线性代数期末试卷

《线性代数》 试卷(B) 共6页 第1页 线性代数》 试卷(B) 共6页 第2页
《
太原师范学院2009-2010学年第二学期期末考试
《线性代数》试卷（B ）
一、选择题(每小题 2分，共20分)
1、下列表述中错误的是 （ ） （A ）五个三维向量是线性相关的；（B ）一个非零向量是线性无关的； （C ）线性相关的向量组中的每一个向量都可由其余向量线性表示； （D ）设A 为43⨯矩阵，R （A ）＝2，则A 的列向量线性相关。

2、E 是n 阶单位矩阵，k 是一个正整数，R(kE)＝( ) (A) n ； (B) k ； (C) nk ； (D) 不能确定。

3、已知33
32
31232221131211a a a a a a a a a =3，那么33
32
31232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ）
(A)-24 (B)-12 (C)-6
(D)12
4、设n 阶行列式D =det(a ij )，j
i A 是D 中元素
j
i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是
（ ）
(A)
1
=∑=n
i ij ij
A a
；
(B)
1
=∑=n
j ij ij
A a
；
(C)
D
A a
n
j ij ij
=∑=1
；
(D)
D
A a
n
i i i =∑=1
21。

5、设A 和B 都是n 阶可逆阵，若⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ，则1-C = （ ）。

（A ）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--11
0B A ；
（B ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--0011A B ；
（C ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--0011B A ；
（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100A B 。

6、在矩阵A 中增加一列而得到矩阵B ， 设 A 、B 的秩分别为1r , 2r
，则它们之间的关
系必为 ：( )。

（A ）
12
r r =； （B )
12 1
r r =- ； （C )
12
r r ≤； (D)
12
r r >。

7、A ，B 均为n 阶矩阵，且22
()()A B A B A B +-=-，则必有（ ）
(A)B E = ； (B) A E = ； (C) AB BA = ； (D) A B =。

8、设A 为n m ⨯的非零矩阵，齐次线性方程Ax 0=存在非零解的充分必要条件是（ ）。

(A)A 的行向量组线性无关； (B)A 的行向量组线性相关； (C)A 的列向量组线性无关； (D)A 的列向量组线性相关。

9、 下列论断中错误的是 （ ）
（A ）正交矩阵是可逆的； （B ）线性无关的向量组中的向量都是两两正交的； （C ）实对称矩阵一定可以对角化；（D ）两个相似的矩阵有相同的特征值。

10、下列不可对角化的矩阵是________。

（A ）实对称矩阵；（B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵； （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵；（D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵。

院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..
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二、填空题(每小题 2分，共20分)
1、 排列6 3 1 2 5 4 的逆序数＝________。

2、已知2阶方阵A 的行列式||1A =-，则 2||A -=________。

3、设123456333A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭， 则齐次线性方程组AX =0 的基础解系所含向量个数为________。

4、设(())E i k 表示由n 阶单位矩阵E 将第i 行乘以不为零的数k 得到的初等矩阵，则
1(())E i k -=________。

5、向量(1,2,2,3)α=--与(3,1,5,1)β=--的夹角是________。

6、设 A 、B 都是n 阶方阵，且A ≠
0，()4,=R B ()=R AB 则________。

7、设12,,βαα线性相关,
23,,βαα线性无关,则
123
,,,βααα线性_______关
8、设12132541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦x 是不可逆矩阵,则=x ___________。

9、设二次型212
22121422),(x kx x x x x f ++=为正定二次型，则k 的取值范围为________。

10、设A 为3阶方阵，且
1
*A 3-=）
，则（A =________。

（用A 表示）。

三、计算题（每题15分，共45分）
1、计算4阶行列式 1234
42222112233442323232311
22
33
4411111cos 1cos 1cos 1cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=
++++++++
2、解齐次线性方程组
1234512345
123451234520
2230322025220
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪+-+-=⎪⎨
--+-=⎪⎪-+-+=⎩
院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..
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3、对于实对称矩阵A
222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
求正交矩阵P 和对角矩阵D ，使得1
P AP D -=。

四、设A 为n 阶反对称矩阵（即T
A A =-），证明：当n 为奇数时A 不可逆。

（10分）
五、设123,,ααα是n 阶矩阵A 的3个特征向量，他们对应的特征值不相同，记
123βααα=++
证明：⑴ β不是A 的特征向量。

⑵ β，A β，2
A β线性无关。

（5分）
院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..。