rt ABC 中利用勾股定理算出AC 再在Rt ACP 中利用勾股定理算出PC ．【详解】解：连接AC 四边形ABCD 是正方形 ∴AB AC = 90ABC ∠=︒∴AC 是直径．∴90APC ∠=︒．在Rt ABC 中 AC =在Rt APC 中 3PC ==．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的内接正多边形 直径所对的圆周角的性质 解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．考点八 90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图 O 的弦AB 垂直于AC 6cm,4cm AB AC == 则O 的半径等于（ ）A B C D ．4【答案】A【解析】【分析】 首先连接BC 由O 的弦AB 垂直于AC 即可得BC 是直径 又由6AB cm = 4AC cm = 根据勾股定理即可求得BC 的长 则可求得O 的半径．【详解】解：连接BCAB AC ⊥90BAC ∴∠=︒BC ∴是O 的直径6AB cm = 4AC cm =)BC cm ∴=O ∴．故选：A ．【点睛】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大 解题的关键是掌握90︒的圆周角所对的弦是直径定理的应用．【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图 在矩形ABCD 中 10AB = 12AD = P 为矩形内一点 90APB ∠=︒ 连接PD 则PD 的最小值为（ ）A．8B ．C ．10D 【答案】A【解析】【分析】 首先由题意可知：点P 在以AB 为直径的圆上 设圆心为点E 在圆E 上任取一点F 连接EF 、DF 、EP 、PD 可知当点E 、P 、D 在一条直线上时 PD 最小 再根据三角形三边的关系即可证得 最后根据勾股定理即可求ED 据此即可求得．【详解】解：90APB ∠=︒∴点P 在以AB 为直径的圆上 设圆心为点E如图：在圆E 上任取一点F 连接EF 、DF 、EP 、PD∴当点E 、P 、D 在一条直线上时 PD 最小理由如下：EF DF ED EP PD +≥=+ EP =EFDF PD ∴≥(当且仅当点F 与点P 重合时取等号)∴此时PD 最小=10AB 点E 是AB 的中点 EP 是圆的半径1===52AE EP AB ∴在Rt AED △中 ED==135=8PD ED EP ∴--故PD 的最小值为8故选：A【点睛】本题考查了三角形三边的关系 最短距离问题 勾股定理 确定点P 的位置是解决本题的关键． 2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图 Rt △ABC 中 ∠ABC =90° AB =6 BC =5 P 是△ABC 内部的一个动点 且满足∠P AB =∠PBC 则线段CP 长的最小值为__________.3##334【解析】【分析】利用已知条件 可知∠BP A =90° P 点在以AB 为直径的圆上 如图 O 为圆心 连接OC OC 与圆O 的交点P CP 即为最小值 进行计算求值即可．【详解】解：∵∠ABC =90° ∠P AB =∠PBC∴∠PBA +∠PBC =90° ∠PBA +∠P AB =90°∴∠BP A =90°∴P 点在以AB 为直径的圆上 如图 O 为圆心 连接OC OC 与圆O 的交点P CP 即为最小值∵AB =6∴OB =OP =3∵BC =5∴OC∴CP 33【点睛】本题考查的圆中几何问题的综合运用 掌握圆的基础性质 进行计算求值是解题的关键．考点九 圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图 点B C D 在⊙O 上 若130BCD ∠=︒ 则BOD ∠的度数是（ ）A．50°B．60°C．70°D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圆上取一点A连接AB AD根据圆的内接四边形的性质即可得∠BAD+∠BCD=180° 即可求得∠BAD的度数再根据圆周角的性质即可求得答案．【详解】解：圆上取一点A连接AB AD∵点A、B C D在⊙O上∠BCD=130°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD=50°∴∠BOD=2∠BAD=100°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单解题的关键是注意数形结合思想的应用注意辅助线的作法．【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在O中四边形OABC为菱形点D在AmC上则ADC 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【分析】 设ADC α∠= 则2AOC α∠= 利用菱形性质可得2α∠=∠=ABC AOC 再由圆内接四边形的性质可知：180ADC ABC ∠+∠=︒ 即可求出ADC ∠．【详解】解：设ADC α∠= 则2AOC α∠=∵四边形OABC 为菱形∴2α∠=∠=ABC AOC∵四边形ABCD 是圆的内接四边形∴180ADC ABC ∠+∠=︒ 即3=180α︒∴=60α︒ 即60ADC ∠=︒．故选：C【点睛】本题考查菱形的性质 圆内接四边形的性质 圆周角定理 解题的关键是找出180ADC ABC ∠+∠=︒． 2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形 点E 为边CD 上任意一点（不与点C 点D 重合） 连接BE 若∠A =60° 则∠BED 的度数可以是（ ）．A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】D【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补可求出∠C的度数然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠C=180°∵∠A=60°∴∠C=180°-∠A=120°∵∠DEB是△DCE的一个外角∴∠DEB＞∠C∴∠DEB的度数可能是：125°故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．