工程力学—第九章 扭转

9549 4 500
76.4N m
MB
9549 PB n
9549 10 500
191N m
MC
9549 PC n
9549 6 114.6N m 500
（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则
T1 M A 76.4N m T2 -M C -114.6N m
的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力 偶矩，试样最后沿横截面被剪断； 脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与 轴线成450倾角的螺旋面发生断裂。 上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志 仍然是塑性屈服与脆性断裂。
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m

15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103
150) 300
N
m

4.78103
Nm

4.78
kN m
M4

(9.55103

200) 300
Nm
料的剪切比例极限τ p时，切应力与切应变成正比， 即 τ γ 。引入比例系数 G， 则τ ＝G γ 。
G－切变模量（剪切弹性模量）， 单位为Gpa，其值随材料而异， 由实验测定。
第四节 圆轴扭转横截面上的应力
平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、 大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。
最大扭转切应力
由式


T
Ip
可知，在ρ ＝R 即圆截面
边缘各点处，切应力最大，其值为
max

TR Ip

T Ip
T Wp
R
式中Wp为抗扭截面 系数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
扭转失效与扭转极限应力 扭转试验表明： 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d

2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
于是上式变为
P*103=M*2πn/60
由 此 得
M Nm

9549
Pk nr
W
min
若转速n的单位为r/s,
则
M Nm

159.2
PkW nr
s
式中：
P=Mω—功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（千瓦）；
M—力偶矩，单位为N·m（牛顿·米）；
ω—相应角速度；
（3）画扭矩图 根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
T max
T2
114.6N m
T
76.4N·m
x
114.6N·m
例题
一传动轴如图，转速
n

300
r min
；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认为均匀分布 。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力 设圆管的平均半径为Ro，壁厚为δ ，微剪力对轴
线O的力矩为Ro․τδRodθ 。
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第二节 动力传递与扭矩
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。
在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为
τδdydx。
顶面与底面的两个力所构成
的力偶之矩为τ’δdxdy。 微体平衡，则 τ = τ’。
纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
剪切虎克定律 ： τ ＝G γ
在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
解（1）扭力偶矩计算
MA
9549 PA n

6.37 103
Nm

6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。
扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。
第一节 引 言
轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第一节 引 言
扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。
第二节 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩之间的关系
功率P=Mω，又 1W=1N·m/s
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
wk.baidu.com 第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。
第一节 引 言