日本高中数学奥林匹克试题及解答2010—2014

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这里" 对" 进行考察" 因为当" )""!"$"*"-时分别得到的数 # 的个数是相同的!所以"在全部优良整数中" " 的平均值为 & "( + + 同样地 " " 在全部优良整 ' " " " !($(+('(%()(,() ! +" 数中的平均值也为+ 于是得 # # # ! $ +
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"&, "&在四边形 ,-./ 中" 已知 &/,- )# . )' . /) # " & " & 若线段 45 上的点0 满足,4( ) " & ! 4! 5 分别是, -! . / 的中点"
. 5 )4 0(5 0! , 0 ). 0

时求&,0. 的大小!
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有! 从每个飞机场已有几个直飞到其他飞机场的航 " # "个飞机场 当符合下面两个条件时 班 对于任意两个飞机场 , 和- 从 , 出发可以通过几种不同的换 # 乘方式到达- 对于已开通的直飞航班 如果发生了关闭航班的状况 那么条件 ! 就不满足! # 某一天 在已开通的直飞航班中有一个航班关闭了 准备开设一个 可以是已关闭的直飞航班 并且满足条件 新的直飞航班 # ! 研究最多有多少种直飞航班的开设方式! 其中 从飞机场 6 到7 已 再开设从7 出发到达6 的直飞航班可以不受限制! 有直飞航班时
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已知由正整数组成的无穷数列" " 对于任意的正整 " "*" " "*" 数*满足如下两个条件) & ' # " 是* 的倍数(
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求" 所有可能取值中的最大值!
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" " 设 0 为 %,-. 内一点"已知 ,0 ) 槡 $" 0 )' . 0 )! , -( "&" 求%,-. 的面积! , . )! , . )% # " & (
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证明 无论对于怎样的*+ 都是不超过# 用从小到大顺序的 , 的! 交换各位上的数字后得到的*为# " # $表示* 的各位上的数字 ! " " $( ) 于是 # " " " " # " " # " " # " " #(" $(# "(# $(# #(" $(# "(# 2 能被+ 整除! 同样地 又可得到- 能被+ 整除 #2" $2 # $2" 设9 )#2" 且 ; )$2" 9 ; 为不超过 , 的正整数 : )$2# : 设9 9(: ); ; 的最大公约数为+ < < 能被+ 整除! : + 当+ 在不超过,的正整数中能被+ < ('时 < 整除的数有且仅有 # 与9(: );矛盾 所以这样的情况不可能发生! #个 当+ 因为在不超过,的正整数中能被+整除的数只有! <)+时 ! ) 个 即+与, 所以只能 此时 + + , # ' 9 ; " # $ ) : 以及+ )$! 当+ 因为在不超过,的正整数中能被$整除的数只有! $ <)$时 个 即$与% 所以只能 此时 9 ; " # $ $ $ % # + ) ) ) : 或 或 以及+ 分别是$$-! ! ' , $ % 当+ 因为所以+ $+ < $!时 < 能被+ 整除 < $# , ! + + 综上所述 另外 若*)+ 可得+)# 所以+ 可能取到 , ! % , , + $# 的最大值是! * !
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在正! 取不同的三个顶点 ,-. 组成三角形,-. 则 " # "边形中 使其内角都是整数度 即# 的整数倍 的 ,-. 共有几组 其中 & 仅仅 ,-. 顺序不同的视为同一组!
假设红色 青色 黄色的岛正好各有三个! 在这些岛之间 造了若干
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解答
! $# ! " " "*" " 正整数 8" 且 8(*)! 与此 * 满足8 #*" *)# !时 " ! # " " " " 有# 算出符合问题条件中的 # 有几 对应的& 8" *' "组 ! "" # $ %" & '$ 其实就等同于从这# 事实上" 以*的 组的过程" "组中选出$组数的过程 ! !& " ' !& " " 即为& 也满足"# 值从小到大排列时选出$组数" "" # & $ %' '' " " 综知" 符合问题条件中的所有不同的组# ##$#% #&#'" "" # $ %" " 都可以这样得到! 因此" 像这样的组共有 * )! & " #组 ! '$
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在以十进制表示的大于等于"且小于等于# 求各位 " " " " 的整数中 数中不出现数字#的所有整数的平均值!
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已知各位上的数字都为非零且互异的三位数* 对于上述任何一个 交换各位上的数字后可得到%个三位数 设这%个三位数的最大 * 公约数为+ 求+ 可能达到的最大值!
已知半径为#的圆的内接四边形 ,-./ 对角线所成的夹角为% " & ! 求此时 又0 为对角线的交点且,0 ) # . 0) 0 与/ 0 差的 $ $ 绝对值的所有可能取值!
座满足下列两个条件的桥! & '桥两端相连的是两个不同的岛 " 无论哪两个岛" 可能造了一座桥 # 把它们连结起来或者没有造桥( & '对于两个颜色相同的岛 " 不能造桥直接把这两个岛连结起来" 也 ! 不存在一个岛可以分别造桥同时与这两个岛直接连结起来! 问) 有多少种不同的造桥方式% 这里" 若遇到在两个岛之间没有造 则在计算造桥方式时也算作一种! 任何一座桥的情况"
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当! 将# " # "个白色的石头和 ! " # " 个黑色的石头横向排成一排时 " 个白色的石头和#个黑色的石头相邻而排& 白色的石头在黑色的石 看成一组" 若这样的组数是奇数" 问有多少种不同的排列 头的右边' 方式%
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对于正整数*" 记3& 为* 的各位上数字的和" 当 3& 求 *' *') ' 时" 的最大值! 3& *'
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+ , , , + -
在下面的解答中" 大于等于"且小于等于# 把以# "" " " 的整数中 " " 进制表示时各位数上没有使用#的数称为优良整数! 用 , 表示所有这些优良整数的平均值! 因为# "" " " 不是优良整数 " 所以可从考察+位及以下的整数着手! 优良整数可表示成" (# "( " 其中 # " " " (# "" " " "
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