一、选择题1．（2022·山东威海·九年级期末）如图点A B C都在⊙O上若ACB＝36° 则∠OAB＝（）A ．18°B ．54°C ．36°D ．72°【答案】B【解析】【分析】 利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB 再用等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB ＝12∠AOB ∠ACB ＝36°∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．∵OA ＝OB∴△OAB 是等腰三角形∵∠AOB ＋∠OAB ＋∠OBA ＝180°∴∠OAB ＝12（180°－∠AOB ）＝54°故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理 利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键． 2．（2022·山西·中考真题）如图 ABC 内接于O AD 是O 的直径 若20B ∠=︒ 则CAD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】C【解析】【分析】 首先连接CD 由AD 是O 的直径 根据直径所对的圆周角是直角 可求得90ACD ∠=︒ 又由圆周角定理 可得20D B ∠=∠=︒ 再用三角形内角和定理求得答案．【详解】解：连接CD∵AD 是O 的直径∴90ACD ∠=︒．∵20D B ∠=∠=︒∴18090108902070CAD D ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3．（2022·湖北襄阳·一模）如图 AB 是⊙O 的直径 ⊙O 的弦CD ＝8 且CD ⊥AB 于点E ．若OE ∶OB ＝3∶5 则直径AB 的长为（ ）A ．16B ．13C ．10D ．【答案】C【解析】【分析】 连接OC 可知OC =OB 设：OE =3x 则OB =OC =5x 在Rt OCE 中 利用勾股定理即可求出OB 由此可求出直径AB ．【详解】解：如图 连接OC 则OB =OC∵⊙O 的弦CD ＝8 且CD ⊥AB 于点E∴CE =DE =4∵OE ∶OB ＝3∶5设：OE =3x 则OB =OC =5x在Rt OCE 中 由勾股定理得：222OC OE CE =+∴()()222534x x =+解得：x =1∴OB =5 即AB =10．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是圆的垂径定理 以及勾股定理的应用 合理利用线段比例关系构建直角三角形是解题的关键．4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图 ,AB CD 是O 的两条直径 E 是劣弧BC 的中点 连接BC DE ．若22ABC ∠=︒ 则CDE ∠的度数为（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒【答案】C【解析】【分析】 连接OE 由题意易得22OCB ABC ∠=∠=︒ 则有136COB ∠=︒ 然后可得68COE ∠=︒ 进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE 如图所示：∵OB =OC 22ABC ∠=︒∴22OCB ABC ∠=∠=︒∴136COB ∠=︒∵E 是劣弧BC 的中点 ∴1682COE COB ∠=∠=︒ ∴1342CDE COE ∠=∠=︒； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理 熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图 BD 是O 的直径 弦AC 交BD 于点G ．连接OC 若126COD ∠=︒ AB AD = 则AGB ∠的度数为（ ）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°【答案】C【解析】【分析】 先求出∠COB 的度数 由圆周角定理求出∠BAC 的度数 再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD =45° 即可得到答案．【详解】解：∵∠COD =126°∴∠COB =54° ∴1=272BAC COB =︒∠∠ ∵BD 是圆O 的直径∴∠BAD =90°∵AB AD =∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =45°∴∠AGB =180°-∠BAG -∠ABG =108°故选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 等弧所对的弦相等 等腰直角三角形的性质与判定 三角形内角和定理等等 熟知圆周角定理是解题的关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·三模）如图 AB 为⊙O 的直径 C D 为⊙O 上的两点 若54ABD ∠=︒ 则∠C 的度数为___________．【答案】36°##36度【解析】【分析】连接AD 由直径所对的圆周角是直角得∠ADB =90° 即可求得∠DAB 的度数 由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得∠C 的度数．【详解】如图 连接AD ．∵AB 是直径∴∠ADB =90°．∴90=905436DAB ABD ∠=︒-∠︒-︒=︒．∴∠C =∠DAB =36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等 掌握这两个知识点是解题的关键．7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图 已知AB 是⊙O 的弦 ∠AOB ＝120° OC ⊥AB 垂足为C OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角 则∠APD 的度数是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根据垂径定理得出∠AOB =∠BOD 进而求出∠AOD =60° 再根据圆周角定理可得∠APD =12∠AOD =30°．