高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线方程与圆的方程

答案 D 由题意得圆的半径为 2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
3.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程
为
.
答案 (x-1)2+y2=4
解析 本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系. ∵抛物线的方程为y2=4x,∴其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又∵圆与直线l相切,∴圆 的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是
;
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是
.
答案 ①Q1 ②p2
解析 设线段AiBi的中点为Ci(xi,yi). ①由题意知Qi=2yi,i=1,2,3,由题图知y1最大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.
正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.
评析 本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式,属中档题.
2.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 C 解法一:待定系数法(选标准方程形式求圆的参数).
设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= 3 7 =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,则P(1,-2),|PA|=
2
(11)2 (3 2)2 =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 6 ,则|MN|=|(-2+2 6 )-(-
高考数学 (北京专用)
第九章 直线和圆的方程
§9.1 直线方程与圆的方程
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
考点一 直线及其方程
1.(2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变 化时,d的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
②由题意知pi=
2 yi 2xi
=
yi xi
,i=1,2,3.
yi 的几何意义为点Ci(xi,yi)与原点O连线的斜率.
xi
比较OC1,OC2,OC3的斜率,由题图可知OC2的斜率最大,即p2最大.
考点二 圆的方程
1.(2016北京文,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2
思路分析 设出点P1,P2坐标,进而根据已知表示出l1,l2,然后求出A、B点坐标及xP,最后利用点 在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
4.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.
a2 1
3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出 关于a的方程,解方程即可求得a的值.
2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段 PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为 ( )
l1:y-y1=-
1 x1
(x-x1),①
l2:y-y2=
1 x2
(x-x2),②
①-②得xP=
y1 1
y2
1
2
,
x1 x2
易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),
∵l1⊥l2,∴- 1 · 1 =-1,∴x1x2=1, x1 x2
∴S△PAB= 12 |AB|·|xP|= 12 |y1-y2+2|·| y11
F 20,
∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0,得y2+4y-20=0,
∴yM+yN=-4,yM·yN=-20. ∴|MN|=|yM-yN|= ( yM yN )2 4 yM yN = 16 80 = 96 =4 6 . 解法三:几何法(利用几何性质确定圆的参数).
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 C 前m年的年平均产量为 Sm ,由各选项知求 S5 , S7 , S9 , S11 的最大值,问题可转化为求
m
5 7 9 11
图中4个点A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图可知kOC= S99 最大,即
2
∴r=|AC|= (0 2)2 (2 1)2 = 5 .
一题多解 由题知点C到直线的距离为 | m 3 | , 5
r=|AC|= 22 (m 1)2 .
由直线与圆C相切得 22 (m 1)2 = | m 3 | ,解得m=-2, 5
∴r= 22 (2 1)2 = 5 .
答案 C 本题主要考查点到直线的距离.
解法一:由点到直线的距离公式得d= | cosθ msin θ 2 |, 1 m2
cos
θ-msin
θ= 1
m2

1
cosθ
m

sin θ ,
1 m2
1 m2

令sin α= 1 ,cos α= m ,
1 m2
1 m2
p
,
由题易知kOM最大时y>0,
∴kOM= 2 px = x p
2p x p
≤ 2 p = 2 ,
2p 2
x
当且仅当x=p时取等号.
思路分析 设出P(x,y),由|PM|=2|MF|求出M点坐标,而kOM= xyMM ,再用基本不等式即可解决.
3.(2016四川,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=
∴cos θ-msin θ= 1 m2 sin(α-θ),
∴d≤ | 1 m2 2 | = 1 m2 2 =1+ 2 ,
1 m2
1 m2
1 m2
∴当m=0时,dmax=3,故选C.
解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,
又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,
3.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
答案 x2+y2-2x=0
解析 本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半 径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由已知得kAB= 13 42
=- 13 ,kCB= 24
7 1
=3,所以kAB·kCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,其外接
圆圆心为(1,-2),半径为5,所以外接圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得y=±2 6 -2,所以|MN|=4
6 .
2.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A
如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.
故选C.
名师点睛 解法一:利用点到直线的距离公式求最值. 解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数 形结合思想轻松得到答案.
2.(2012北京,8,5分)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前m年的年平均产量最高,m的值为 ( )
(-2,-1),则m=
,r=
.
答案 -2; 5
解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考
查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养.
设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,
∴kAC= m0 21
=- 1 ,解得m=-2,∴C(0,-2),
y2
1
2
|
x1 x2
= 12 ·( y1
y2 2)2 x1 x2
= 12 ·( ln
x1 ln x2 x1 x2
2)2
=
1
[
·
ln(xx11xx22
)

2]2
= 1 ·
4
2
=
,
2Biblioteka Baidu
x1 x2
2 x1 x2 x1 x2
又∵0<x1<1,x2>1,x1x2=1, ∴x1+x2>2 x1x2 =2,∴0<S△PAB<1. 故选A.
F 0,
由已知条件可得 12 12 D E F 0,
22 2D F 0,
D 2,
解得 E 0,
F 0,
所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.
方法总结 常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给 条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.
答案 C 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的
距离d= | 1 0 3 | = 2 .故选C. 12 (1)2
易错警示 在应用点到直线的距离公式d= | Ax0 By0 C | 时,一定要将直线方程化成一般形式, A2 B2
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 | c | = 5
5 ,解得c=±5.故选A.
考点二 圆的方程
1.(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
ln x, ln x, x
0
1
x

1,
图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直
相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P1(x1,y1),l2是y=ln x(x>1)的切线,切点P2(x2,y2),
2-2 6 )|=4 6 . 解法二:待定系数法(选一般方程形式求圆的参数). 设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标,
D 3E F 10,
D 2,
得 4D 2E F 20, 解得E 4,
D 7E F 50,
A. 3 3
C. 2 2
B. 2
3
D.1
答案 C 设P(x,y),∵|PM|=2|MF|,
∴ | PM | =2, | MF |


又F 2p
,
0

,∴

xM
yM

x 2
1 2 y 1 2
p 2
y 3
,
x
3
p
,
∴kOM=
yM xM
=y
x
易错警示 由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.
B组 统一命题·省(区、市)卷题组
考点一 直线及其方程
1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
前9年的年平均产量最高.故选C.
评析 本题主要考查直线的斜率,进一步考查了数形结合及转化的数学思想.
3.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的
横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名
工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.