高中数学 选修1-1.3.1.3导数的几何意义(PPT课件)

即:
k切线 f '(x0 )
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f (x0) f (x0)(x x0)
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
y x
．
练习1
3.1 导数的几何意义
1.曲线的切线
如图,曲线C是函数y=f(x) y
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角. 则 : MP x, MQ y,
Pβ
y=f(x) Q
Δy
处的导数，记作 f′(x0)或y′|x=x0
Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
，即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝
二、导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
于 x1 的一 个 “ 增 量 ” ， 可 用 x1 ＋ Δx 代 替 x2 ， 类 似 地 ， Δy ＝
f(x1＋Δx)－f(x1)
．于是，平均变化率可表示为
Δy Δx
.
2．瞬时速度
物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度．
3．函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率 Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
d.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x) 的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定 可导。如函数 f (x) x 在x=0处有切线，但不可导。
e.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
Δx
M
y tan .
O
x
x
表明：y 就是割线的斜率. x
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P
逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
lim
x0
x
y = x 2+1
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
y
P M
x
1j
x
的基本步骤:先利用切线斜率
-1 O 1
的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
f (1) f (1 x)
例1:设f(x)为可导函数,且满足条件
lim
x0
2x
1,
求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
解： f ( x)是可导函数且lim f (1) f (1 x) 1,
x0
2x
1 f (1) f (1 x)
f (1 x) f (1)
lim
1,lim
2,
2 x0 1 (1 x)
x0 (1 x) 1
x0
x
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x).
x0
x
f ( x)是奇函数，从而命题成立.
(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.
练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim
f ( x0 mx)
f ( x0 ) ;(2) lim
f (1) 2. 故所求的斜率为-2.
例2:如图,已知曲线
y
1 3
x 3上 一 点P (2,
8 3
),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解：(1) y
1
x3 ,
y
lim
y
lim
1(x 3
x)3
1 3
x3
3
x x0
x0
x
1 3x2x 3x(x)2 (x)3 lim
y y 1 x3
记为 f (x0 ) 或 y xxo ，即
f (x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的
导数的步骤:
（1）求平均变化率: y f (x0 x) f (x0 ) ；
x
x
（2）取极限，得导数:
f
(
x0
)
lim
x0
b.要切实掌握求导数的二个步骤： （1）求平均变化率； （2）取极限，得导数。
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” （1之）间函的数区在别一与点联处系的。导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数.
证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).
函数y f ( x)可导, lim f ( x x) f ( x) f ( x).
x0
x
f ( x) lim f ( x x) f ( x) lim f ( x x) f ( x)
（3）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 f ( x0 )，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。
（4）函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x) 在x=x0处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) |xx0。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
x0
(x)
x0
x
f '( x0 );
(2)原 式 lim f ( x0 h) f ( x0 ) [ f ( x0 h) f ( x0 )]
h0
2h
1 [lim
f ( x0
h)
f ( x0 )
lim
f ( x0
h)
f ( x0 )]
2 h0
h
Leabharlann Baidu
h0
h
1 2 [ f '(x0 ) f '( x0 )] f '(x0 ).
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
4
3
3 x0
x
3
P
1 3
ylxim|x0[23x22 234x.x
(x)2 ]
x2.
2 1
x
-2 -1 O
12
-1
即点P处的切线的斜率等于4.
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim f ( x0 x) f ( x0 ) ; (2)lim f ( x0 h) f ( x0 h) .
x0
x
h0
2h
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解：(1)原式 lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )
xa
xa
xa
xa
a lim f ( x) f (a) f (a) af (a) f (a). xa x a
6.小结 a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
1．平均变化率
对于函数 y＝f(x)，给定自变量的两个值 x1 和 x2，当自变量 x 从 x1
变为
x2 时，函数值从
f(x1)变为
f(x2)，我们把式子
fx2－fx1 x2－x1
称为函数
y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率． 习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝ x2－x1 ，可把 Δx 看作是相对
f
(
x0
x t
)
f ( x0 )
x0
x
x0
x
答案：(1)
mf
(
x0
);
(2)
1 t
f
( x0 ).
练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
f (a)表 示lim af ( x) xf (a) .
xa
xa
解 : lim af ( x) xf (a) lim a[ f ( x) f (a)] ( x a) f (a)