【详解】∵OC ⊥AB OD 为直径∴BD AD =∴∠AOB =∠BOD∵∠AOB =120°∴∠AOD =60°∴∠APD =12∠AOD =30°故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识 掌握垂径定理是解答本题的关键．8．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作 其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝21()2⨯+弦矢矢．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图） 公式中“弦”指圆弧所对弦长 “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB ＝16米 半径等于10米的弧田 按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米．【答案】40【解析】【分析】由题意可知OC ⊥AB 于D 交圆弧于C 由垂径定理得到8AD =米 再由勾股定理得到6OD =米 求得4OC OD -=米 然后由弧田面积公式即可得出结果．【详解】解：由题意得：OC ⊥AB 于D∴AD ＝BD ＝12AB ＝8米在Rt ODA 中 由勾股定理得：OD 6（米）∴CD =OC ﹣OD ＝10﹣6＝4（米） ∴弧田面积＝12（弦×矢+矢×矢）＝12×（16×4+4×4）＝40（平方米）故答案为：40．【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用 熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图 在⊙O 中 半径r ＝10 弦AB ＝16 P 是弦AB 上的动点 则线段OP 长的最小值是 ______．【答案】6【解析】【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H 连接OB 如图 根据垂径定理得到AH ＝BH ＝8 再利用勾股定理计算出OH 然后根据垂线段最短求解．【详解】解：如图 过O 点作OH ⊥AB 于H 连接OB∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×16＝8 10OB =在Rt △BOH 中 由勾股定理可得：6O H =∴线段OP 长的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段问题 熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 10．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图 O 是Rt ABC △的外接圆 90BAC ∠=︒ BAC ∠的平分线交O 于点D ABC ∠的平分线交AD 于点E 连接BD 若O 则DE 的长为_______．【答案】1【解析】【分析】连接CD 根据AD 、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC 结合圆周角定理和三角形外角性质 得出DBE BED ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为90° 结合BD =CD BC = 利用勾股定理 求出21BD = 即可求出1DE BD ==．【详解】解：连接CD 如图所示：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD∴BD CD =∴BD CD = CBD CAD BAD ∠=∠=∠∵BC 为直径 且BC =∴∠BDC =90°∴22222BD DC BC +===∴21BD =∴1BD =∵BE 平分∠ABC∴∠ABE =∠CBE∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠ BED ABE BAD ∠=∠+∠∴DBE BED ∠=∠∴1DE BD ==．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义 圆周角定理 三角形外角的性质 等腰三角形的判定 勾股定理 作出辅助线 根据题意证明DBE BED ∠=∠ 是解题的关键．三、解答题11．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图 AB 为圆O 直径 F 点在圆上 E 点为AF 中点 连接EO 作CO ⊥EO 交圆O 于点C 作CD ⊥AB 于点D 已知直径为10 OE ＝4 求OD 的长度．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF 由CO ⊥EO 得到OC ∥AF 即可得到∠OAE ＝∠COD 然后通过证得△AEO ≌△ODC 证得CD ＝OE ＝4 然后根据勾股定理即可求得OD ．【详解】解：∵E 点为AF 中点∴OE ⊥AF∵CO ⊥EO∴OC ∥AF∴∠OAE ＝∠COD∵CD ⊥AB∴∠AEO ＝∠ODC。
人教版数学九年级上册24.1《圆(1)》教案
人教版数学九年级上册24.1《圆（1）》教案一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.1节《圆（1）》主要介绍了圆的定义、圆心和半径的概念。
本节内容是学生对圆的基本知识的掌握，为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。
教材通过生活中的实例，引导学生认识圆，并探索圆的性质，从而培养学生的观察、思考和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备一定的逻辑思维和空间想象能力。
