机械制图-点线面的投影(第四章)

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第三节
平面上的点和线
一、平面内的点
点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。
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直线在平面上的条件:通过平面上的两个点或通 过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线 。
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［例1］已知平面ABC内一点K的H投影k, 试求K 点的V 投影k。
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名称
立体图
投影图
投影特性
(1)ab∥OX, ab∥OYW (2)ab=AB ； (3)反映夹角、
水平线
(∥H）
大小。
正平线 (∥V )
(1)ab∥OX, ab∥OZ (2)ab =AB (3)反映夹角、 大小。
侧平线 (∥W )
(1)ab∥OYH, ab∥OZ； (2)ab=AB (3)反映夹角、 大小。
第二节
各种位置直线的投影
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 水平线（平行于Ｈ面）
投影面平行线
统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
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二、投影面的垂直线
铅垂线
a b X a(b)
●
正垂线
a b X
Z
侧垂线
c e YW X e f Z o e(f) YW YH
c(d) Z d
o d c YH
o YH
YW
f
投 影 特 性
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相 应的投影轴。
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二、点在三面投影体系中的投影
点在三个投影面上的投影，就是通过这个点分别向三个投影面 所作垂线的垂足。 Z Z Z V W
az a’ a’’ az a’’ a’ az a’’
V a’ A O
ax
W
ay
X
ax
XA O YA aYH
aYW YW a0
X ax
a aYH
O aYW YW
a0
a
X
a
H
Aa’’=a’az=aay=axO=XA 点的三面投影与坐标的关系：Aa=a’ax=a’’ay=azO=ZA Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
点线面的投影
第二章 点的投影 第一节 点的三面投影 第二节 两点的相对位置 第三章 直线的投影 第一节 直线的三面投影 第二节 各种位置直线的投影 第四章 平面的投影 第一节 平面投影的表示方法 第二节 各种位置平面的投影特性
第二章
第一节
点的投影
点的三面投影
Z
一、三面投影体系的建立
根据点的投影来确定点在 V W 空间的位置，引入相互垂直相交 O 的三个投影面，分别用V、H、W表 示。把V面称为正投影面（简称正 面），把H面称为水平投影面（简 X Y H 称水平面），把W面称为侧投影面 （简称侧面）。 三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正 面与水平面的交线OX称为X轴，侧面与水平面的交线OY称为Y 轴，侧面与正面的交线OZ称为Z轴，三个投影轴垂直相交于一 点O，称为原点。
正垂线 （V）
侧垂线 （W）
三、一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用α 、 β 、γ 表示。 a b = AB cosα 投影长分别是：ab = AB cosβ
ab=AB cosγ
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一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
（∥H）
正平面 （∥V）
侧平面 （∥W)
1)W 投影反映实 形； 2)V、H 投影分别 为平行OZ、OYH轴 的直线段，有积 聚性
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三、一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与 三个投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示 一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似 性。
一、投影面的平行线
水平线
a X a
b Z a b
YW
实长
正平线
a Z
α γ
侧平线
a Z a
β
实长
b
a
b X
b
YW X
b
a b
α
YW
β
γ
b Y H
实长
b
a
YH
YH
投 影 特 性
与H面的夹角:α 与V 面的夹角:β 与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
c’ c’’
X
O
YW
c
YH
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第二节
两点的相对位置
一、两点的相对位置
空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定Z坐标 值大者围上，小者为下；Y坐标值大者为前，小者为后；X坐标值大者 为左，小者为右。 Z Z
az a’ a’’ b’
az
bz
a’’ b’’ aYW bYW
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V
b’
bx
a’
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名称 铅垂线 （H）
立体图
投影图
投影特性
(1) H 投影为一 点，有积聚性； (2) ab OX , abOYW ； (3) ab=ab =AB (1) V 影为一点， 有积聚性； (2) abOX , abOZ ； (3) ab=ab =AB (1) W 投影为一 点，有积聚性； (2) Ab OYH, ab OZ ； (3) Ab =ab =AB 回本章 回本讲
一、直线的投影图
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第二节
直线的三面投影
二、直线上点的投影
1、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。 如图所示，C∈AB ，则有c ∈ab ，c′∈a′b′， c″∈a″b″。 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点 在直线上。
V c
b B C
a
X X b H A a c
b
a e
●
k
d c
过平面内一个已知点作投影面的平行线求解
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［例2］已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC 的V 投影a′b′c′，试完成其V 投影 。
a′
● ●
d′
e′
1）连接ac 和a′c′ 得辅助线AC 的两投影；
2）连接bd 交ac于e；
b′
c′
X
a
●
3）由e 在a′c′上求出e′；
d
4）连接b′e′， 在b′e′上求出d′； 5）分别连接a′d ′；及 c′d′，即为所求。
