数学建模五步法与灵敏度分析

灵敏度分析
简介：
研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。

通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。

因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

用途：
主要用于模型检验和推广。

简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。

举例（建模五步法）：
一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。

猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。

建立数学模型的五个步骤：
1.提出问题
2.选择建模方法
3.推到模型的数学表达式
4.求解模型
5.回答问题
第一步：提出问题
将问题用数学语言表达。

例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。

还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。

（建议先写显而易见的部分）
猪从200磅按每天5磅增加
（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）
饲养每天花费45美分
（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）
价格65美分按每天1美分下降
（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）
生猪收益
（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）
净利润
（P美元）=（R美元）-（C美元）
用数学语言总结和表达如下：
参数设定：
t=时间（天）
w=猪的重量（磅）
p=猪的价格（美元/磅）
C=饲养t天的花费（美元）
R=出售猪的收益（美元）
P=净收益（美元）
假设：
w=200+5t
C=0.45t
p=0.65-0.01t
R=p*w
P=R-C
t>=0
目标：求P的最大值
第二步：选择建模方法
本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题
第三步：推导模型的数学表达式子
P=R-C （1）
R=p*w （2）
C=0.45t （3）
得到R=p*w-0.45t
p=0.65-0.01t （4）
w=200+5t （5）
得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：
y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）
第四步：求解模型
用第二步中确定的数学方法解出步骤三。

例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。

下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。

在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。

因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。

第五步：回答问题
根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。

只要第一步中的假设成立，这一结果正确。

数学建模五步方法总结：
第一步：提出问题
（1）列出问题中涉及的变量，包括适当的单位；
（2）注意不要混淆变量和常量；
（3）列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式；
（4）检查单位从而保证你的假设有意义；
（5）用准确的数学术语给出问题的目标。

第二步：选择建模方法
（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；
（2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟悉相关文献。

第三步：推导模型的数学表达式
（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；
（3）记下任何补充假设，这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。

第四步：求解模型
（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导，检查是否有错误，你的答案是否有意义；
（3）采用适当的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能
扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误。

第五步：回答问题
（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；
（2）避免数学符号和术语；
（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案。

灵敏度分析
数据是由测量，观察有时甚至完全猜测得到的，因此，我们要考虑数据不准确的可能性。

上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。

但是猪的生长率则不那么确定，而价格的下降率则确定性更低，记r为价格的下降率，现在假设r的实际值不同，对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。

下表给出了几个不同r值求出的计算结果。

根据表格绘制图形，我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感。

r（美元/天）x（天）
0.008 15.0
0.009 11.1
0.010 8.0
0.011 5.5
0.012 3.3
对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=0.65-rt。

得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。

使得导数为0，得到x=（7-500r）/25r，当x>=0时，只要0<r<=0.014。

对于猪的生长率g同样不确定，我们有w=200+gt，得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+gx）-0.45x。

使得导数为0，得到x=5*(13g-49)/2g。

当x>=0时，得到g>=3.769。

我们将灵敏度数据用相对改变量表示，例如：r下降10%导致了x增加了39%，而g下降了10%导致了x下降了34%。

如果x的改变量Δx，则Δx/x表示相对改变量。

如果r改变了Δr，导致了x有Δx的改变量，则相对改变量的比值为（Δx/x）/（Δr/r），令Δr→0，我们有（Δx/x）/（Δr/r）→（dx/dr）*（r/x）。

我们称这个极限值为x对r的灵敏度，即为S（x，r）。

在售猪问题中，r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800，因此S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2，即若r增加2%，则x下降7%。

由于
dx/dg=245/2g2=4.9,我们有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=4.9*（5/8）=3.0625。

于是猪的生长率增加1%，会导致大约等待3%的时间再将猪售出。

灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力，通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析，也没有特别的要求。

我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析。

对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度，主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度。

在这个问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格下降率r更可靠。

如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。

数学模型的稳健性
一个数学模型称为稳健的，是指即使这个模型不完全精确，由其导出的结果也是正确的。

在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确模型，我们也可能采取较为简单和易于处理的方法。

出于数学处理的方便和简化的目的，常常要做一些假设，建模者有责任要考察这些假设是否太特殊，以致使模型的结果无效。

上例中我们主要是假设猪的重量和每磅的价格都是时间线性函数。

假设一年后，猪的重量为200+5*365=2025磅，卖出收益为0.65-0.01*365=-3美元/磅。

一个更为实际的模型应该考虑到这些函数的非线性性，又考虑到随着时间的推移不确定性的增加。

考察售猪问题中的线性假设。

基本方程为P=pw-0.45t。

如果模型初始数据和假设没有与实际相差太远，则售猪的最佳时间应该有令P求导为0得到。

计算后有p'w+pw'=0.45，得到只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂时不卖出。

其中，p'w为价格下降带来的损失，pw'为猪增重而增加的价值。

考虑更一般的模型的情况，猪的未来增长和价格的未来变化并不确定。

假设如下情况，一个农民有一头重量大约是200磅的猪，上一周猪每天增重约5磅，五天前猪价为70美分/磅，但现在是65美分/磅，根据现有数据我们可以得出何时出售，问题是p'和w'在未来几周内不会保持常数，因此，两者不会是时间的线性函数。

但是只要在这段时间内，两者变化不太大，假设他们保持为常数而导致的误差就不会太大。