但对于圆的概念和性质，部分学生可能还较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从生活实际中发现圆的规律，激发学生的学习兴趣，并通过实例让学生体会圆在生活中的广泛应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解圆的定义，掌握圆心和半径的概念，能运用圆的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生探索圆的性质的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的兴趣，体验数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：圆的定义，圆心和半径的概念。
2.难点：圆的性质的探索和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、实例教学法等，引导学生从实际问题中发现圆的规律，培养学生的动手操作能力和团队协作精神。
六. 教学准备1.教具：圆形的实物，如硬币、圆规等。
2.学具：每人一份圆形的实物，如硬币、圆规等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考：这些物体有什么共同的特点？学生思考后，教师总结出圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 呈现（10分钟）教师提问：圆心在哪里？半径是什么？学生通过观察手中的圆形实物，思考并回答问题。
教师进行点评并总结：圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
3. 操练（10分钟）学生分组进行讨论，尝试找出圆的性质。
教师巡回指导，给予提示和指导。
人教版九年级数学上册第二十四章：圆(教案)
-圆与直线、圆与圆的位置关系：识别并理解相离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，以及对应的几何特征和计算方法。
-实际应用题：运用圆的相关知识解决实际问题，如计算弓形面积、弧长和扇形面积等。
-弓形面积和弧长的计算：这部分涉及到圆的扇形和弓形的相关计算，学生需要理解并掌握相应的计算公式。
-解决实际应用题：将圆的知识应用于解决综合性问题，如涉及多个圆或圆与其他几何图形的组合问题。
举例：在讲解圆与圆的位置关系时，难点在于如何通过比较两圆半径之和与圆心距离的大小来判断它们的位置关系。教师需要通过图示和具体例子来帮助学生理解和记忆这个判定方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的基本性质和圆的方程这两个重点。对于难点部分，如圆的一般方程推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的面积和周长的计算。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用绳子画圆，演示圆的基本原理。
阿氏圆(隐圆压轴三)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)
专题4.6阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”转化为“AP PM+”问题关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6C．2D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠P AQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-6】如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为2．【答案】2．【解答】解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，∴PB2＝BG•BC，∴＝，∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，∴∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△CDH中，CH＝CD•cos60°＝4，DH＝CD•sin60°＝4，∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，∴DG＝＝＝2，∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，∴PD﹣PC≤2，∴PD﹣PC的最大值为2．【变式1-7】【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．【答案】．【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP 与BC的延长线交于点P，∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，∴△APC∽△BPA，，∴BP＝2AP，CP＝AP，∵BP﹣CP＝BC＝4，∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，∴BP＝，CP＝，即点P为定点，∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．故答案为：．【变式1-8】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．【变式1-9】如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，取点T（0，1），连接PT，BT．∵T（0，1），A（0，4），B（4，0），∴OT＝1，OA＝4，OB＝4，∵OP＝2，∴OP2＝OT•OA，∴＝，∵∠POT＝∠AOP，∴△POT∽△AOP，∴＝＝，∴PT＝P A，∴PB+PA＝PB+PT，∵BT＝＝，∴PB+PT≥，∴BP+AP≥∴BP+PB的最小值为．故答案为：．【变式1-10】如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C 是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动；（1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝；（2）试求的最小值＝．