e b c
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［例3］已知铅垂面P内一条水平线AB的端点A的两投影， 且AB=20mm，求直线AB的两投影。
分析：铅垂面P 的H 投影有积聚性， b 铅垂面P 内点和直线的H 投影，必 重合于P H 迹线上，而直线AB为水 平线，故其H 投影反映实长。 X
c b YH
投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投 影，反映平面形的实形； 2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性， 且平行于相应的投影轴。
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名称 水平面
立体图
投影图
投影特性
1)H 投影反映实 形； 2)V、W投影分别为 平行OX 、OYW轴的 直线段，有积聚 性 1)V 投影反映实 形； 2)H、W投影分别为 平行OX、OZ轴的直 线段，有积聚性
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名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相似 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相似 性。
正垂面 （V）
侧垂面 （W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相似 性。 回本章 回本讲
Y
H
YH
YH
点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a’a⊥OX 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a’a’’⊥OZ 点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离， 即a’a⊥OX。 回本章 回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影 c。 作法： Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线； （2）过c’作OX轴垂线c’c； （3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线 相交； （4）过交点作YH轴的垂线与cc’方向的连 线相交即得c。
a
c
b
a
c
b
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二、直线上点的投影
2、定比性
V c a b b a X c b
B C
X A
b
a c H
a
c
直线上的点分割线段之比等于其投影之比
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例：已知直线EF 及点K 的水平投影k，求正面 投影 k’。
e
X
k f e
O
k f
k1 f1
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二、投影面的平行面 垂直于两个投影面的平面，平行于第三个 投影面。 根据其所平行的投影面不同，投影面 平行面也可分为三种： 1)水平面——平行于H 面； 2)正平面——平行于V 面； 3)侧平面——平行于W 面。
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水平面
积聚性
a
b
Z c a c o
b 积聚性 YW
X
实
a
形
bz
A
ax
W
O
B
ay by b b’’
X
bx
a b’
ax
aYH bYH
YW
X
a
H
Y YH
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二、重影点的投影
若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同 一条投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重 影于一点。 Z
e’ e’ f’ e’’ e’’ f’ d’’
V
d’’
a
PV
作图步骤：
b
20 a PH
0
1）在迹线PH上，过a量取ab=20mm，得点b ； 2）由b引垂线，与自a所作OX 的平行线相交，其交点为b ； 3）则ab，ab 即为所求。
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本讲结束
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b
Z c c
b
铅垂面
相似性
a X
γ
相似性
a YW
投影面垂 直面的投影特 性是：
β
c
o
b a
积聚性
YH
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线， 有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面 对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投 影面上的投影不是实形，但有相似性。
1） b k
●
d
2）
b d
●
c
a X
●
k
0 b
a X a
e b
●
c
0 d c
a
k
d c e k
过平面内两已知点 作辅助线求解
过平面内一个已知点作平面 内已知直线的平行线求解
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［例1］已知平面ABC内一点K的H投影k, 试求K 点的V 投影k。
3）
b e X a k ● d c
投影面平行面 一般位置平面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
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一、投影面的垂直面
垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾 斜的平面，称为投影面垂直面。 根据其所垂直的投影面不同，可以分为 三种： 1)铅垂面——垂直于H 面； 2)正垂面——垂直于V 面； 3)侧垂面——垂直于W 面。
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第四章
第一节
平面的投影
平面投影的表示方法
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 外一点
两相交 直线
两平行 直线
平面 图形
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第二节
各种位置平面的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
正垂面 侧垂面 铅垂面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
c’(d’)
c’’(f’’)
W
c’’(f’’) d f
c’(d’)
D
E C
O
F
f
X
d e’(c)
Y
e(c)
H
在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如 （d’）。 回本章 回本讲
第三章
第一节
直线的投影
直线的三面投影
一般情况下，直 线的投影仍为直线。 两点确定一条直 线，将直线上两点的 同面投影用直线连接 起来，就得到直线的 三个投影。 直线的投影规定 用粗实线绘制。