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）如图1，以点O为圆心，6为半径作弧，作OE⊥AB于点E，∵点C是第一象限的动点且OC＝6，∴点C在以点O为圆心，6为半径的圆弧上，在Rt△AOB中，OA＝16，OB＝12，∴AB＝＝＝20，＝OA•OB＝AB•OE，∴S△AOB即16×12＝20×OE，解得OE＝，CE＝OE﹣OC＝﹣6＝．故答案为：．（2）如图2，在OB上取OD＝3，连接CD，AD，∵，，∴，又∵∠DOC＝∠COB，∴△COD∽△BOC，∴，∴CD＝BC，∵在△ACD中，AC+CD＞AD，当点D、C、A三点共线时，AC+CD＝AD，此时AC+CD值最小，在Rt△AOD中，∴AD＝＝＝，故答案为：．【变式1-11】如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ+BQ的最小值．【答案】（1）﹣2．（2）证明见解析部分．（3）CQ+BQ的最小值为【解答】（1）解：如图1中，过点C作CH⊥BD于H，设EH＝x．∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝4，∠AED＝∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴CH＝EH•tan60°＝x，∵CD2＝CH2+DH2，∴25＝3x2+（x+4）2，∴4x2+8x﹣9＝0∴x＝或（舍弃），∴CH＝，＝×4×＝﹣2．∴S△BEC解法二：过点B作BJ⊥AC交AC的延长线于J，过点D作DT⊥AE于T．证明BJ＝DT，求出DT，即可解决问题．（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FG＝AF，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CH⊥BD于H．∵AF＝FG，CF＝FD，∴四边形ACGD是平行四边形，∴AC∥DG，GC∥AD，∴∠CAD+∠ADG＝180°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠AEB＝∠ADG＝120°，∴∠CGD＝∠EAD＝60°＝∠GDT，∴△DGT是等边三角形，∴DG＝DT，∠CTE＝∠CET＝60°，∴△CET是等边三角形，∴CT＝CE，∠CTE＝∠CET＝60°，∵CB＝CD，CH⊥BD，∴BH＝DH，TH＝EH，∴BT＝DE，∴BE＝DT＝DG，∴△AEB≌△ADG（SAS），∴AB＝AG＝2AF．（3）解：如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CF⊥AB于F，在JB上取一点T，使得JT＝，连接QT，TC．∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠CF A＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AD＝CF＝4，∵tan∠CBA＝＝2，∴BF＝2，∵AB＝6，∴AF＝4，∴AD＝AF，∴四边形AFCD是正方形，∵BC＝＝＝2，CO＝＝＝2，OB＝＝4，∴CB＝CO，∵CF＝CD，∠CFB＝∠CDO＝90°，∴Rt△CFB≌Rt△CDO（HL），∴∠BCF＝∠DCO，∴∠BCO＝∠DCF＝90°，∵BJ＝JO，∴CJ＝OB＝2，∴CT＝＝＝，∵BQ＝QP，BJ＝JO，∴QJ＝OP＝，∵QJ2＝2，TJ•JB＝×2＝2，∴QJ2＝JT•JB，∴＝，∵∠QJT＝∠QJB，∴△QJT∽△BJQ，∴＝＝＝，∴QT＝BQ，∴CQ+BQ＝CQ+QT≥CT＝，∴CQ+BQ的最小值为．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB ＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3P A+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．【答案】4．【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．【答案】2【解答】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
新人教版九年级上册数学[弧、弦、圆心角、圆周角--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
人教数学九年级上册第二十四章24.1.1圆教学设计
3.增强动手操作能力，提高实践应用能力，为将来的学习和工作打下基础。
4.树立正确的价值观，认识到数学知识在解决实际问题中的价值，增强社会责任感。
5.培养勇于探索、积极进取的精神，面对困难和挑战，保持乐观向上的态度。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何图形认识和操作能力，对圆的概念也有初步的了解。在此基础上，他们对本章节的学习将面临以下挑战：首先，对圆的性质和计算方法的理解需要进一步深化，尤其是圆周率的概念和运用。其次，在实际问题中运用圆的相关知识解决问题时，学生可能需要提高将理论知识与实际情境相结合的能力。此外，学生的动手操作能力和几何直观思维能力也需加强。因此，在教学过程中，应关注学生的个体差异，通过设置不同难度的任务，使每位学生都能在原有基础上得到提高，激发他们的学习兴趣和自信心，为今后的数学学习打下坚实基础。
（2）准备圆规、直尺等教学工具，便于学生动手操作。
2.课堂教学：
（1）导入：通过展示生活中的圆形物体，引导学生发现圆的特点，激发学习兴趣。
（2）新授：采用直观演示和动手操作相结合的方式，让学生掌握圆的性质、画圆方法以及圆周率的运用。
（3）巩固：设计具有代表性的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.学生在规定时间内完成练习题，教师对学生的解答进行批改和反馈，针对共性问题进行讲解。
3.提高。
（五）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结圆的性质、画圆方法、圆周率的运用等知识点。
2.强调圆在实际生活中的重要性，鼓励学生在生活中多观察、多思考，将所学知识运用到实际中。
3.难点突破策略：
（1）开展小组合作学习，让学生在讨论交流中共同解决问题，提高几何直观思维能力。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 圆
24.1 圆的有关性质24.1.1 圆一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.【情感态度与价值观】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.观察下列生活中的图片,找一找你所熟悉的图形.（出示课件2）观察漫画《骑车运动》,思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？（出示课件3）（二）探索新知探究一圆的定义教师问：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？（出示课件5）学生答：为了使游戏公平,在目标周围围成一个圆排队.因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.（出示课件6）教师演示画圆,学生观察画圆的过程,尝试说出圆是如何画出来的.（出示课件7）教师加以规范：圆的旋转定义（描述性定义）在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.有关概念：固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,一般用r表示．教师强调：确定一个圆的要素（出示课件8）一是圆心,圆心确定其位置；二是半径,半径确定其大小．教师出示同心圆等圆的定义：同心圆：圆心相同,半径不同；等圆：半径相同,圆心不同.出示课件9,10：师生共同探究深化认知：1.圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.2.（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长r．（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．3.圆的集合定义圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．出示课件11：教师通过课件演示,得到圆的基本性质：同圆半径相等.教师问：圆是一条曲线,还是一个曲面?（出示课件12）学生交流后回答：圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.出示课件13：例矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.学生独立思考后,师生共同解答如下：证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC,OB=OD.又∵AC=BD,∴OA=OB=OC=OD.∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.巩固练习：（出示课件14）如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.教师分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.学生解答：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF（SAS）,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.探究二圆的有关概念弦（出示课件15）连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．教师强调：1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.出示课件16：通过课件演示,得出：直径是最长的弦.弧（出示课件17）圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的.优弧：大于半圆的弧叫做优弧.如图中的教师强调：劣弧用两个字母表示,优弧用三个字母表示.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.（出示课件18）教师强调：等圆是两个半径相等的圆.等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.教师问：长度相等的弧是等弧吗？（出示课件19）教师举例：如图,如果和的拉直长度都是10cm,平移并调整小圆的位置,是否能使这两条弧完全重合？教师演示课件后强调：两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同,“等弧”要区别于“长度相等的弧”.师生共同深化认知：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.出示课件20：例1 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;劣弧：优弧：(2)请写出以点A为端点的弦及直径；弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦,写出这条弦所对的弧.答案不唯一,如：弦AF,它所对的弧是和.巩固练习：（出示课件21） 在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆. 其中正确的命题有 .学生思考后独立解答：弧不但包括半圆,还包括优弧、劣弧,所以①正确,③不正确；弦包括经过圆心的弦(即直径)与不经过圆心的弦所以②不正确.出示课件22：例2 如图,MN 是半圆O 的直径,正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上,顶点B 、C 在直径MN 上.（1）求证：OB=OC.（2）设⊙O 的半径为10,则正方形ABCD 的边长为 .学生独立思考后,师生共同解答如下：解：（1）连接OA,OD,证明Rt ∆ABO ≌Rt ∆DCO.（2）设OB=x,则AB=2x,在Rt △ABO 中,222AB BO AO ,22210x x +=(2)即 解得：25x .巩固练习：（出示课件23）CD 为⊙O 的直径,∠EOD=72°,AE 交⊙O 于B,且AB=OC,则∠A=_______.图4D B ON M A C学生自主解决：∵OB=OC,AB=CO,∴AB=OB,∴∠A=∠BOA.又∵OB=OE,∴∠E=∠EBO,∵∠EBO=2∠A,∴∠E=2∠A,又∵∠EOD=∠E+∠A,∴3∠A=∠EOD,∵∠EOD=72°,∴∠A=24°.（三）课堂练习（出示课件24-30）1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理2.如图,⊙O的半径为1,分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为（）A．πB．0.5πC．0.25πD．2π3.填空：（1）______是圆中最长的弦,它是______的2倍．（2）图中有______条直径,______条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有______条,劣弧有______条．4.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是______.5.判断下列说法的正误,并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.6.一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域．7.求证：直径是圆中最长的弦.参考答案：1.B2.B3.⑴直径；半径⑵一；二；四；四4.7cm或3cm5.⑴×⑵√⑶×⑷×⑸×⑹√⑺×6.解：如图所示：7.证明：如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD,则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在△OCD中,OC+OD＞CD,∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.（四）课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义,弦（直径）,弧（半圆、优弧、劣弧、等弧）,等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.1.2）的相关内容.七、课后作业1.教材81页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.。
人教版九年级上册数学教案：第24章《圆的复习》教学设计
在导入新课之后，我将系统地讲授圆的性质和计算方法。首先，我会带领学生复习圆的基本概念，如圆心、半径、直径、弧、弦、切线等，并通过图示和实例来加深他们的理解。接着，我会详细讲解圆的周长和面积公式，并通过一些具体的计算题让学生动手实践，巩固计算方法。
随后，我会重点讲解圆的性质，如圆的对称性、半径相等、圆周角定理等，并通过几何画板或实物模型进行演示，让学生直观地感受这些性质。同时，我会结合实际例题，引导学生如何运用这些性质来解决问题。
4.培养学生勇于探索、善于思考的良好品质，增强他们面对困难和挑战的信心。
本章节教学设计以“圆的复习”为主题，旨在帮助学生巩固圆的基本概念、性质和计算方法，提高他们解决几何问题的能力。在教学过程中，注重知识与技能的传授，过程与方法的应用，以及情感态度与价值观的培养，使学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，提高综合素质。
人教版九年级上册数学教案：第24章《圆的复习》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握圆的基本概念，如圆心、半径、直径、弧、弦、切线等，并能够准确运用这些概念解决实际问题。
2.培养学生熟练运用圆的周长、面积公式进行计算，并能将其应用于解决生活中的问题。
3.让学生掌握圆的性质，如圆的对称性、半径相等、圆周角定理等，并能运用这些性质解决几何问题。
4.培养学生运用圆的相关知识，如圆的切线、割线、相交弦等，解决复杂的几何问题。
（二）过程与方法
1.通过复习导入，引导学生回顾圆的基本概念和性质，巩固所学知识。
2.采用问题驱动法，设计具有思考性的例题和练习，激发学生的思维，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.引导学生运用数形结合的思想，通过画图、计算、推理等过程，掌握圆的相关知识。
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圆重难点突破
1．圆的确定性问题
突破建议：研究一个图形的时候，首先要关注这个图形的确定性问题．如：两点确定一条直线；不共线的三点确定一个三角形．那么如何确定一个圆呢？可让学生用圆规动手画圆，引导学生思考：确定一个圆的要素有哪些？定点O也就是圆心确定了圆的位置，定线段长也就是半径确定了圆的大小．如此，就从位置关系和数量关系上确定了圆．从而得出圆的定义：“在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．”也得出了确定一个圆的要素——圆心和半径．这两个要素确定了，圆也就确定了．圆心定圆的位置，半径定圆的大小．可让学生通过画图体会，圆心相同，半径不同时，是同心圆．半径相同，圆心不同时，是等圆．
2．圆的集合定义的理解
突破建议：为了让学生进一步地理解圆的内涵，可先提出下列问题：“五个小朋友站成一个圆圈，做一个抢红旗的游戏，把这只小红旗放在什么位置，才能使这个游戏比较公平？”引发学生思考．此后设计一个动手画圆的过程，通过这个过程引导学生首先感知到圆是一个点的集合．并进一步从两个方面去理解这个点集合的含义，即：从圆的角度看，圆上各点到定点的距离都相等；从点的角度来看，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在理解了点的集合的含义后，再提出问题：“矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一圆上吗？”也就是教科书上的例1，进一步体会圆的集合的定义，得出证明几点共圆的理论依据和常用办法．
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